【解题模型】专题07平衡中的临界极值 死活结 动定杆-2026高考物理

专题07平衡中的临界极值死活结动定杆 模型总结 模型1临界极值问题.… 1 模型2“活结“死结”动杆”“定杆”模型 15 模型3“晾衣架”中的“活结”问题 26 模型1 临界极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好 出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常 见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F=0。 (3)刚好离开接触面，支持力乃=0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解答临界和极值问题的三种方法：函数法、图解法和极限法。 1.(25-26高一上·江苏苏州期中)如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上， 其上有一光滑圆柱C,三者半径均为R。C的质量为m,A、B的质量均为 2,与地面间的动 摩擦因数均为！。现用水平向右的力拉A,使A缓慢移动，直至C恰好降到地面如虚线所示， 整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求： 第1页共16页 B R B (I)未拉A时，C受到B作用力的大小F; (2)A向右移动2√2-2)R时，A对C的作用力大小F: (3)动摩擦因数的最小值“mn。 2.(25-26高一上·河北邯郸·期中)如图所示为古法榨油简化原理图，用力撞击木楔去挤压 两侧的木块（木块下面有水平挡板）便可将油榨出。若木楔可看作顶角为的等腰三角形，对 木楔施加竖直向下的力大小为F,所夹的油饼编号分别为1、2、3、4、5，且每块油饼质量均 为m,油饼1与木块间，油饼5与竖直墙壁间的动摩擦因数均为μ=0.6，油饼之间的动摩擦因 数均为μ2=0.3，不考虑木楔的重力以及与木块间、木块与水平挡板间的摩擦，整个装置始终静 止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则下列说法正确的是() F 油饼 木楔 3 4 木块V木块 A.木楔对木块的压力大小为2sin。 .0 S0C/Y出州平必业 0 C.油饼2相对油饼3的运动趋势方向竖直向上 D.若要保持所有油饼始终静止，对木楔施加的压力F的大小应满足F≥10 ng tan。 3.(25-26高一上·江苏南京·期中)如图所示，某幼儿园要在空地上安装一个滑梯，由于空地 第2页共16页 大小限制，设计时，滑梯的水平跨度确定为x=4,考虑到儿童裤料与滑板间的动摩擦因数 0.3≤4≤0.5，重力加速度g取10m/s2。 (1)为使所有儿童在滑梯上都能滑下，求滑梯的最小高度； (2)若安装的滑梯高度为3，求一名质量m=20kg的幼儿从滑梯上端向下滑行时，滑梯对幼 儿的支持力大小。 4.(25-26高一上·全国·课后作业)如图所示，两个质量均为m=0.5kg的小环套在一水平放置 的粗糙长杆上，两根长度均为L的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M=1kg的木块 上，两小环保持静止。重力加速度取g=10m/s2。 m ☑ (1)求杆对每个小环的支持力大小： (2)若小环与杆之间的动摩擦因数4= 6 ,求两环之间的最大距离。 5.（2025高三·全国·专题练习)如图所示，质量分布均匀的直杆AB置于水平地面上，现在A 端施加外力F,缓慢拾起直杆至竖直，B端始终和地面保持相对静止，F的方向始终和直杆垂 直，要确保直杆B端始终和地面保持相对静止，则直杆和地面间的动摩擦因数至少为多少？ F 7777777777777777777777777 B 6.(25-26高三上·重庆南岸·月考)如图，固定在水平地面上的斜面倾角为37°，现在斜面上放 一个质量为11kg的滑块，对滑块施加一个沿斜面向上的F=11N的推力时（如图甲），滑块 刚好可以沿斜面向上做匀速直线运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，si37°=0.6， 第3页共16页 c0s37°=0.8,8取10m/s2。 F 37 37 甲 乙 (1)求滑块与斜面间的动摩擦因数： (2)如图乙所示，现改对滑块施加一个水平向右的推力F,为保证滑块在斜面上静止，求F,大 小的取值范围。 7.(24-25高三上·江苏·阶段练习)如图是老师带领同学们做实验的情景。有顶角不同的圆锥 放在桌面上，同学们发现顶角为日的圆锥，无论多大的力都不能按图示那样拿起，设手与圆锥 体间的动摩擦因数为4，若最大静摩擦力大小近似为滑动摩擦力大小，则角度0与4满足的 关系是() 0 0 A.sin0≥u B.sing≥μ c.tan0≥u D.tan。≥u 2 8.（2024四川南充·一模)在同一足够长的竖直墙壁上，一物块从某时刻无初速释放，在释 放的同时，分别以图中两种方式对物块施加水平外力，方式一中t表示时间，方式二中ⅴ表 示速度大小，飞1、k2为比例系数，使物块贴着墙壁运动。物块与墙壁间的动摩擦因数为μ。 则() F=kt F=kv 方式一 方式二 A.方式一中，物块受到的合外力先变小后不变， 当t= Lmg时， 合外力为0 uk 第4页共16页 B。方式二中，物块受到的合外力先变小后不变，当v= m8时，合外力为0 uk, C.方式一中，物块速度先增大后减小，最大速度为 mg 2μk D.方式二中，物块速度先增大后减小，最大速度为 g k 9.(24-25高三上辽宁·月考)如图所示，一倾角为53°质量为M=6kg的斜面体A置于水平 面上，在斜面体和竖直墙面之间放置一质量为m=9kg的光滑小球B,斜面体A受到水平向 右的推力F,使A、B系统始终处于静止状态。已知斜面体与水平面间的动摩擦因数μ=0.2， 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s2。求： B A 53° 777777777777 (1)小球B对斜面体A压力大小和受到墙面弹力的大小： (2)水平向右的推力F的最小值。 10.(23-24高二下·浙江温州·期末)单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因 数有关。用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面， 手指接触点连线水平且相距为L,球半径为R,接触点与圆心的连线与水平夹角为O,手指和 球间的动摩擦因数为4，球质量为m。已知重力加速度为g,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦 力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的是() 手指 手指 接触点】 接触点2 mg A.每个手指对球的摩擦力大小为 2c0s0 第5页共16页 2R B.两手指间距L的取值范围为L> V1+u2 mg C.每个手指手对球的压力最小值为 2μcos0+sin0j D.手对球的压力增大2倍时，摩擦力也增大2倍 模型2 “活结死结%“动杆6定杆”模型 “活结”和“死结”问题 分类 模型结构（举例） 模型解读 模型特点 “活结”一般由绳跨过滑轮或 “活结”两侧的绳 “活结”模 绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子 子上的张力大小处 型 因“活结”而弯曲，但实际为同 处相等 根绳 “死结”把绳子分为两段，且不 “死结”两侧的绳 “死结”模 可沿绳子移动，“死结”两侧的 子上张力不一定相 型 绳因结而变成两根独立的绳 等 “动杆”和“定杆”问题 分类 模型结构（举例） 模型解读 模型特点 轻杆用光滑的转轴或铰当杆处于平衡时，杆 “动杆”模 链连接，轻杆可围绕转所受的弹力方向一定 型 轴或铰链自由转动 沿杆向内或向外 杆所受的弹力方向不 “定杆”模 轻杆被固定在接触面 定沿杆，可沿任意 型 上，不发生转动 方向 11.（25-26高三上·黑龙江·月考)如图所示，一光滑轻质细绳跨过固定在竖直墙壁上的定滑轮， 下端连接一个物体，上端系在水平天花板上，物体静止。现将绳的上端从水平天花板的A点缓 慢移到B点，物体未碰到滑轮，则此过程中() 第6页共16页 B A.细绳的拉力逐渐增大 B.细绳的拉力逐渐减小 C.定滑轮对细绳的作用力逐渐增大 D.定滑轮对细绳的作用力方向在纸面内沿顺时针转动 12.(2025·吉林长春.一模)某同学用光滑的硬钢丝弯折成☐ 形状，将它竖直固定放置。 OB是竖直方向，BC是水平方向，角AOB等于30°，一个光滑的轻环套在足够长OA上，一 根足够长的轻绳一端固定在OB上的M点，轻绳穿过小环，另一端吊着一个质量为m的物体， 下列说法正确的是() M A.OA杆受到小环的压力大小为g B.OA杆受到小环的压力大小为V3mg C.绳端从M点移到B点绳子张力变大 D.绳端从B点水平向左移到N点过程中，OA杆受到小环的压力大小不变 13.(25-26高三上·四川南充阶段练习)如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在竖直墙上的O 点，另一端穿过轻质光滑小环悬挂物体甲，轻质光滑小环拴牢在另一轻绳上，通过光滑定滑轮 与物体乙相连。当系统平衡后，O点处轻绳与竖直墙的夹角0=30°，取sin15°= 6-√2 第7页共16页 cos15-(V6+V2)） 则甲、乙两物体的质量之比为() 4 7777777777 ⊙ 甲 A.(√6+√2)：2 B.(V6-√2)：2 C.2:1 D.1:3 14.(25-26高一上·全国·课后作业)如图b所示，轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一 端通过细绳EG拉住，∠EGH=30°，另一轻绳GF悬挂在轻杆的G端，也拉住一质量为M 的物体，重力加速度为g。下列说法正确的是() 30°7 30°7 G D M M 图a 图b A.图a中BC杆对滑轮的作用力大小为Mg B.图b中HG杆弹力大小为Mg C.轻绳AC段张力T4c与轻绳EG段张力TG大小之比为1：1 D.轻绳AC段张力T4c与轻绳EG段张力TG大小之比为2：1 15.(2025·河北·高考真题)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿 等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一 端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小 球始终位于内壁最低点，则F的最大值为() 第8页共16页 A.IG B.G C.G D.√2G 2 16.(2025·湖南·模拟预测)如图所示，直杆AB倾斜固定在墙边，绕过定滑轮的轻绳C、D两 端分别固定在直杆和竖直墙面上，定滑轮下面吊着重物，将轻绳C端缓慢沿杆移动（重物不 着地)或将轻绳D端缓慢沿墙面移动，则下列判断正确的是() D B A.轻绳C端缓慢沿杆向上移动，轻绳上张力增大 B.轻绳C端缓慢沿杆向下移动，轻绳上张力增大 C.轻绳D端缓慢沿墙面向上移动，轻绳上张力增大 D.轻绳D端缓慢沿墙面向下移动，轻绳上张力增大 17.(2026高三·全国专题练习)在例题中，若OO段水平，长度为1，轻绳上套有一可沿绳 滑动的轻环。现在轻环上悬挂一重量为G的钩码，平衡后，下列说法正确的是() A.轻绳的张力变大 B.物体上升的距离为1 C.轻环一定在O0这段绳的中间位置D.轻环下降的距离为（√2-1l 18.(24-25高一下·安徽·开学考试)如图甲所示，水平轻杆BC一端用光滑铰链固定在竖直墙 上，另一端通过细绳AC固定，∠ACB=30°，在轻杆的C端用轻绳CD悬挂一个重物P;如 图乙所示，水平轻杆HG一端固定在竖直墙上，另一端G处固定一个光滑定滑轮（重力不计）， 一端固定的轻绳EG跨过定滑轮栓接一个与P质量相等的重物Q,∠EGH=30°。BC、HG两 第9页共16页 轻杆受到的弹力大小之比为( B 307 H 30 G D F 甲 P 乙 Q A.1:1 B. √5：1 C.√5：2 D.√5：3 19.（2025高三·全国专题练习)图甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑铰链连接，另一端用轻 绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方用另一轻绳悬挂质量为m的重物。图乙中，轻 杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，用轻绳绕过滑轮悬挂质量为m的重物，倾斜部分绳、 杆之间夹角也为30°。图甲、乙中轻杆都垂直于墙，则下列说法正确的是() 30 30°7 D m m 甲 A.轻杆AB和轻杆CD的弹力大小相等 B.轻杆AB的弹力大于轻杆CD的弹力 C.轻杆AB和轻杆CD中弹力方向均沿轻杆方向 D.若图甲、乙中轻绳能承受的最大拉力相同，则物体加重时，图乙中倾斜部分轻绳更容 易断裂 20.(24-25高三上·陕西宝鸡·阶段练习)如图AO、CO为不可伸长的轻绳，BO为可绕B点 自由转动的轻质细杆，杆长为L,A、B两点的高度差也为L。在O点用轻绳CO悬挂质量 为m的重物，杆与绳子的夹角0α=30°，下列说法正确的是() 第10页共16页 专题07平衡中的临界极值 死活结 动定杆 模型总结 模型1 临界极值问题 1 模型2 “活结”“死结”“动杆”“定杆”模型 15 模型3 “晾衣架”中的“活结”问题 26 模型1 临界极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3．解答临界和极值问题的三种方法：函数法、图解法和极限法。 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量均为，与地面间的动摩擦因数均为。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面如虚线所示，整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求： (1)未拉A时，C受到B作用力的大小； (2)A向右移动时，A对C的作用力大小； (3)动摩擦因数的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）未拉A时，物体C受力平衡，如图所示 根据平衡条件可得 解得 （2）A向右移动时，设A、C球心连线与水平方向的夹角为，根据几何关系可得 解得 对C，根据平衡条件可得 解得A对C的作用力大小为 （3）当C恰好降落到地面时，B与C之间的作用力的方向与竖直方向之间的夹角最大，且为，则B对C支持力最大为，如图所示 根据平衡条件可得 解得 对B有， 又 联立解得 可知动摩擦因数的最小值为 2．（25-26高一上·河北邯郸·期中）如图所示为“古法榨油”简化原理图，用力撞击木楔去挤压两侧的木块（木块下面有水平挡板）便可将油榨出。若木楔可看作顶角为θ的等腰三角形，对木楔施加竖直向下的力大小为F，所夹的油饼编号分别为1、2、3、4、5，且每块油饼质量均为m，油饼1与木块间，油饼5与竖直墙壁间的动摩擦因数均为μ1=0.6，油饼之间的动摩擦因数均为μ2=0.3，不考虑木楔的重力以及与木块间、木块与水平挡板间的摩擦，整个装置始终静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．木楔对木块的压力大小为 B．木楔对木块的压力大小为 C．油饼2相对油饼3的运动趋势方向竖直向上 D．若要保持所有油饼始终静止，对木楔施加的压力F的大小应满足 【答案】ACD 【详解】AB．设木块对木楔的弹力大小为，以木楔为对象，根据平衡条件可得 解得 则木楔对木块的压力大小为，故A正确，B错误； C．以油饼3为对象，根据对称性和平衡条件可知，油饼2、4对油饼3的静摩擦力方向均竖直向上，可知油饼3相对油饼2的运动趋势方向竖直向下，则油饼2相对油饼3的运动趋势方向竖直向上，故C正确； D．以木块为对象，水平方向根据平衡条件可得 可知木块对油饼1的压力大小为 以5块油饼为整体，则有 解得 以中间2、3、4三块油饼为整体，则有 解得 可知要保持所有油饼始终静止，对木楔施加的压力F的大小应满足，故D正确。 故选ACD。 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）如图所示，某幼儿园要在空地上安装一个滑梯，由于空地大小限制，设计时，滑梯的水平跨度确定为，考虑到儿童裤料与滑板间的动摩擦因数，重力加速度g取。 (1)为使所有儿童在滑梯上都能滑下，求滑梯的最小高度； (2)若安装的滑梯高度为，求一名质量的幼儿从滑梯上端向下滑行时，滑梯对幼儿的支持力大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）动摩擦因数最大时能够滑下时，则所有儿童在滑梯上都能滑下；当时，儿童恰好能够匀速下滑时，设滑梯与水平面夹角为，儿童质量为，则有 解得 此时对应的最小高度为 （2）由题意知，若安装的滑梯高度，设此时滑梯与水平面夹角为，则有 可得 根据平衡条件可得滑梯对幼儿的支持力大小为 4．（25-26高一上·全国·课后作业）如图所示，两个质量均为m＝0.5kg的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为L的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M＝1 kg的木块上，两小环保持静止。重力加速度取g＝10m/s2。 (1)求杆对每个小环的支持力大小； (2)若小环与杆之间的动摩擦因数μ＝，求两环之间的最大距离。 【答案】(1)10N (2)L 【详解】（1）对木块、两个小环整体，在竖直方向，由平衡条件可知杆对每个小环的支持力大小 （2）小环刚好不滑动时，小环受到的静摩擦力达到最大值，设此时绳拉力大小为T，与竖直方向夹角为，对M，由平衡条件得 对m，由平衡条件得 联立解得 则两环之间的最大距离 5．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，质量分布均匀的直杆AB置于水平地面上，现在A端施加外力F，缓慢拾起直杆至竖直，B端始终和地面保持相对静止，F的方向始终和直杆垂直，要确保直杆B端始终和地面保持相对静止，则直杆和地面间的动摩擦因数至少为多少？ 【答案】 【详解】直杆AB被缓慢地提起且B端静止不动，显然处于动态平衡状态，对其受力分析发现受重力mg和外力F以及地面的支持力与摩擦力（可合成为一个力），且这些力的方向并不平行，因此力的延长线必然汇交于同一点，故可作受力分析图如图所示。 根据图，若B端始终与地面保持相对静止，则角不能大于B端的摩擦角，即角的正切值满足 取杆长为L，作OC平行于，显然与直杆受力平衡状态下重力mg和外力F以及支持力与摩擦力的合力所构成三角形为相似三角形，因此，可以将对共，点力平衡关系的探讨转化为对边长与角度的几何关系的探讨。 根据正弦定理，在存在① 其中边和OC边的边长满足② 联立表达式①、②，消去L可得 对该式进行整理可将之转化为关于的表达式， 由基本不等式关系即可得到，说明直杆与地面间的动摩擦因数至少为。 6．（25-26高三上·重庆南岸·月考）如图，固定在水平地面上的斜面倾角为，现在斜面上放一个质量为的滑块，对滑块施加一个沿斜面向上的的推力时（如图甲），滑块刚好可以沿斜面向上做匀速直线运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，取。 (1)求滑块与斜面间的动摩擦因数； (2)如图乙所示，现改对滑块施加一个水平向右的推力，为保证滑块在斜面上静止，求大小的取值范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对滑块受力分析，如图所示 根据平衡条件可得 代入数据解得 （2）当滑块有下滑趋势时，受力情况如图所示 根据平衡条件可得 又因为， 联立解得 若物体沿斜面有向上的运动趋势，受力分析如图所示 根据平衡条件则有 结合， 联立解得 故的取值范围为 7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图是老师带领同学们做实验的情景。有顶角不同的圆锥放在桌面上，同学们发现顶角为的圆锥，无论多大的力都不能按图示那样拿起，设手与圆锥体间的动摩擦因数为，若最大静摩擦力大小近似为滑动摩擦力大小， 则角度与满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对左侧接触面分析，圆锥受手作用力如图，设手对接触面弹力为F，则对于圆锥整体而言 整理得 因为无论多大的力都无法拿起，则当时 解得 故选D。 8．（2024·四川南充·一模）在同一足够长的竖直墙壁上， 一物块从某时刻无初速释放，在释放的同时，分别以图中两种方式对物块施加水平外力，方式一中t表示时间， 方式二中v表示速度大小， k1、k2为比例系数， 使物块贴着墙壁运动。物块与墙壁间的动摩擦因数为μ。则（    ） A．方式一中， 物块受到的合外力先变小后不变， 当时， 合外力为0 B．方式二中， 物块受到的合外力先变小后不变， 当时， 合外力为0 C．方式一中， 物块速度先增大后减小， 最大速度为 D．方式二中， 物块速度先增大后减小， 最大速度为 【答案】BC 【详解】AC．方式一中，物体在水平方向上受力平衡 竖直方向上开始重力大于摩擦力，合力大小为 其中，则合力大小为 随着时间的增加，合力逐渐减小，物体向下做加速运动，速度逐渐增大，当时 合力为零，以后摩擦力大于重力，物体开始做减速运动，当合力为零时速度最大，最大速度为v，根据动量定理有 其中摩擦力的平均值为 代入数据解得最大速度为 故A错误，C正确； BD．方式二中，物体在水平方向上受力平衡，即 在竖直方向上，开始重力大于摩擦力，合力大小为 其中，则合力大小为 随着速度的增加，合力逐渐减小，物体向下运动的加速度逐渐减小，速度逐渐增大，当 时，加速度为零，速度最大，以后物体要匀速运动，合力为零，最大速度为 故B正确，D错误。 故选BC。 9．（24-25高三上·辽宁·月考）如图所示，一倾角为53°质量为的斜面体A置于水平面上，在斜面体和竖直墙面之间放置一质量为的光滑小球B，斜面体A受到水平向右的推力F，使A、B系统始终处于静止状态。已知斜面体与水平面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，重力加速度g取。求： (1)小球B对斜面体A压力大小和受到墙面弹力的大小； (2)水平向右的推力F的最小值。 【答案】(1)150N，120N (2)90N 【详解】（1）对B球受力分析，受重力mg，A的弹力N1，墙面的弹力N2，受力如图所示 根据平衡条件有 ， 解得 =150N，=120N 根据力的作用是相互的，所以小球B对斜面体A的压力为150N。 （2）水平向右的外力最小（设为Fmin）时，斜面体可能有向左运动趋势，由于 则有 解得 10．（23-24高二下·浙江温州·期末）单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平且相距为L，球半径为R，接触点与圆心的连线与水平夹角为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ，球质量为m。已知重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的是（    ） A．每个手指对球的摩擦力大小为 B．两手指间距L的取值范围为 C．每个手指手对球的压力最小值为 D．手对球的压力增大2倍时，摩擦力也增大2倍 【答案】B 【详解】A．对篮球受力分析，如图 竖直方向由平衡条件 则 所以每个手指对球的摩擦力大小 故A错误； C．因为 化简可得 即 故每个手指手对球的压力最小值为，故C错误； B．因为 所以 可得 根据几何关系得 由图可知 所以 故两手指间距L的取值范围为 故B正确； D．当篮球受到手的静摩擦力时，，手对球的压力增大2倍时，摩擦力不增大2倍，故D错误。 故选B。 模型2 “活结”“死结”“动杆”“定杆”模型　 “活结”和“死结”问题 分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点 “活结”模型 “活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等 “死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等 “动杆”和“定杆”问题 分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点 “动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆向内或向外 “定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向 11．（25-26高三上·黑龙江·月考）如图所示，一光滑轻质细绳跨过固定在竖直墙壁上的定滑轮，下端连接一个物体，上端系在水平天花板上，物体静止。现将绳的上端从水平天花板的A点缓慢移到B点，物体未碰到滑轮，则此过程中（　　） A．细绳的拉力逐渐增大 B．细绳的拉力逐渐减小 C．定滑轮对细绳的作用力逐渐增大 D．定滑轮对细绳的作用力方向在纸面内沿顺时针转动 【答案】C 【详解】AB．对物体受力分析可知细绳的拉力大小始终等于物体的重力。故AB错误； CD．定滑轮对细绳的作用力和细绳对定滑轮的作用力是一对相互作用力，细绳对定滑轮的作用力是两段细绳对定滑轮拉力的合力，将绳的上端从水平天花板的A点缓慢移到B点的过程中，两段细绳的拉力大小相等且不变，两力方向夹角减小，根据平行四边形定则可得两段细绳拉力的合力大小逐渐增大，方向逆时针转动。 故C正确，D错误。 故选C。 12．（2025·吉林长春·一模）某同学用光滑的硬钢丝弯折成“”形状，将它竖直固定放置。是竖直方向，是水平方向，角等于，一个光滑的轻环套在足够长上，一根足够长的轻绳一端固定在上的点，轻绳穿过小环，另一端吊着一个质量为的物体，下列说法正确的是（　　） A．杆受到小环的压力大小为 B．杆受到小环的压力大小为 C．绳端从点移到点绳子张力变大 D．绳端从点水平向左移到点过程中，杆受到小环的压力大小不变 【答案】AD 【详解】AB．小环受力情况如图所示 小环是轻环，所以绳上拉力的合力与杆垂直，由几何关系可知，两绳子夹角为，故 由牛顿第三定律可知，OA杆受到小环的压力大小为mg，故A正确，B错误； C．对悬挂的重物受力分析可知，绳子中的拉力始终与重物重力平衡 故绳端从点移到点张力大小保持不变，故C错误； D．绳端从点水平向左移到点过程中，绳子中的拉力始终与重物重力平衡，圆环对杆的作用力，由牛顿第三定律，杆受到小环的压力大小，故D正确。 故选AD。 13．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在竖直墙上的O点，另一端穿过轻质光滑小环悬挂物体甲，轻质光滑小环拴牢在另一轻绳上，通过光滑定滑轮与物体乙相连。当系统平衡后，O点处轻绳与竖直墙的夹角=30°，取sin15°=，cos15°=，则甲、乙两物体的质量之比为（　　） A．（）∶2 B．（）∶2 C．2∶1 D．1∶3 【答案】A 【详解】悬挂物体甲的轻绳的拉力等于甲所受的重力，该轻绳在光滑小环处形成的夹角为 悬挂物体乙的轻绳的拉力等于乙所受的重力，设该轻绳与悬挂甲的轻绳的上下两段形成的夹角分别为，，则根据正弦定理可得 所以有 根据正交分解法有 整理可得 故选A。 14．（25-26高一上·全国·课后作业）如图b所示，轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端通过细绳EG拉住，，另一轻绳GF悬挂在轻杆的G端，也拉住一质量为M的物体，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．图a中BC杆对滑轮的作用力大小为Mg B．图b中HG杆弹力大小为Mg C．轻绳AC段张力TAC与轻绳EG段张力TEG大小之比为1：1 D．轻绳AC段张力TAC与轻绳EG段张力TEG大小之比为2：1 【答案】A 【详解】 A． 图a中两绳的拉力大小都等于Mg，夹角为，则两绳拉力的合力大小为Mg。 分析滑轮受力如图所示：滑轮受到杆的弹力和两绳的拉力而静止，所以杆对滑轮的弹力与两绳的拉力的合力等大反向，因此BC杆对滑轮的作用力的大小为Mg。故A正确； B． 图b中分析HG杆G端的受力：G端受到绳EG的拉力、绳GF的拉力和HG杆的弹力，如图所示。 由图中几何关系求得，故B错； CD．由选项B中的受力图可得 所以，故CD错。 故选A。 15．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 【答案】B 【详解】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有 解得 故选B。 16．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，直杆AB倾斜固定在墙边，绕过定滑轮的轻绳C、D两端分别固定在直杆和竖直墙面上，定滑轮下面吊着重物，将轻绳C端缓慢沿杆移动（重物不着地）或将轻绳D端缓慢沿墙面移动，则下列判断正确的是（　　） A．轻绳C端缓慢沿杆向上移动，轻绳上张力增大 B．轻绳C端缓慢沿杆向下移动，轻绳上张力增大 C．轻绳D端缓慢沿墙面向上移动，轻绳上张力增大 D．轻绳D端缓慢沿墙面向下移动，轻绳上张力增大 【答案】B 【详解】A．轻绳上力大小相等，滑轮两边轻绳间的夹角为θ，则 轻绳C端缓慢沿杆向上移动，滑轮两边轻绳间的夹角变小，根据力的平衡可知，轻绳上的张力减小，故A错误； B．轻绳C端缓慢沿杆向下移动，滑轮两边轻绳间的夹角变大，根据力的平衡可知，轻绳上的张力增大，故B正确； CD．轻绳D端缓慢沿墙面向上或向下移动，绳长为l，CD点间距为d，如图所示 根据几何关系可知 α不变，故滑轮两边轻绳间的夹角不变，则θ不变，因此轻绳上的张力不变，故CD错误。 故选B。 17．（2026高三·全国·专题练习）在例题中，若段水平，长度为l，轻绳上套有一可沿绳滑动的轻环。现在轻环上悬挂一重量为G的钩码，平衡后，下列说法正确的是（　　） A．轻绳的张力变大 B．物体上升的距离为l C．轻环一定在这段绳的中间位置 D．轻环下降的距离为 【答案】C 【详解】A．如图所示 挂上钩码后，绳子发生弯曲，但绳子的张力大小仍等于重物的重量，因此张力大小不变，故A错误； B．根据力的平衡条件，绳子张角变为，由于段的距离为，根据三角形的边角关系，物体上升的距离 故B错误； C．由于两边对称，两边绳子拉力相等，因此轻环一定在这段绳的中间位置，故C正确； D．轻环下降的距离为 故D错误。 故选C。 18．（24-25高一下·安徽·开学考试）如图甲所示，水平轻杆BC一端用光滑铰链固定在竖直墙上，另一端通过细绳AC固定，，在轻杆的C端用轻绳CD悬挂一个重物P；如图乙所示，水平轻杆HG一端固定在竖直墙上，另一端G处固定一个光滑定滑轮（重力不计），一端固定的轻绳EG跨过定滑轮栓接一个与P质量相等的重物Q，。BC、HG两轻杆受到的弹力大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对图甲，以点为研究对象，受力分析如图1所示，由平衡条件有 根据牛顿第三定律可知，轻杆在点受到的作用力大小 对图乙，以滑轮为研究对象，受力情况如图2所示，轻杆对滑轮的作用力与两绳对滑轮的合力等大反向，由几何关系有 根据牛顿第三定律可知，轻杆在点受到的作用力大小 故 故选B。 19．（2025高三·全国·专题练习）图甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为，在B点下方用另一轻绳悬挂质量为m的重物。图乙中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，用轻绳绕过滑轮悬挂质量为m的重物，倾斜部分绳、杆之间夹角也为。图甲、乙中轻杆都垂直于墙，则下列说法正确的是（　　） A．轻杆AB和轻杆CD的弹力大小相等 B．轻杆AB的弹力大于轻杆CD的弹力 C．轻杆AB和轻杆CD中弹力方向均沿轻杆方向 D．若图甲、乙中轻绳能承受的最大拉力相同，则物体加重时，图乙中倾斜部分轻绳更容易断裂 【答案】B 【详解】C．甲图中的杆为“活杆”，弹力方向沿杆方向，乙图中的杆为“死杆”，弹力方向不沿杆方向，而是沿两根绳的拉力的合力的反方向，故C错误； AB．图甲中，以B点为研究对象，受到重物的拉力、绳的拉力和AB杆的弹力，根据平衡条件得杆的弹力 图乙中，以D点为研究对象，受到上、下两段绳的拉力，其大小都等于mg和CD杆的弹力，由于两段绳的拉力的夹角为，则由几何知识可得 即轻杆受到的弹力等于mg，故A错误、B正确； D．甲图中轻绳的拉力为 乙图中轻绳的拉力 若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂，故D错误。 故选B。 20．（24-25高三上·陕西宝鸡·阶段练习）如图、为不可伸长的轻绳，为可绕点自由转动的轻质细杆，杆长为，、两点的高度差也为。在点用轻绳悬挂质量为的重物，杆与绳子的夹角，下列说法正确的是（   ） A．轻绳、对点作用力的合力沿杆由指向 B．轻杆对点的力垂直斜向右上 C．轻绳对点的拉力大小为 D．轻杆对点的力大小为 【答案】A 【详解】A．题意可知，轻杆为动杆，故产生弹力方向沿杆，对O点受到轻绳、、BO的作用力而处于平衡态，故轻绳、对点作用力的合力沿杆O指向B，故A正确； B．题意可知，轻杆为动杆，故轻杆对O点的力沿杆OB方向，故B错误； C．对O点受力如图 几何关系可知力的矢量红色三角形为等腰三角形，故轻绳对点的拉力大小为 BO对O点的力 FN=mg 故C错误； D．对轻杆受力分析可知，轻杆对点的力大小等于BO对O点的力大小，即为mg，故D错误； 故选A 。 模型3 “晾衣架”中的“活结”问题 “晾衣架”中的“活结”问题 1.模型结构示例 2.模型解读 如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是轻质光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置。结点为O。 由于绳子拐弯处是平滑连接，故FOA＝FOB＝F 水平方向：Fsin θ1＝Fsin θ2，结合几何关系知θ1＝θ2＝θ 竖直方向：Fcos θ＋Fcos θ＝mg 故F＝，可知F只与θ有关。 由几何关系：sin θ＝(L为绳的总长)。 可知θ只与两杆之间的水平距离d有关。 3.模型特点：若d不变，上、下移动绳子B端，θ不变，F不变；两杆之间水平距离越远，θ越大，F越大。 21．（25-26高三上·河北·月考）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b 两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂在绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（　　） A．若换挂质量更小的衣服，则衣架悬挂点左移 B．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小 C．将杆 N 向右移一些，绳子拉力变大 D．将绳的右端上移到b'，绳子拉力大小不变 【答案】CD 【详解】A．受力分析如图，轻质晾衣绳上的拉力处处相等，两边绳子和竖直方向夹角相等，延长绳子，根据几何关系得、 仅更换质量更小的衣服，、不变，不变，所以悬挂点不会移动，故A错误； BD．如图，由于两杆间距不变，绳长不变，根据勾股定理得不变，不变；又由于不变，拉力不变，所以调整绳子两端的位置对拉力没有影响，故B错误，D正确； C．将杆N向右移一些，变大，由于绳长不变，所以变小；变小，又由于不变，拉力变大，故C正确。 故选CD。 22．（24-25高二下·辽宁·期末）如图所示，高考倒计时牌通过一根不可伸长的轻绳悬挂在光滑钉子上。开始如图1所示AB处于水平状态，使用一段时间后出现了图2的倾斜状态，小明同学就把绳子中间打了一个结，从而避免了倾斜的出现。若图1中AO段绳子的拉力为T1，图2中AO段绳子的拉力为T2，图3中A到节点段绳子的拉力为T3，则三个拉力的大小关系正确的是（　　） A．T1＞T2＞T3 B．T3＞T1＞T2 C．T1＜T2＜T3 D．T1＝T2＜T3 【答案】B 【详解】因钉子光滑可知，图1和图2两边绳子的拉力相等，两边细绳与竖直方向夹角相等，但是图1中两边细绳间夹角较大，设两边细绳与竖直方向夹角为θ，则由平衡可知 因θ1＞θ2可知T1＞T2； 对图1和图3比较，图3中细绳与竖直方向的夹角比图1大，可知T3＞T1 即T3＞T1＞T2。 故选B。 23．（2025·山东·二模）如图所示，一根轻质细绳两端分别固定在等高的A、B两点，一灯笼用轻质光滑挂钩挂在细绳上，挂钩与细绳接触的点为O。下列判断正确的是（　　） A．无风时，将B点缓慢竖直向上移动的过程中，细绳上的弹力逐渐增大 B．无风时，将B点缓慢竖直向上移动的过程中，∠AOB逐渐减小 C．若灯笼受到水平向右的恒定风力，灯笼静止时，∠AOB比无风时小 D．若灯笼受到水平向右的恒定风力，灯笼静止时，AO段的拉力大于BO段的拉力 【答案】C 【详解】AB．设绳长为L，两点之间的距离为d，根据几何关系可得 无风时，根据平衡条件可得 解得 将B点缓慢竖直向上移动的过程中，∠AOB不变，细绳上的弹力不变，故AB错误； C．受到水平向右的恒定风力时，灯笼受力增加一个风力，四力平衡，两个绳子的拉力的合力与重力、风力的合力相平衡，如图所示的状态 设有风时绳子夹角的一半为，由几何关系有 由上述分析可知无风时，由几何关系有 因为 联立可知 故C正确； D．由于不计绳子的质量和绳与衣架挂钩间的摩擦，因此O点为活结，活结两端的拉力总是大小相等，故D错误； 故选C。 24．（24-25高三下·贵州遵义·开学考试）抖空竹是国家级非物质文化遗产代表性项目，我校把它引入到体育校本课程，深受学生喜爱。如图所示，在一次表演赛中，张宇同学保持一只手A不动，另一只手B沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦力，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　） A．沿虚线a向左移动时，细线的拉力将增大 B．沿虚线b向上移动时，细线的拉力将不变 C．沿虚线c斜向上移动时，细线的拉力将减小 D．沿虚线d向右移动时，细线对空竹的合力将增大 【答案】B 【详解】A．设θ为细线与竖直方向的夹角，对空竹受力分析，在竖直方向受力平衡有 沿虚线a向左移动时，θ角减小，则细线的拉力将减小，故A正确； B．沿虚线b向上移动时，AB两点间距不变，绳长不变，可知细线与竖直方向的夹角θ不变，则细线的拉力不变，故B正确； C．沿虚线c斜向上移动时，夹角θ变大，则细线的拉力将变大，故C错误； D．沿虚线d向右移动时，细线对空竹的合力与重力等大反向，可知合力不变，故D错误。 故选B。 25．（24-25高三上·陕西·期中）某同学为了较准确地测量一根不可伸长的细线能承受的最大拉力，将细线对折，将重为G的钩码（挂钩光滑）挂在细线的下端，如图甲所示，用刻度尺测量出对折后的长度L；再按图乙所示，将刻度尺水平放置，两手捏着细线紧贴刻度尺水平缓慢向两边移动，直到细线断裂，读出此时两手间的水平距离d。下列说法正确的是（    ） A．同学两手捏着细线缓慢向两边移动的过程中，细线对钩码的作用力变大 B．同学两手捏着细线缓慢向两边移动的过程中，细线对钩码的作用力变小 C．细线能承受的最大拉力大小为 D．细线能承受的最大拉力大小为 【答案】C 【详解】AB．该同学两手捏着细线缓慢向两边移动的过程中，钩码始终处于平衡状态，细线中拉力逐渐增大，但他们的合力始终等于钩码重力G，故细线对钩码的作用力大小不变，故AB错误； CD．细线断裂时，细线中拉力为最大值，设此时细绳与竖直方向夹角为，则 根据几何关系可知 联立解得 故C正确，D错误； 故选C。 26．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，将一细绳的两端固定于两竖直墙的A、B两点，通过一个光滑的挂钩将某重物挂在绳上，下面给出的四幅图中有可能使物体处于平衡状态的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于重物通过一个光滑的挂钩挂在绳上，挂钩两侧绳子拉力大小相等，两侧绳子拉力的合力与重物的重力平衡，根据对称性可知，挂钩两侧绳子与竖直方向的夹角相等。 故选C。 27．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）如图所示，轻质滑轮固定在水平天花板上，动滑轮挂在轻绳上，整个系统处于静止状态，轻绳与水平方向的夹角θ，不计摩擦。现将绳的一端由Q点缓慢地向左移到P点，则（　　）    A．θ角不变，物体上升 B．θ角不变，物体下降 C．θ角变小，物体上升 D．θ角变小，物体下降 【答案】A 【详解】ABCD.对A物体由二力平衡可得，绳的拉力等于物体重力，对滑轮由三力平衡得，绳拉力的合力不变，绳的拉力不变，故绳的夹角不变，所以θ不变，由于Q点缓慢地向左移到P点，所以绳子向左移，故A上升，故选项A正确，选项BCD错误。 故选A。 28．（20-21高二下·贵州黔西·期中）如图所示，左右两根竖直杆之间有一段光滑的轻绳，轻绳两端分别固定在杆的A点和B点，轻绳上有一个挂钩，挂钩下面挂了一物块．保持左侧杆和A点的位置不变，下列说法正确的是（    ）    A．右侧杆不动，B点移到位置时，绳子张力变小 B．右侧杆不动，B点移到位置时，绳子张力不变 C．B点不动，将右侧杆移到虚线位置C时，绳子张力不变 D．B点不动，将右侧杆移到虚线位置D时，绳子张力变大 【答案】BD 【详解】设挂钩为O，根据对称性可知，挂钩两侧绳子与竖直方向的夹角相等，设为，根据受力平衡可得 设轻绳两端点的水平距离为，绳子长度为，由几何关系可得 A．右侧杆不动，B点移到位置时，由于和均不变，则不变，绳子张力不变，故A错误； B．侧杆不动，B点移到位置时，由于和均不变，则不变，绳子张力不变，故B正确； C．B点不动，将右侧杆移到虚线位置C时，由于变小，不变，则变小，变大，绳子张力变小，故C错误； D．B点不动，将右侧杆移到虚线位置D时，由于变大，不变，则变大，变小，绳子张力变大，故D正确。 故选BD。 29．（22-23高一上·全国·阶段练习）如图所示，一根不可伸长的光滑轻质细绳通过轻滑轮挂一重物，细绳一端系在竖直墙壁的A点，另一端系在倾斜墙壁的B点，现将细绳右端从B点沿倾斜墙壁缓慢向下移动到与A点等高的B′点。在移动过程中，关于细绳拉力大小变化情况正确的是（   ） A．先变小后变大 B．变大 C．变小 D．不变 【答案】B 【详解】如下图，设绳子总长度为L，BD垂直于AB′，最开始时AO与竖直方向的夹角为θ，根据对称性有 AOsinθ＋BOsinθ = Lsinθ = AD 绳子右端从B点移动到B′点后，滑轮从O点移动到O′点，B′O′与竖直方向夹角为α，根据对称性有 AO′sinα＋BO′sinα = Lsinα = AB′ 因为 AB′ > AD 所以 α > θ 则绳子移动后，绳子之间的夹角变大，而两段绳子的拉力大小相同，合力大小始终等于重物的重力大小，根据力的平行四边形定则，两段绳子的拉力大小变大。 故选B。 30．（22-23高一上·北京西城·阶段练习）在如图所示装置中，两物体质量分别为和，滑轮直径大小可忽略。设动滑轮两侧的绳与竖直方向夹角分别为和。整个装置能保持静止。不计动滑轮的质量和一切摩擦。则下列法正确的有（    ） A．一定等于 B．一定大于 C．一定小于 D．可能大于 【答案】A 【详解】绳子连续通过定滑轮和动滑轮，绳子上的拉力相同，整个装置能保持静止，则绳子上的拉力大小与的重力大小相同，即 对滑轮进行受力分析可得 解得 故一定小于，当时，有 故选A。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $