精品解析：吉林省吉林市吉化第三中学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

吉化三中2025-2026学年度高三数学月考试卷 一、单选题 1. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平移后的函数，根据新函数是偶函数即可得出的值. 【详解】由题意， 在中，向左平移得到， 所以， 因为为偶函数， 所以， 又因为， 所以， 故选：D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切型函数的周期公式计算可得. 【详解】解：对于函数，显然， 所以函数的最小正周期. 故选：B 3. 已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ） A. 第28项 B. 第29项 C. 第30项 D. 第32项 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差，再求出，进而根据通项公式可得项数. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 令， 得，即是中的第30项. 故选：C. 4. 已知实数，满足，，则下列正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性判断，的关系，利用对数函数性质判断，的关系，从而得到结果. 【详解】， ， 故. 故选：B. 5. 在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】因为三棱锥中，平面， 不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 因为长方体的体对角线即为其外接球的直径， 因为，则长方体的长宽高分别为 所以三棱外接球的半径为 . 所以三棱锥外接球的体积为 . 故选：C. 6. 已知复数与都是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设，根据复数的四则运算可得出关于的等式与不等式，求出的值，即可得解. 【详解】因为为纯虚数，设，则， 由题意可得，解得，因此，. 故选：C. 7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 8. 我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（ ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨） A. 51车 B. 52车 C. 54车 D. 56车 【答案】B 【解析】 【分析】由图形直接解出上下底面及中截面面积，再由解出拟柱体的体积，最后结合实际求出需要的卡车数量即可. 【详解】由条件可知：上底长为米，宽为米；中截面长米，宽米； 则上底面积平方米，中截面积平方米， 下底面积平方米， 所以该建筑材料的体积为(立方米)， 所以建筑材料重约（吨）， 需要的卡车次为，所以至少需要运车. 故选：B 二、多选题 9. 若∈[0，2π]，sinsincoscos0，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可． 【详解】解：因为∈[0，2π]，sinsincoscoscos＝0， 则或， 故选：CD． 10. 定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的模为 C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】设，由题意知， 即，则，解得，所以， 对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B正确； 对于选项C，因为，故C正确， 对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确， 故选：BCD. 11. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解. 【详解】令，得到，则.故A错误. 令，得到， 则， 则或, 由于当时，，则此时， 故时，，故时，，所以， 而，故对任意恒成立，则关于对称. 可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 则的图象关于点对称，故B正确. 令，得到， 则. 令，得到 令，得到， 两式相减得， 变形， 即, 时，，两边除以， 即，故C正确. 令，则， 时，，则， 且，则，即.故D错误. 故选：BC. 【点睛】难点点睛：解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 三、填空题 12. 已知，，若与平行，则实数________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标形式即可求解. 【详解】由题意得 ， 由于与平行，故，解得：， 故答案为： 13. 为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意确定相应的各角的度数，在中，由正弦定理求得BC,同理再求出DB，解，求得答案. 【详解】由题意可知，, , 故在中，， 故 ，， 在中，， 故 ，， 所以在中，，则 , 故答案为：2 14. 如图，已知平面平面，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】作出异面直线与所成的角，利用余弦定理求出相关线段长，进而求出夹角的余弦. 【详解】延长到点，使得，连接，则四边形为平行四边形， 有，于是或其补角是异面直线与所成的角，如图， 在平面内过点作，连接，由四边形是等腰梯形， 得，，由已知可得， 即，而，则≌，有， ，于是，， 由，得，则， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，因此，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知等差数列的首项为，公差，前项和为，数列也为等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设的前项和为，求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，用表示，可求出； （2）利用裂项求和法求解即可． 【小问1详解】 因为，， ， 且由题意可知， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 所以 . 16. 已知分别为三个内角的对边，. （1）求； （2）若 ，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和差的正弦公式进行求解即可． （2）利用正弦定理得到、，则，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【小问1详解】 解： ， ， 即， 即， 得， 即， ， ，又，所以． 【小问2详解】 解：因为，， 由正弦定理 其中，由于，所以当时， 17. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年200位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民家庭按照“民用价”收费，不低于的按照“商业价”收费，为保障有的居民能享受“民用价”，请设置该标准； （3）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是.规定“最佳稳定值”是这样一个量：与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出的值. 【答案】（1）0.0625 （2）19.2 （3）12 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解. （2）由频率分布直方图求第p百分位数的计算公式即可求解. （3）设与各数据的差的平方和为，由题意得，利用二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，家庭月均用水量在中的频率为， 同理，在中的频率分别为. 由，解得； 【小问2详解】 由（1）知，前4组的总频率为， 前5组的总频率为，所以， 所以根据百分位数的计算方法有，解得； 【小问3详解】 设与各数据的差的平方和为， 则 ， 由二次函数的性质知，当时，取得最小值， 故. 18. 在三棱柱中，，，，分别为，的中点，． （1）求证：； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，取中点为，连接，， 因为，所以， 因为，为，的中点，且， 所以，所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，且， 所以平面， 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件证出平面，即可得出； （2）以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再利用夹角公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，在中，， 所以，又平面，故平面， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 则，令，解得，故， ，令，解得，， 故， 设二面角的平面角为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设是的两个极值点，求证：． 【答案】（1） 当时，的减区间为，的增区间为； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为的增区间为． （2） 因为存在两个极值点， 由（1）知当且仅当时，存在两个极值点， 要证，即证． 因为， 所以只要证，即证． 设，， 则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，．即原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性， （2）将代入化简将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 所以当时，，，单调递增，，，单调递减，，，单调递增； 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，，，单调递增，，，单调递减，，，单调递增． 综上所述，当时，的减区间为，的增区间为； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为的增区间为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉化三中2025-2026学年度高三数学月考试卷 一、单选题 1. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ） A. 第28项 B. 第29项 C. 第30项 D. 第32项 4. 已知实数，满足，，则下列正确的结论是（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数与都是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（ ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨） A. 51车 B. 52车 C. 54车 D. 56车 二、多选题 9. 若∈[0，2π]，sinsincoscos0，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的模为 C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 11. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 三、填空题 12. 已知，，若与平行，则实数________． 13. 为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km. 14. 如图，已知平面平面，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 四、解答题 15. 已知等差数列的首项为，公差，前项和为，数列也为等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设的前项和为，求． 16. 已知分别为三个内角的对边，. （1）求； （2）若 ，求的最大值. 17. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年200位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民家庭按照“民用价”收费，不低于的按照“商业价”收费，为保障有的居民能享受“民用价”，请设置该标准； （3）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是.规定“最佳稳定值”是这样一个量：与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出的值. 18. 在三棱柱中，，，，分别为，的中点，． （1）求证：； （2）若，求二面角的正弦值． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设是的两个极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $