2025-2026学年北师大版数学九年级上册综合素质测试卷

2025-2026学年北师大版数学九年级上册综合素质测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．某运动会颁奖台如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（    ） A． B． C． D． 4．一个不透明的袋子中装有个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同.若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回,经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于，则小明估计袋子中白球的个数为(   ) A． B． C． D． 5．如图，，点H在上，与交于点G，，则线段长为（    ） A．5 B．3 C．2.5 D．2.4 6．如图，反比例函数第一象限内的图象经过的顶点，，，且轴，点，，的横坐标分别为1，3，若，则的值为（    ）      A．1 B． C． D．2 7．在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（   ） A．垂直 B．相等 C．垂直且互相平分 D．互相平分 8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（    ）小分支． A．8 B．9 C．2 D．8或2 9．如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数 图象交于点，，连接，，若的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关中的任意两个至少让一个小灯泡发光的概率是 ． 13．如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为 ． 14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是 ．    15．如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为 ． 16．如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19、20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题每小题12分，第25题每小题14分，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 19．为了解某次数学考试情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为150分），并将成绩分组如下：第一组(75≤x＜90)、第二组(90≤x＜105)、第三组(105≤x＜120)、第四组(120≤x＜135)、第五组(135≤x≤150)．并将成绩绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图(不完整)，根据图中信息，回答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了___ _名学生，并将频数分布直方图补充完整； (2)该年级共有1500名考生，估计成绩120分以上(含120分)学生有__ 名； (3)如果第一组(75≤x＜90)中只有一名是女生，第五组(135≤x≤150)中只有一名是男生，现从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈答题感想，试求所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率． 20．如图，已知等边△ABC的边长为8，E是边AC中点，点D、P分别在边AB、BC上（BP＜PC），且BD＝3．∠DPE＝60°．求BP的长．    21．已知关于的一元二次方程，其中，，分别是三边的长． (1)若该方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (2)若是等边三角形，请求出该方程的实数根． 22．如图，矩形中，对角线，相交于点O，M是的中点，交于点G． (1)求证：； (2)设，的角平分线交于点I，，． ①分别求点G和点I到的距离； ②作直线分别交，于E，F两点，求的值． 23．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． (1)若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　　； (2)在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）． 24．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于， (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)在x轴上存在一点C，使为直角三角形的点C的坐标； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 25．正方形和，连接，． (1)发现：当正方形绕点旋转， ①与之间的数量关系是__________； ②与之间的位置关系是__________； (2)探究： ①当正方形的边在上时，直接写出__________； ②当正方形绕点旋转时，是否为定值；如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请简要说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年北师大版数学九年级上册综合素质测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C D C A B B D 1．D 【分析】本题考查了简单组合体的俯视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：解：从上边看是水平排列的等宽的三个矩形， 故选：D． 2．D 【分析】根据反比例函数的概念进行判断即可． 【详解】解：∵形如是y关于x的反比例函数，也可表示为或， ∴A、B、C中，，均为反比例函数，不符合题意； D中，是正比例函数，不是反比例函数，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的表达式．解题的关键在于掌握反比例函数表达式的形式． 3．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式即可得到答案． 【详解】解： ， ∴将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为， 故选B． 4．C 【分析】设袋子中白球有x个，根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设袋子中白球有x个，由题意可得， 解得， 故选C． 【点睛】本题主要考查利用频率算随机事件概率及概率公式，解题的关键是熟练掌握． 5．D 【分析】根据相似三角形的性质，得出，，即①，②，将两个式子相加，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， ①+②，得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 6．C 【分析】先表示出CD，AD的长，然后在Rt△ACD中利用∠ACD的正切列方程求解即可． 【详解】过点作， ∵点、点的横坐标分别为1，3， 且，均在反比例函数第一象限内的图象上， ∴，， ∴CD=2，AD=k-， ∵，，， ∴，， ∵tan∠ACD=， ∴，即，∴． 故选：C．    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 7．A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形为矩形，根据矩形的四个角为直角得到，又为的中位线，根据中位线定理得到与平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到，同理根据三角形中位线定理得到与平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据垂直定义得到与垂直． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵点E、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即． 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程，求解即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则， 解得：（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 故选：B． 9．B 【分析】根据反比例函数的性质可知，，再根据反比例函数的面积关系解答即可． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴设点， ∵轴于点， ∴点 ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∵点在反比例函数图象上，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 10．D 【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断A； 利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断B； 由2对角分别相等，可以证明，由此判断C； 由已知条件判定不成立，由此判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又是的中点， ∴， ∴， ∴， 又是上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A成立； 又 ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴， 故B成立； ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故C成立； ，但， ∴不成立， 故D不成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质证明，利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 11．﹣2 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， 解得：   故答案为 12． 【分析】根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中至少让一个小灯泡发光的有4种等可能性，根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得 ， 由树状图得共有6种等可能性，其中至少让一个小灯泡发光应闭合中的一个和，故有4种等可能性，所以概率为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键． 13．5 【分析】本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：5． 14． 【分析】根据圆的面积-正方形的面积=可耕地的面积即可解答. 【详解】解：∵正方形的边长是x步，圆的半径为（）步 ∴列方程得：. 故答案为. 【点睛】本题考查圆的面积计算公式，解题关键是找出等量关系. 15． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明求出，设，则，，再证明即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．6 【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解． 【详解】解：D为AC的中点，的面积为3， 的面积为6， 所以， 解得：m＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用的面积转化为三角形AOC的面积． 17．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，，， ， ， ，； （2）解：， ，即， 或， ，． 18．见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 19．(1)50，统计图见解析 (2)540 (3) 【分析】（1）根据第三组(105≤x＜120)的学生数以及学生数占比求出总人数，然后求出第五组(135≤x≤150)的学生数，最后补全统计图即可； （2）用1500乘以样本中成绩在120分以上的人数占比即可； （3）画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：名， ∴本次调查共随机抽取了50名学生， ∴第五组(135≤x≤150)的学生有50-4-8-20-14=4名， 补全统计图如下所示： （2）解：名， ∴估计成绩120分以上(含120分)学生有540名； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数有10种， ∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键． 20．BP＝2 【分析】根据等边三角形的性质易得∠B=∠C，然后利用三角形外角性质可得∠DPC＝∠B+∠BDP＝∠DPE+∠EPC，进而推出∠BDP＝∠EPC，即可判定△BDP∽△CPE，再由对应边成比例，建立方程求出BP. 【详解】解： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠C＝60°， ∵E是边AC中点， ∴CE＝4， ∵∠DPC＝∠B+∠BDP＝∠DPE+∠EPC，且∠DPE＝60°， ∴∠BDP＝∠EPC，且∠B＝∠C， ∴△BDP∽△CPE， ∴， ∴3×4＝BP（8﹣BP） 解得BP＝2或6， ∵BP＜PC， ∴BP＝2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，属于“一线三等角”模型，熟练掌握此模型的特点是解决此类问题的关键. 21．(1)直角三角形，理由见解析； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，等边三角形的性质，因式分解法解一元二次方程等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意可知根的判别式的值为0，继而再根据勾股定理的逆定理进行求解即可； （2）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再利用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：当是等边三角形时，， 原方程可化为， ∴， ∴， 解得：，． 22．(1)见详解 (2)①点G和点I到的距离都为2；② 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，于是得到结论； （2）①在中，根据勾股定理得到，求得，如图，过点作，垂足为，设，根据三角形的面积公式得到点到的距离为2；过点G作，垂足为点P，由（1）可知：，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解； ②如图，作，垂足为，由①可得，然后根据相似三角形的性质与判定得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 是的中点， ， ， ， ∴； （2）解：①在中，，， ∴， ∴， ∵，的角平分线交于点I， ∴点I是的内心， 过点作，垂足为，则即为内切圆的半径，设，根据三角形的内心的性质可知： ， ， 即， ∴点到的距离为2； 过点G作，垂足为点P，由（1）可知：，则有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点G到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 由①可知：， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 即， ∴， ∴， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 23．(1) (2) 【分析】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解． （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的有3种， ∴小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的概率为：． 24．(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】（1）把A点坐标代入求得反比例函数的解析式，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得n的值，最后用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）分两种情况：①当时，由，轴可得点C坐标；②当时，设点C坐标为，分别求出，和，然后根据勾股定理得出方程，解方程求出t的值即可； （3）根据图象求出一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式是； 把代入得：， 解得：， 把、分别代入中，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵是直角三角形， ∴有两种情况： ①当时，如图1， ∵，轴， ∴点C的坐标为； ②当时，如图2， 设点C坐标为， 则，，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点C坐标为， 综上，当为直角三角形时，点C的坐标为或； （3）解：∵，， ∴由函数图象得：当时，x的取值范围为或， ∴不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合，函数图象交点与不等式的关系等知识，利用了数形结合及分类讨论的思想，第（2）问关键是分情况讨论． 25．(1)①；② (2)①；②为定值，定值为 【分析】（1）①由正方形的性质可证，由全等三角形的性质可得与之间的数量关系；②如图，延长交于，交于，由可得，然后由三角形的内角和和直角三角形的两锐角互余可得与之间的位置关系． （2）①如图，延长交于，设，，先说明四边形是矩形，然后根据矩形的性质得出，，再利用勾股定理求出，最后可求得的值；②如图，连接，，设，，先证明，利用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）①与之间的数量关系是：． 理由如下： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． ②如图，延长交于，交于， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴在中， ， ∴． 故答案为：． （2）①如图，延长交于，设，， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∴． 故答案为：． ②为定值，定值为．理由如下： 如图，连接，，设，， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∴当正方形绕点旋转时，为定值，定值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余等知识点．熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $