精品解析：河北省名校协作体2025-2026学年高三上学期12月期中调研考试数学试题

2026届高三年级上学期中调研考试 数 学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120 分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. 1或 D. 2或 3. 某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 26 4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 5. 已知函数的定义域为，若，则的解析式不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，若则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（ ） A. 307 B. 308 C. 309 D. 310 8. 已知O为坐标原点，椭圆的左焦点为，过点的直线与C的一个交点P位于第四象限，若为等腰三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为则下列结论中一定正确的是（ ） A. 若则 B. C. 若则的最大值为1024 D. 构成等比数列 10. 已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，在直角梯形中，，B，C分别为的中点，现把，，分别沿折起，使得点重合为一点A，得到如图2所示的四面体，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 点A到底面的距离为 D. 二面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若___________． 13. 已知O是坐标原点，等腰三角形AOB的顶点A，B在抛物线C上，且，若C的焦点F到直线AB的距离为，则_______. 14. 已知各项均不为0的数列的前n项和为，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与x轴平行，求实数a的值； （2）若，求的单调区间. 16. 已知双曲线过点且离心率为. （1）求双曲线C的方程. （2）在双曲线上是否存在点，使得点到的两条渐近线的距离之和等于若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 17. 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. （1）从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. （2）已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. （3）该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 18. 如图，在直三棱柱中，若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段的中点为Q. （1）求证：平面平面； （2）求点Q的轨迹长度； （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 已知函数其中. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）判断函数的极值点个数； （3）若有且仅有个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级上学期中调研考试 数 学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120 分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】应用集合的交运算求，根据其元素个数确定真子集的个数. 【详解】由，共有3个元素， 所以的真子集的个数为. 故选：C 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. 1或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，再根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，整理得，解得或 所以实数的值为2或 故选：D 3. 某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据不相邻及特殊位置列式结合排列数计算求解. 【详解】因为A与B的画像不相邻，所以先排再插空排有种排法， 又因为E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为种排法. 故选：C. 4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 5. 已知函数的定义域为，若，则的解析式不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判断的奇偶性，再结合幂函数、指数函数等性质判断各项函数的奇偶性，即可得. 【详解】由题设的定义域为，且， 所以为奇函数， 对于A，为奇函数，满足， 对于B，为奇函数，满足， 对于C，为偶函数，不满足， 对于D，且定义域为，满足. 故选：C 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，若则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理转化求出，再由同角的三角函数关系求出,代入面积公式计算即得. 【详解】由正弦定理可得， 则，即，则为锐角 由可得， 则. 故选：D. 7. 某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（ ） A. 307 B. 308 C. 309 D. 310 【答案】C 【解析】 【分析】在第一阶段解出，在第二阶段解出. 【详解】在第一阶段，由， 即，得，而，所以解得， 即时第一阶段迭代结束，所以.在第二阶段， 由，即， 得， 而，所以解得，即时模型停止训练. 故选：C. 8. 已知O为坐标原点，椭圆的左焦点为，过点的直线与C的一个交点P位于第四象限，若为等腰三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用几何性质可知，根据，，求得，利用椭圆定义求出，即可求解离心率. 【详解】记椭圆的右焦点为，连接，如下图所示： 因为直线的斜率为，所以， 因为为等腰三角形，所以，所以， 直线中，令得，所以， 在中，，， 则， 由椭圆定义可知，，， 所以C的离心率为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为则下列结论中一定正确的是（ ） A. 若则 B. C. 若则的最大值为1024 D. 构成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式判断A、B；先根据已知条件求出首项和公比从而求得数列和的公式，再根据指数函数和一元二次函数的性质求出最大值判断C；当时，，不能构成等比数列可判断D. 【详解】在等比数列中，，则，所以，A错误； ，B正确； 在等比数列中，，则，，， 设， ， 当或时，可取得最大值10，此时取得最大值，C正确； 当时，，不满足等比数列的定义，不能构成等比数列，D错误. 故选：BC 10. 已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式推出和时，条件成立，故，A错误；BCD选项，在A选项基础上结合三角恒等变换进行判断. 【详解】A选项，若，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 若，可得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 综上，，A错误； B选项，当时，，满足要求； 当时，，满足要求，B正确； C选项，，两边平方得， 即，C正确； D选项，当时，， ， 满足要求； 当时，， 此时， 故成立，综上，D正确. 故选：BCD 11. 如图1，在直角梯形中，，B，C分别为的中点，现把，，分别沿折起，使得点重合为一点A，得到如图2所示的四面体，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 点A到底面的距离为 D. 二面角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理、四面体体积公式、点到平面的距离以及二面角的余弦值逐项计算判断即可. 【详解】对于A： 由题意知，平面， 所以平面，因为平面， 所以，A正确； 对于B： 在直角梯形中，过作于点， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以，因为为的中点， 所以.所以在四面体中，， 所以，又平面， 所以，B错误； 对于C： 由选项B可得直角梯形的面积， ， 所以. 设点到底面的距离为，由选项B知，得，C正确； 对于D： 如图，在四面体中，过作平面，经判断知点在内， 过作于点，连接，则， 所以为二面角的平面角. 在中，，得. 由选项C知，所以， 所以，即二面角的余弦值为. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若___________． 【答案】 【解析】 【详解】令，则， 代入运算， 所以，解得， 所以. 13. 已知O是坐标原点，等腰三角形AOB的顶点A，B在抛物线C上，且，若C的焦点F到直线AB的距离为，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件及抛物线的对称性得到点的坐标，利用点F到直线AB的距离求出的值，即可得解. 【详解】在等腰三角形AOB中，，所以， 由抛物线的对称性可知A，B两点关于轴对称，即轴，所以， 不妨设点A在轴上方，则直线的斜率， 所以直线的方程为，设， 由于点A在抛物线上，所以，得（舍去）， 所以， 直线的方程为，又， 所以点F到直线AB的距离为，得， 所以，所以， 故答案为： 14. 已知各项均不为0的数列的前n项和为，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】猜想并证明出，两边取对数得，构造函数，并得到，从而得到，求出答案. 【详解】，令得， 又，代入可得， 令得，将和代入可得， 猜想，， 下证，假设，则， 故，解得，故满足要求， 两边取对数得， 将和代入，变形得， 令，， 则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 所以，， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与x轴平行，求实数a的值； （2）若，求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调增区间为，单调减区间为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，则， 又因为曲线在点处的切线与x轴平行， 故，解得. 【小问2详解】 时，，定义域为， ，令可得， 当时，，当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为. 16. 已知双曲线过点且离心率为. （1）求双曲线C的方程. （2）在双曲线上是否存在点，使得点到的两条渐近线的距离之和等于若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 由（1）知，双曲线的渐近线方程为：， 设，则，， 所以点到渐近线的距离为：； 点到渐近线的距离为：， 所以 所以， 两边平方得： ， 当且仅当时等号成立， 所以， 由于，所以，无解， 所以不存在点到的两条渐近线的距离之和等于. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案； （2）假设存在，则点到两条渐近线的距离和，取不到，进而判断不存在. 【小问1详解】 因为双曲线过点且离心率为. 所以，解得， 所以双曲线C的方程为： 【小问2详解】 不存在，理由略. 17. 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. （1）从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. （2）已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. （3）该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”，利用全概率公式即可求解. 【小问1详解】 设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， 所以． 【小问2详解】 结合（1）由贝叶斯公式得 【小问3详解】 设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； 因补贴买品牌B的概率，； 非补贴买品牌A的概率，； 非补贴买品牌B的概率，； 则由全概率公式得 ． 18. 如图，在直三棱柱中，若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段的中点为Q. （1）求证：平面平面； （2）求点Q的轨迹长度； （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）在 中，，由余弦定理可得： ， 所以 ，，所以 . 又因为在直三棱柱中，所以平面 ， 平面 ，所以. 因为 ，，，平面， 所以 平面，又因为 平面，所以平面平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理得 ，再由直棱柱得 ，进而可得 平面，再由面面垂直的判定定理可得； （2）由点Q在坐标平面内，且，由解析法可得Q点的轨迹方程； （3）先用向量法表示出线面角的正弦值，再结合点的坐标的范围可得正弦值的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ，，， 故以所以直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图： 因为M在 上，设，又N在上，设. 点N在平面上的射影为点P，且平面平面，所以，. 由，得：，即，. 因为Q在坐标平面，设，又是线段的中点， 所以代入上式得：，且. 所以点Q的轨迹在坐标平面内，以C点为圆心，以为半径，以为圆心角的弧，如图： 所以点Q的轨迹长度为 【小问3详解】 设平面的法向量为，且， 由，得，令，则，即. 而，所以直线 与平面所成角的正弦值为 ， 而由（2）可知，，所以， 即直线 与平面所成角的正弦值的取值范围为. 19. 已知函数其中. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）判断函数的极值点个数； （3）若有且仅有个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，无极值点， 当时，有个极值点， 当时，有个极值点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件求出切点坐标和切线方程，再利用导数的几何意义即可求出a的值； （2）判断函数的极值点个数，即求导函数等于零的个数，分类讨论导函数的零点个数； （3）有且仅有1个零点转化为即有唯一解，构建函数分类讨论. 【小问1详解】 由题可得：，故切点代入切线方程可得：， 即切线，，，故. 【小问2详解】 ，令 求极值点个数即求变号零点个数， 即求变号零点个数， 当时，，无零点，无极值点， 当时，，时，，故无极值点， 当时，， 变号零点数为有个极值点， 当时，当时，， 当时，，， 此时，是唯一变号零点，有个极值点， 综上当时，无极值点， 当时，有个极值点， 当时，有个极值点. 【小问3详解】 有唯一零点，即有唯一解， 即有唯一解， 令，即有唯一解， 由（2）可得： ①当时，即，在上单调递增， 存在唯一使得， ②当时，即， 令，当时，则， ， 当时，，当时，， 所以，当时，函数有极小值， 则 因为，所以，则， 因为，所以， 所以， 因为，当时，， 所以函数存在唯一零点； ③当时，即时，则， 此时函数在区间上单调递增，且，所以只有一个零点； ④当时，即令，则， 当，，当时，， 所以，当时，函数有极小值， 因为，故函数有极小值为负， 因为， ， 令，， 当时，， 所以函数在区间上单调递增， 因为，所以当时，， 所以， 因为， 所以函数在区间各有一个零点，不满足题意. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $