第5章 直角三角形 单元测试 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

第5章 直角三角形 单元全真模拟测试卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图， 平分 ， 于点A，点Q是射线 上一个动点，若 ，则 的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．3，4，5 B．5，7，8 C．8，15，17 D．1， 3．如图，在中，，，BD平分，于点E，则的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 4．如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．12 B．144 C．13 D．194 5．如图所示，OP平分 ， ， ，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（　　）． A． B．PO平分 C． D．AB垂直平分OP 6．如图，线段AB= 、CD= ，那么，线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一个长、宽、高分别为6、3、2的长方体，一只蚂蚁从下底面长边中点P处爬向顶点Q处，在所有爬行路线中，最短的一条长度是（　　） A． B．3 C．2 D． 8．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 则当时，的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=32°，则∠BED的度数是（　　） A． B． C． D． 10．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分，其中正确结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，平分，于点，若，则到的距离是　 　． 12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4 cm，则点D到AB的距离为　 　 cm。 13．如图，已知，直角 中， ，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长 ， ，则斜边 之长为　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为　 　． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 　 　 16．等腰 中， ， ，以AC为边作等边 ，则点B到CD的距离为　 　. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F． （1）求的度数； （2）求的度数． 18．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝5，且AC+BC＝6，求AB的长． 19．如图所示，在 中， ，AD平分 交BC于D， 于E，求证 的周长等于AB的长 20．如图，在 中， ，请用尺规在 上找一点P，使得 . 21．春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时，发现，如图长2.5米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为1.5米，当梯子的底端B向右移动0.5米到D处时，你能帮乐乐算算梯子顶端A下滑多少米吗？（E处）． 22．如图，在2×4的方格纸AB-CD中，每个小方格的边长为1.已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）. （1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为﹐点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形. （2）在图2中画一个Rt，使，点在BC上，点在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形. 23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F． （1）求证：CE＝AD． （2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC． 24．如图，已知∠AOB=90°，以O为顶点、OB为一边画∠BOC，然后再分别画出∠AOC与∠BOC的平分线OM、ON． （1）在图1中，射线OC在∠AOB的内部． ①若锐角∠BOC=30°，则∠MON=　 　°； ②若锐角∠BOC=n°，则∠MON=　 　°． （2）在图2中，射线OC在∠AOB的外部，且∠BOC为任意锐角，求∠MON的度数． （3）在（2）中，“∠BOC为任意锐角”改为“∠BOC为任意钝角”，其余条件不变，（图3），求∠MON的度数． 25．在中，，，直线经过点，且于，于， （1）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 第6章 直角三角形 单元全真模拟测试卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图， 平分 ， 于点A，点Q是射线 上一个动点，若 ，则 的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】【解答】解：过点P作PB⊥OM于B， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3， ∴PB＝PA＝3， ∴PQ的最小值为3. 故答案为：C. 【分析】过点P作PB⊥OM于B，由角平分线的性质可得PB＝PA＝3，然后根据垂线段最短的性质进行解答. 2．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．3，4，5 B．5，7，8 C．8，15，17 D．1， 【答案】B 【解析】【解答】A.32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度； B.52+72≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长度； C.82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度； D.12+（ ）2＝（ ）2，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度． 故答案为：B． 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。 3．如图，在中，，，BD平分，于点E，则的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】B 【解析】【解答】解： ，BD平分， ，， 故答案为：B. 【分析】根据角平分线定义求出∠ABD的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠A的度数，最后根据三角形内角和定理求∠ADB度数即可. 4．如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．12 B．144 C．13 D．194 【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示： ∵△DEF为直角三角形， ∴EF2=DE2+DF2， 根据题意得：EF2=169，DE2=25， ∴正方形B的面积=DF2=169﹣25=144； 故选：B． 【分析】由三角形DEF为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，结合正方形面积公式即可求出正方形B的面积． 5．如图所示，OP平分 ， ， ，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（　　）． A． B．PO平分 C． D．AB垂直平分OP 【答案】D 【解析】【解答】∵OP平分 ， ， ∴ ，选项A不符合题意； 在△AOP和△BOP中， ， ∴ ∴ ，OA=OB，选项B，C不符合题意； 由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项D符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB，再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等，可得出 ，OA=OB，即可得出答案． 6．如图，线段AB= 、CD= ，那么，线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB= ，CD= ， ∴图形中的网格是由边长为1的小正方形构成的， 则EF= ． 故选C 【分析】由AB与CD的长，结合图形，利用勾股定理得到此图形是由边长为1的小正方形构成的，故EF为直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求出EF的长． 7．如图，一个长、宽、高分别为6、3、2的长方体，一只蚂蚁从下底面长边中点P处爬向顶点Q处，在所有爬行路线中，最短的一条长度是（　　） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图①，把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个矩形的边长为6和5， ∴PQ= ， 如图②，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个矩形的边长为9和2， ∴PQ= ， ， ∴在所有爬行路线中，最短的一条长度是 ， 故答案为：A 【分析】根据题意展开长方体，进而根据勾股定理即可求解。 8．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 则当时，的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：从表中可知：依次为，，，，，，，，，，，即， 依次为，，，，，，即当时，， 依次为，，，，，，即当时，， 所以当时，． 故选：D． 【分析】结合表格中的数据找出规律求出a的值，再根据规律求出b和c，最后计算求解即可。 9．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=32°，则∠BED的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠C= ， 又∵BC平分∠ABE， ∴∠ABC=∠EBC= ， ∴∠BED=∠C+∠EBC= + = . 故答案为：D. 【分析】根据平行线的性质得到∠ABC=∠C=32°，再根据角平分线的定义得到∠ABC=∠EBC=32°，然后利用三角形外角性质计算即可． 10．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分，其中正确结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【解析】【解答】解：等腰中，，， ， 平分， ， ， 故①正确． ， 由①知， ， ， 故②正确； ，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 故③正确； 平分 由③知 ． 故④正确． 过作，． 在和中， ， ， 平分， 故⑤正确． 故选：． 【分析】 ①由等腰直角三角形的性质可得，由角平分线的概念可得，再利用三角形的外角性质即可； ②由等腰三角形的三线合一结合三角形的外角性质可得，即有； ③由等腰三角形三线合一得，由等角对等边得，由垂直的定义得，则依据AAS即可； ④由外角的性质及互为余角可证明，即，则由等腰三角形三线合一知，由于，则； ⑤过作，，则可利用旋转全等模型证明，则，再由角平分线的判定即可证明结论． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，平分，于点，若，则到的距离是　 　． 【答案】6 【解析】【解答】解：∵AP平分，于点D， ∴P到AB的距离等于PD， ∵PD=6， ∴P到AB的距离为6， 故答案为：6 【分析】根据点到线的距离定义：点到线的距离即为点线的垂直距离，距离即可求解。 12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4 cm，则点D到AB的距离为　 　 cm。 【答案】4 【解析】【解答】解：过点D作AB的垂线，垂足为点E。 在三角形ABC中，因为AD是∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB 所以DE=DC=4。 故答案为：4。 【分析】过点D作AB的垂线，垂足为点E。根据角平分线上的点，到角两边的距离相等，所以点D到AB的距离即为CD的长度。 13．如图，已知，直角 中， ，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长 ， ，则斜边 之长为　 　． 【答案】8 【解析】【解答】解：设BC＝x，AC＝y， ∵AD和BE是中线， ∴CD＝x，CE＝y， ∴ 由①+②得 ∴x2+y2=64 ∵AB2=x2+y2=64 解之：AB=8. 故答案为：8. 【分析】设BC＝x，AC＝y，利用三角形的中线的定义可表示出CD＝x，CE＝y，利用勾股定理建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；利用勾股定理可得到AB2=x2+y2，可求出AB的长. 14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，点D为边AC的中点， ∴， ∵∠C＝60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴． 故答案为：2． 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用△BCD为等边三角形，可得。 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 　 　 【答案】42 【解析】【解答】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm．在Rt△ACB中，AB= =13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm）． 故答案为：42． 【分析】由旋转的性质易得BD=BC，∠DBC=600，再根据有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形可得三角形BCD是等边三角形，于是BD的长可求解，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AB的长，则△ACF与△BDF的周长之和可求解。 16．等腰 中， ， ，以AC为边作等边 ，则点B到CD的距离为　 　. 【答案】 或 【解析】【解答】解：当点D在AC的左侧时，设AB与CD交于点E， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC=AD=CD=4，∠DAC=60°， 又∵∠BAC=30°， ∴∠DAE=∠BAC=30°， ∴AB⊥CD， ∵∠BAC=30°， ∴CE= AC=2，AE= ， ∴BE=AB-AE= ； 当点D在AC的右侧时，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC=AD=CD=AB=4，∠DAC=60°， ∴∠BAD=90°， ∴BD= ， ∵AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ACB=75°， ∴∠BCE=180°-∠ACD-∠ACB=45°， ∵BE⊥CE， ∴∠BCE=∠CBE=45°， ∴BE=CE， ∵BD2=BE2+DE2， ∴32=BE2+（CE+4）2， ∴BE= ， 综上所述：点B到CD的距离为 或 . 故答案为： 或 【分析】由题意可分两种情况求解：①当点D在AC的左侧时，设AB与CD交于点E，由等边三角形的性质和已知条件易证AB⊥CD，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CE=AC，在直角三角形ACE中，用勾股定理可求得AE的值，然后根据线段的构成得BE=AB-AE可求解； ②当点D在AC的右侧时，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，由等边三角形的性质和已知条件易证∠BAD=90°，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，在等腰三角形ABC中，用三角形内角和定理可求得∠ACB的度数，则∠BCE=180°-∠ACD-∠ACB可求得∠BCE的度数；由等腰直角三角形可得BE=CE，在直角三角形BDE中，用勾股定理可求解.综合两种情况即可求解. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据角平分线定义即可求出答案. （2）根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角之间的关系即可求出答案. （1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝5，且AC+BC＝6，求AB的长． 【答案】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∵S1+S2＝5， ∴ ×π× + ×π× + ×AC×BC﹣ ×π× ＝5， ∴AC×BC＝10， AB＝ ＝ ＝4． 【解析】【分析】 根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2， 即得S1+S2＝5，利用三角形的面积公式代入数据，从而得出AC×BC＝10，由勾股定理得AB＝ ＝ ，据此即可求出结论. 19．如图所示，在 中， ，AD平分 交BC于D， 于E，求证 的周长等于AB的长 【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB， ∴CD=DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE， ∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB， ∴ 的周长等于AB的长. 【解析】【分析】根据AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，得出CD=DE，利用全等三角形的性质得出Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AC=AE，从而得出△DEB的周长，即可得出结论。 20．如图，在 中， ，请用尺规在 上找一点P，使得 . 【答案】解：如图，点P即为所求： 理由如下：∵DE垂直平分AC， ∴点P为AC的中点， 又∵∠ABC＝90°， ∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）. 【解析】【分析】作线段AC的垂直平分线DE，与AC的交点即为点P. 21．春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时，发现，如图长2.5米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为1.5米，当梯子的底端B向右移动0.5米到D处时，你能帮乐乐算算梯子顶端A下滑多少米吗？（E处）． 【答案】解：∵，在中，由勾股定理得，， ∴米，（负值已舍去） ∵米， ∴在中，， ∴米 ∴（米） 答：梯子顶端A下滑0.5米． 【解析】【分析】在中，由勾股定理得，，得出AC的值，在中，，得出CE的值，即可得出AE的值。 22．如图，在2×4的方格纸AB-CD中，每个小方格的边长为1.已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）. （1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为﹐点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形. （2）在图2中画一个Rt，使，点在BC上，点在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形. 【答案】（1）图形如图1所示(答案不唯一). （2）图形如图2所示(答案不唯一). 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可作出图形即可解答； （2）作等腰直角三角形PQR，然后利用平移的性质作图即可解答. 23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F． （1）求证：CE＝AD． （2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC． 【答案】（1）证明：∵EC⊥AC，∠BAC=90°， ∴∠ACE=∠BAC=90°， 在Rt△ABD与Rt△CAE中， ∵AB=AC，BD=AE， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）， ∴CE=AD； （2）证明：∵Rt△ABD≌Rt△CAE， ∴CE=AD，∠CAE=∠ABD，∠ADB=∠E， ∵CF=AD， ∴CF=CE， ∴∠E=∠CFE=∠AFB=∠ADB， 结合8字形图可得∠CBD=∠CAE， ∴∠CBD=∠ABD， ∴BD平分∠ABC. 【解析】【分析】（1）直接利用HL判断出Rt△ABD≌Rt△CAE，进而根据全等三角形的对应边相等可得CE=AD； （2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得CE=AD，∠CAE=∠ABD，∠ADB=∠E，结合AD=CF可得CF=CE，由等边对等角及对顶角相等可得∠E=∠CFE=∠AFB=∠ADB，结合三角形的内角和定理可得∠CBD=∠CAE，则∠CBD=∠ABD，从而根据角平分线的定义可得结论. 24．如图，已知∠AOB=90°，以O为顶点、OB为一边画∠BOC，然后再分别画出∠AOC与∠BOC的平分线OM、ON． （1）在图1中，射线OC在∠AOB的内部． ①若锐角∠BOC=30°，则∠MON=　 　°； ②若锐角∠BOC=n°，则∠MON=　 　°． （2）在图2中，射线OC在∠AOB的外部，且∠BOC为任意锐角，求∠MON的度数． （3）在（2）中，“∠BOC为任意锐角”改为“∠BOC为任意钝角”，其余条件不变，（图3），求∠MON的度数． 【答案】（1）45；45 （2）解：∵∠AOB=90°，设∠BOC=α， ∴∠AOC=90°+α， ∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC， ∴∠MON=∠COM﹣∠CON=∠AOB=45°， （3）解：∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC， ∴∠MON=∠COM+∠CON=（∠AOC+∠BOC）=（360°﹣90°）=135°． 【解析】【解答】解：（1）①∵∠AOB=90°，∠BOC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠COM=AOC，∠CON=∠BOC， ∴∠MON=∠COM+∠CON=∠AOB=45°， 故答案为45°， ②∵∠AOB=90°，∠BOC=n°， ∴∠AOC=（90﹣n）°， ∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠COM=∠AOC=（90﹣n）°，∠CON=∠BOC=n°， ∴∠MON=∠COM+∠CON=∠AOB=45°， 故答案为45°； 【分析】（1）①先根据题意得到∠AOC=60°，进而根据角平分线的性质得到∠COM=AOC，∠CON=∠BOC，从而即可求解； ②先根据题意得到∠AOC=（90﹣n）°，进而根据角平分线的性质得到∠COM=∠AOC=（90﹣n）°，∠CON=∠BOC=n°，从而即可求解； （2）根据角平分线的性质结合题意即可求解； （3）先根据角平分线的性质得到∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC，进而根据∠MON=∠COM+∠CON即可求解。 25．在中，，，直线经过点，且于，于， （1）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【答案】（1）证明：中，，， 又直线经过点，且于，于， ， ， 在和中， ≌， ，， ； （2）证明：中，，直线经过点，且于，于， ，， 在和中， 而 ≌， ，， ； （3）解：、、之间的关系为． 【解析】【解答】（3） 同（2）易证得 AD=CE，DC=EB， DE=CD-CE=EB-AD. 【分析】（1）根据 直线经过点，且于，于， 结合已知可得出 ，进一步证明≌，利用三角形全等的性质得到，，进而得出结论； （2）根据直线经过点，且于，于，结合已知条件进一步得证≌，利用三角形全等的性质得到，，进而得出结论； （3）同（2）易证得进而得出结论. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $