专题08 数学广角——数与形（1大考点18道题）（期末真题汇编）六年级数学上学期（云南专用）

专题08 数学广角——数与形 考点一、数与形（归纳递推） 1.核心思想：数形结合： （1）定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 （2）作用： ①以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 ②以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 2.观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) ： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 3.观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) ： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 真题练习 1．（20-21六年级上·云南玉溪·期末）与的结果相同的是（    ）。 A．5×3 B． C． D． 【答案】C 【分析】个连续奇数相加的和结果为，把拆为几个连续奇数相加的形式，利用公式即可求得。 【详解】 ＝34 故答案为：C 【点睛】本题考查数形结合思想在计算题中的应用。 2．（22-23六年级上·云南昆明·期末）如图，用同样的小棒摆正方形，照这样的摆法，摆第n个图形需要小棒（    ）根。 A．4n B．4n＋1 C．4n－1 D．3n＋1 【答案】D 【分析】观察图形可知：1个小正方形需要1＋1×3根小棒，2个小正方形需要1＋2×3根小棒，3个小正方形需要1＋3×3根小棒……，由此找出规律解答即可。 【详解】因为1个小正方形需要1＋1×3根小棒，2个小正方形需要1＋2×3根小棒， 3个小正方形需要1＋3×3根小棒……所以n个小正方形需要（3n＋1）根小棒。 故答案为：D 【点睛】根据题干中特殊的例子，推理得出这组图形的一般规律，是解决此类问题的关键。 3．（21-22六年级上·云南昆明·期末）用小棒按照下面的规律摆正六边形。摆七个正六边形共需要小棒（    ）。 A．37根 B．31根 C．36根 【答案】C 【分析】从图中可知，摆1个六边形需6根小棒，可以写成5×1＋1；摆2个六边形需11根小棒，可以写成5×2＋1；摆3个六边形需16根小棒，可以写成5×3＋1……由此可以推出规律，据此规律解答。 【详解】第1个图形：6根小棒，6＝5×1＋1； 第2个图形：11根小棒，11＝5×2＋1； 第3个图形：16根小棒，16＝5×3＋1； …… 第n个图形：（5n＋1）根小棒； 那么七个正六边形共需： 5×7＋1 ＝35＋1 ＝36（根） 故答案为：C 【点睛】结合图形，找到数与形的规律是解题的关键。 4．（20-21六年级上·云南德宏·期末）1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝42＋32。( ) 【答案】√ 【分析】1＋3＋5＋7＝16＝4²，5＋3＋1＝9＝3²，据此分析。 【详解】1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝42＋32，表示正确。 故答案为：√ 【点睛】关键是观察算式特点，发现算式规律。 5．（23-24六年级上·云南玉溪·期末）照这样的规律接着画下去，第10个图形中有( )个圆点。 【答案】55 【分析】看图可知，圆点个数＝第几个图形就从1开始依次加到几，第几个图形用n表示，即圆点个数＝1＋2＋3＋……＋n。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55（个） 第10个图形中有55个圆点。 6．（21-22六年级上·云南·期末），，，算一算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋7＋5＋3＋1＝( )。 【答案】116 【分析】根据从1开始有几个连续奇数相加和就是几的平方，据此解答。 【详解】因为，，，所以 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋7＋5＋3＋1 ＝10²＋4² ＝100＋16 ＝116 【点睛】此题考查的是数与形，掌握奇数与平方数的关系是解题关键。 7．（21-22六年级上·云南昭通·期末）根据数与形的规律，完成下面各题。 （1）上面的每个图形的涂色部分用分数表示各是多少？请你填在括号里。 （2）照这样的规律接着画下去，第9个图形用表示，第n个图形用表示。 【答案】（1）；；；； （2）； 【分析】（1）第1个图形是把这个圆形看作单位“1”，把它平均分成2份，其中1份涂色，用分数即可表示；第2个图形是把这个圆形看作单位“1”，把它平均分成3份，其中2份涂色，用分数即可表示；第3个图形是把这个圆形看作单位“1”，把它平均分成4份，其中3份涂色，用分数即可表示；第4个图形是把这个圆形看作单位“1”，把它平均分成5份，其中4份涂色，用分数即可表示。 （2）观察每个图形中的分数，第1个图形中分数的分子是1，分母是2，第2个图形中分数的分子是2，分母是3，第3个图形中分数的分子是3，分母是4，第4个图形中分数的分子是4，分母是5，依次类推，第9个图形中分数的分子是9，分母是10，据此解答；那么，第n个图形中分数的分子是n，分母是n＋1，写出这个分数即可。 【详解】（1）填空如下： （2）照这样的规律接着画下去，第9个图形用表示，第n个图形用表示。 【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，利用分数的意义，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。 8．（20-21六年级上·云南曲靖·期末）括号中应填几。 、( )、( ) 。 【答案】 25 【分析】观察数列可知，第一个数、第三个数、第五个数、第七个数分别是、、、，它们的分子都是1，分母分别是21、22、23、24，则第九个数的分母是25，分子是1，则第九个数是；第二个数、第四个数、第六个数、第八个数分别是1、4、9、16，即12、22、32、42、则第十个数是52＝25。 【详解】由分析可知： 、、25 【点睛】本题考查数字排列的规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 9．（21-22六年级上·云南红河·期末）1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝( )2。 【答案】n 【分析】1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）表示求从1开始连续奇数的和，求出数列中奇数的总个数，从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，据此解答。 【详解】从1到2n有n个奇数和n个偶数，那么从1到（2n－1）有n个奇数和（n－1）个偶数，所以1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝（   n   ）2。 【点睛】求出式子中奇数的个数，并利用从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方求出结果是解答题目的关键。 10．（22-23六年级上·云南昆明·期末）如图，用小棒按下面的规律摆正六边形，摆4个正六边形需要( )根小棒，摆10个正六边形需要( )根小棒。 【答案】 21 51 【分析】摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：5×1＋1，摆2个需要11根小棒，可以写作：5×2＋1；摆3个需要16根小棒，可以写成：5×3＋1；…；由此可以推理得出一般规律解答问题。 【详解】根据题干分析可得：摆n个六边形需要：5n＋1根小棒， 当n＝4时，需要小棒4×5＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 当n＝10时， 需要小棒10×5＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 摆4个正六边形需要21根小棒；摆10个正六边形需要51小棒。 【点睛】根据题干中已知的图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题的关键。 11．（22-23六年级上·云南玉溪·期末）看图找规律：每边坐1人的方桌，2张拼起来可以坐6人，3张拼起来可以坐8人，那么20张这样的方桌拼起来一共可以坐 人。 【答案】42 【分析】通过观察图形可知，1张桌子可以坐4人，2张桌子可以坐（4＋2）人，3张桌子可以坐（4＋2＋2）人，……多一张桌子多坐2人，以此类推，n张桌子可以坐[4＋2（n－1）]人。据此解答。 【详解】n张桌子可以坐： 4＋2（n－1） ＝4＋2n－2 ＝（2＋2n）人 当n＝20时， 2×20＋2 ＝40＋2 ＝42（人） 那么20张这样的方桌拼起来一共可以坐42人。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 12．（21-22六年级上·云南昭通·期末）( )。 【答案】0 【分析】观察算式可知，先求括号里面加法，则的值无限接近1，根据极限思想，括号里面的值等于1，据此解答即可。 【详解】 ＝1－1 ＝0 【点睛】本题考查极限思想，明确极限思想的运用是解题的关键。 13．（21-22六年级上·云南玉溪·期末）观察如图的图形，想一想：后面的第8个方框里有( )个点。 【答案】29 【分析】观察图形可知：第1个方框中的点为：1个；第2个方框中的点为：1＋4＝5（个）；第3个方框中的点为：1＋4＋4＝9（个）……第n个方框中的点为：1＋4（n－1）＝（4n－3）个。据此解答即可。 【详解】第8个方框中的点为： 4n－3＝4×8－3 ＝32－3 ＝29（个） 所以第8个方框里有29个点。 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 14．（21-22六年级上·云南曲靖·期末）用六根同样长的小棒可以摆一个正六边形（如图①），再接着摆下去，图⑥一共需要( )根小棒。照这种摆法，46根小棒能摆出( )个正六边形。 【答案】 31 9 【分析】由图知，图①需要6根小棒，图②需要6＋5根，图③需要6＋5×2根，图④需要6＋5×3根，根据这个规律填空即可。 【详解】（1）图⑥：6＋5×5 ＝6＋25 ＝31（根） （2）（46－6）÷5＋1 ＝40÷5＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 【点睛】根据题干中已知的图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题的关键。 15．（21-22六年级上·云南曲靖·期末）( )。 【答案】1 【分析】如图所示，把整个正方形的面积看作单位“1”，依次在图上表示出整体的、、、、…由图可知，所有分数的和越来越接近整个正方形的面积，即1。 【详解】 如图所示，1。 【点睛】利用数形结合的思想依次表示出题中的分数是解答题目的关键。 16．（21-22六年级上·云南文山·期末）按下面的小棒摆出正六边形，摆5个正六边形需要( )根小棒。 【答案】26 【分析】摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：5×1＋1；摆2个需要11根小棒，可以写作：5×2＋1；摆3个需要16根小棒，可以写成：5×3＋1；…由此可以推理得出一般规律解答问题。 【详解】当n＝1时，需要小棒1×5＋1＝6（根） 当n＝2时，需要小棒2×5＋1＝11（根） 当n＝3时，需要小棒3×5＋1＝16（根） 当n＝4时，需要小棒4×5＋1＝21（根） 当n＝5时，需要小棒5×5＋1＝26（根） 【点睛】此题考查的是找规律，解答此题关键是从简单情形入手，找出图形之间的联系，数字之间的运算规律，利用规律解决问题。 17．（20-21六年级上·云南曲靖·期末）想一想，画一画，这样的5张桌子连在一起可以座( )人。 【答案】24 【分析】根据题图可知，每增加一张桌子就增加4个人，当有n张桌子时，人数为8＋（n－1）×4＝4n＋4，再将n＝5代入含字母的式子解答即可。 【详解】当有n张桌子时，人数为（4n＋4）人； 当n＝5时； 4n＋4 ＝4×5＋4 ＝20＋4 ＝24 【点睛】明确每增加一张桌子就增加4个人是解答本题的关键。 18．（21-22六年级上·云南玉溪·期末）观察下边图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有( )个圆，第n个图形中有( )个圆。 【答案】 65 n2＋1 【分析】观察图形可知，第1个图形有2个圆，第2个图形有5个圆，第3个图形有10个圆，则第n个图形有n2＋1圆。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 第8个图形中有：8×8＋1 ＝64＋1 ＝65（个） 第8个图形中有65个圆，第n个图形中有（ n2＋1 ）个圆。 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 试卷第1页，共3页 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数学广角——数与形 考点一、数与形（归纳递推） 1.核心思想：数形结合： （1）定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 （2）作用： ①以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 ②以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 2.观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) ： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 3.观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) ： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 真题练习 1．（20-21六年级上·云南玉溪·期末）与的结果相同的是（    ）。 A．5×3 B． C． D． 2．（22-23六年级上·云南昆明·期末）如图，用同样的小棒摆正方形，照这样的摆法，摆第n个图形需要小棒（    ）根。 A．4n B．4n＋1 C．4n－1 D．3n＋1 3．（21-22六年级上·云南昆明·期末）用小棒按照下面的规律摆正六边形。摆七个正六边形共需要小棒（    ）。 A．37根 B．31根 C．36根 4．（20-21六年级上·云南德宏·期末）1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝42＋32。( ) 5．（23-24六年级上·云南玉溪·期末）照这样的规律接着画下去，第10个图形中有( )个圆点。 6．（21-22六年级上·云南·期末），，，算一算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋7＋5＋3＋1＝( )。 7．（21-22六年级上·云南昭通·期末）根据数与形的规律，完成下面各题。 （1）上面的每个图形的涂色部分用分数表示各是多少？请你填在括号里。 （2）照这样的规律接着画下去，第9个图形用表示，第n个图形用表示。 8．（20-21六年级上·云南曲靖·期末）括号中应填几。 、( )、( ) 。 9．（21-22六年级上·云南红河·期末）1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝( )2。 10．（22-23六年级上·云南昆明·期末）如图，用小棒按下面的规律摆正六边形，摆4个正六边形需要( )根小棒，摆10个正六边形需要( )根小棒。 11．（22-23六年级上·云南玉溪·期末）看图找规律：每边坐1人的方桌，2张拼起来可以坐6人，3张拼起来可以坐8人，那么20张这样的方桌拼起来一共可以坐 人。 12．（21-22六年级上·云南昭通·期末）( )。 13．（21-22六年级上·云南玉溪·期末）观察如图的图形，想一想：后面的第8个方框里有( )个点。 14．（21-22六年级上·云南曲靖·期末）用六根同样长的小棒可以摆一个正六边形（如图①），再接着摆下去，图⑥一共需要( )根小棒。照这种摆法，46根小棒能摆出( )个正六边形。 15．（21-22六年级上·云南曲靖·期末）( )。 16．（21-22六年级上·云南文山·期末）按下面的小棒摆出正六边形，摆5个正六边形需要( )根小棒。 17．（20-21六年级上·云南曲靖·期末）想一想，画一画，这样的5张桌子连在一起可以座( )人。 18．（21-22六年级上·云南玉溪·期末）观察下边图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有( )个圆，第n个图形中有( )个圆。 试卷第1页，共3页 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $