5.2 导数的运算（五大题型）题型训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2 导数的运算 题型一 基本初等函数的导数公式 1．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D不正确； 故选：A 2．（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】AB 【分析】利用基本初等函数求导公示表可直接判断ABC，易知，求得其导函数直接代入计算即可知D错误. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确. 对于C，由，得，C错误； 对于D，由可知，则，D错误 故选：AB 3．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】先求函数的导数，再求导函数值可得. 【详解】由，所以，所以. 故答案为：. 4．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，然后在某点处的切线方程即可； （2）设切点，然后由导数的几何意义求出切线的斜率，求解切线的方程即可. 【详解】（1）. . 在处的切线方程为，即. （2）设所求直线与曲线相切于点， 则曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为. 因为切线过点，所以， 解得或，则或. 故所求直线方程为或. 题型二 导数的运算法则 5．若，则在的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对已知函数求导，利用导数的几何意义得出切点处的斜率，再结合切点运用点斜式求出切线方程． 【详解】，求导得， 在处的斜率， 则在的切线方程为，即，故B正确． 故选：B． 6．（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由导数的四则运算逐个判断即可. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D错， 故选：AC 7．函数在处的切线方程为，则的值为 . 【答案】 【分析】由切点既在切线上，又在函数图象上，即可得解. 【详解】将代入切线方程，得，即切点为， 因为切点也在函数的图象上，故，解得. 故答案为：2. 8．设二次函数，且函数图象与轴交于. (1)求函数的解析式； (2)求的图象在点处的切线方程； (3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意建立等式计算即可求解； （2）求导，根据导数的几何意义求解即可； （3）根据二次函数在闭区间上有解列不等式计算即可求解. 【详解】（1）由函数的图象与轴交于可得， 由可得，解得， 所以函数； （2）由（1）可知， 求导可得， 所以函数在点切线斜率为， 故切线方程为； （3），在上有两个不同零点， 需满足：① 判别式；② 对称轴在区间内；③ 区间端点函数值非负； 所以，解得或； 对称轴为，故，即； （恒成立）；，解得； 综上，. 题型三 导数的加减法 9．已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导得出，利用导数的定义可得出的值，即可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，故， 所以， 可得，解得. 故选：A. 10．（多选）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设切点为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，可得出，求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】设切点为，因为，则， 则切线的斜率为，故切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，整理得， 因为曲线过点的切线有两条，则关于的方程有两个不等的实根， 所以，解得或， 故选：BC. 11．若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分析可得，然后得出，化简即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 设函数的图象在、两点处的切线斜率分别为、， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，即， 所以 . 故答案为：. 12．已知函数，其中是的导函数． (1)求； (2)求曲线在原点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导可得，然后令，代入计算，即可求解； （2）由导数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】（1），， . （2），， 在处切线斜率为，切线为. 题型四 导数的乘除法 13．设函数，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式求导法则求出，代入求出与，即可得点处的切线方程. 【详解】， ，， 则在点处的切线方程为即. 故选：A. 14．（多选）当函数在处的导数为时，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由列方程来求得. 【详解】由，解得. 故选：AC 15．已知函数和满足，函数满足，则 . 【答案】/ 【分析】根据商的导数的运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 16．拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？ 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据题意，求出，化简，可得，从而求解，； （2）由，可得证； （3）先求出，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，函数，则， 由，可得， 即， 化简为， 由，所以； （2）由，可得， 即，所以数列为首项为3，公比为3的等比数列； （3）由（2）可得，则， 所以， 则 ， 所以存在实数，满足题意. 题型五 简单复合函数的导数 17．已知函数的导函数为，且，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用复合函数求导公式求出导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：C 18．（多选）已知函数，其中且，则下列说法正确的是（    ） A．有且仅有个零点 B．存在，使得在定义域内单调递增 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】选项A可通过令求解零点个数；选项B确定函数定义域，用定义域的极限思维来判断单调性；选项C可通过构造函数，分析其正负来判断与的大小关系；选项D可通过分析函数的性质，结合绝对值不等式来判断. 【详解】对于A，令，由，得，则方程有唯一解，即有个零点，故A正确； 对于B，由题意知的定义域为． 若，当从左边趋近于时，，，且，所以； 当从右边趋近于1时，，，且， 所以，因此不可能单调递增． 若，当从左边趋近于时，，，且，所以； 当从右边趋近于1时，，，且， 所以，因此不可能单调递增．故B错误； 对于C，，当时， ， 因为，所以，，则，即，故C正确． 对于D，当时，显然成立； 当时，因为，所以，易知， 此时，故D正确． 19．已知函数，则函数在处的切线方程是 ． 【答案】 【分析】在等式两边求导，令，可求出的值，即可得出函数的解析式，再求出切点坐标，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以， 令可得，解得，故， 所以，即切点坐标为， 因此函数在处的切线方程是，即. 故答案为：. 20．已知函数的图象在定义域上连续不断，，，在区间上单调递减，是的导数. (1)证明：是周期函数； (2)给定，设，证明：存在，使得； (3)若，，，设函数. （i）求的最大值； （ii）若存在，使得对恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)（i）；（ii）. 【分析】（1）变形得，则； （2）通过其周期性、对称性和单调性得为的最小值，再取即可得； （3）（i）求导得，令，再合理赋值即可得到其最值； （ii）分和讨论，当时，转而证明总存在，使得成立. 【详解】（1）由题知：， 所以， 所以， 所以是以4为周期的周期函数. （2），所以是偶函数， ①取代入①得，所以是周期为的周期函数，取代入①得，所以的图象关于直线轴对称， 所以，在[0,1]单调递减，在[1,2]单调递增，在 [0,2]的最小值为， 根据周期性，不妨设， 若，即，则，所以取，有， ②若，即，则 （i）若时，则，所以在单调递减，所以取，有, （ii）若时，则在上的最小值为，所以取，有, （iii）若时，直线关于直线的对称直线为，则，在上单调递增，且，所以取，有， 综上，对，存在，使得. （3）（i）因为， 且， 所以是周期为4的偶函数，不妨设， 因为， 令，则，又因为， 所以或； 即或， 解得：或或或 因为，得， 又因为， ， ， ， 所以的最大值为. (ii)设， 一方面，若存在，使得对任意恒成立， 所以，对任意恒成立， 所以， 令， 同理， 所以，、、均不超过 假设 则，，（I） 根据（2）的周期为 2，我们取，又在[0,1][2,3]递减，在递增， 当时，由（I）的三个不等式得，它的解集为空集， 当时，由（I）的三个不等式得，它的解集为空集， 这就是说，假设不成立，即一定有成立， 因为在[0,2]单调递减，所以， 另一方面，当取时，由（i）知，取满足对任意的恒成立， 综合得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 导数的运算 题型一 基本初等函数的导数公式 1．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 3．已知函数，则 ． 4．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 题型二 导数的运算法则 5．若，则在的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．函数在处的切线方程为，则的值为 . 8．设二次函数，且函数图象与轴交于. (1)求函数的解析式； (2)求的图象在点处的切线方程； (3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围； 题型三 导数的加减法 9．已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 11．若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则 . 12．已知函数，其中是的导函数． (1)求； (2)求曲线在原点处的切线方程． 题型四 导数的乘除法 13．设函数，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）当函数在处的导数为时，那么可以是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数和满足，函数满足，则 . 16．拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？ 题型五 简单复合函数的导数 17．已知函数的导函数为，且，则（　　） A． B． C． D．1 18．（多选）已知函数，其中且，则下列说法正确的是（    ） A．有且仅有个零点 B．存在，使得在定义域内单调递增 C．若，则 D．若，则 19．已知函数，则函数在处的切线方程是 ． 20．已知函数的图象在定义域上连续不断，，，在区间上单调递减，是的导数. (1)证明：是周期函数； (2)给定，设，证明：存在，使得； (3)若，，，设函数. （i）求的最大值； （ii）若存在，使得对恒成立，求实数的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $