精品解析：天津市第一百中学、咸水沽第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中联合考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期中联合考试 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程计算直线斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】由题意得，直线的斜率，故直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的离心率求出的值，由此可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线的离心率为，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 3. 设x，，向量，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直和共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得，则，， ， 则. 故选：D. 4. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 5. 与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得c，离心率和焦点的位置，然后再根据椭圆与双曲线的关系求解. 【详解】由椭圆，得，，焦点在轴上． 由题意得双曲线，焦点在轴上，， 所以，， 所以． 所以双曲线方程为． 故选：B 6. 过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可得，进而将三角形的周长转化为，再由椭圆的定义及椭圆的上点的范围可得最小值. 【详解】由椭圆：，得，即，. 如图，作出符合题意的图形， 因为椭圆和直线l都是中心对称图形，所以，. 所以的周长为. 设，则，， 又因为，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立. 故选：B. 7. 我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案. 【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为， 设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为， 依题意，，整理得，即， 而，解得， 此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为. 故选：C 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆定义将问题转化为求的最小值问题，结合图形分析即可得解. 【详解】由题意，得，， 将曲线的方程化为，则圆心为，半径， 由椭圆定义得，即， 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立， 因为，所以的最小值为. 故选：A 9. 设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 10. 已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求直线的方程. 【详解】由题意，直线的方程化为， 由得 ∴直线过定点，显然点在圆内， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线， ，解得， 代入到直线的方程并化简得. 故答案为：. 11. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到向量，再利用向量投影公式求在上投影向量的模，最后结合勾股定理即可求出. 【详解】由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，, ，，， ， 设点D到直线的距离为，则， 故答案为：. 12. 已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是_________. 【答案】或5 【解析】 【分析】根据两圆方程求出圆心和半径，结合题意可得两圆外切，进而列式计算即可. 【详解】由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 故答案为：或5. 13. 在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】折线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：. 14. 双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，则， 由，解得， 因为，所以，求得，即， 由，解得， 由正弦定理可得：， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 15. 已知圆上两点，，O是坐标原点，，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为，求出点的轨迹方程，根据点到直线的距离公式可得表示两点到直线的距离之和的倍，求出点到直线的距离的最大值，即可得解. 【详解】由题意得圆上两点，，得， 设的中点为，则， 由，得， 所以，可得点的轨迹是以为半径，为原点的圆， 则， 表示两点到直线的距离之和的倍，而为的中点， 故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为， 所以的最大值是. 故答案为：. 三、解答题（共6题，满分75分.） 16. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线上， （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的切线l，求直线l的方程； （3）求直线被圆C所截得的弦长. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆C的方程为，将点A、B代入，结合圆心在直线上，即可求解； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解； （3）根据点到直线的距离公式和弦长公式即可求解． 【小问1详解】 设圆C的标准方程为， 则由题意得，解得， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 因为，所以点在圆外， 当直线l的斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离为1，等于半径，故满足题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则点到直线l的距离，解得， 此时，即； 综上，直线l的方程为或； 【小问3详解】 因为圆心到的距离为， 所以弦长． 17. 长方体中，，，E、F分别为，中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用勾股定理，证得，由平面，证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以D为坐标原点，建立坐标系，求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（1）知：平面，得到，求得，结合向量的距离公式，求得到平面的距离为，结合锥体的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为为 中点，且 ， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以 又因为分别为的中点，可得，所以 因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面. 【小问2详解】 以D为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 可得， 则，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知：平面，且平面，所以， 在直角中，， 可得， 又由， 可得， 由（1）知：平面，所以平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为， 故三棱锥的体积为. 18. 如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）利用空间垂直关系可证明线面垂直，再建立空间直角坐标系，利用线向量与法向量的数量积为零来证明线面平行即可； （2）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值即可； （3）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 证明：取中点H，因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为，中位线，所以， 则以点为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，， 所以可得，，，，，，，， 向量，且平面的法向量为， 则，所以，又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 由向量，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以，又因为平面的法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由，，， 则向量， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，已知过的直线l与椭圆交于M，N两点，且的周长为，短轴长为2 （1）求椭圆C的方程； （2）若在直线上存在一点P，使得为等边三角形，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义和几何性质求出即可得方程； （2）分斜率为0、不存在、存在且不为0讨论，记中点为，根据，结合弦长公式求解可得. 【小问1详解】 依题意，且，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 若为等边三角形，则点为的垂直平分线与直线的交点. ①当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得， 解得，此时， 此时，，不满足题意； ②当直线斜率为0时，显然不满足题意； ③当直线斜率存在且不为0时，设直线为，， 设直线与椭圆交于不同的两点，，中点为， 由方程组，整理得， 则，，， ， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 因为三角形为等边三角形，所以，整理得， 即，直线方程为 20. 已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设列方程可得，进而求解即可； （2）由（1）可得，，，椭圆的方程为，设直线的方程为，可得，联立直线与椭圆方程，结合题意可求得，进而得到直线的方程，根据平分可得点到直线的距离也为，结合点到直线的距离公式可求得，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，，，，的面积为， 则， 即，所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 而，即，则，则， 则椭圆的方程为，即. 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，则，即， 联立，得， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以，，即，， 所以直线的方程为，即， 因为平分，又点到直线的距离为， 则点到直线的距离也为，所以，所以， 所以椭圆方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中联合考试 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程（ ） A. B. C. D. 3. 设x，，向量，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 4. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（ ） A. B. C. D. 9. 设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 10. 已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为__________. 11. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为_________. 12. 已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是_________. 13. 在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 14. 双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________. 15. 已知圆上两点，，O是坐标原点，，则的最大值为_________. 三、解答题（共6题，满分75分.） 16. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线上， （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的切线l，求直线l的方程； （3）求直线被圆C所截得的弦长. 17. 长方体中，，，E、F分别为，中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 18. 如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，已知过的直线l与椭圆交于M，N两点，且的周长为，短轴长为2 （1）求椭圆C的方程； （2）若在直线上存在一点P，使得为等边三角形，求直线l的方程. 20. 已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $