28.2 解直角三角形及其应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 广西专版）

28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 1.已知在R△ABC中，∠C=90°，AB=25,tanA=,则BC的长是 ) A.2 B.8 C.25 D.4√5 2.如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A,B两点间的距离为30m, ∠A=α，则缆车从A点到达B点，上升的高度(BC的长)为 ( ) A.30sin a m B.30 0 m C.30cos a m D._ -m sin a coS a B (第2题图) (第3题图) 3.如图，在△ABC中，AC⊥BC,∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA, 则tan∠DAC的值为 ( A.2√3 B.2+√3 C.3√3 D.3+√3 4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E, 使CE=AB. (1)若AE=1,求△ABD的周长； (2)若AD=吉BD,求an∠ABC的值. ·60· 28.2.2应用举例 第1课时与视角有关的解直角三角形的应用 1.如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB,从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°， 观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为 m.（结果保留一位小 数.参考数据：sin53°≈0.80，c0s53°≈0.60，tan53°≈1.33) 口口 口口 75° D c30 ------水平线 (第1题图) (第2题图) 2.如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3/s,从A处沿水 平方向飞行至B处需10s.同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角 为30°，则这架无人机的飞行高度大约是 m.(参考数据：3≈1.732，结果保留整数) 3.2020年7月23日，我国首次探测火星的“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭 在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅.运载火箭从地面 O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000m,仰角为30°.3s 后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.O,C,D 在同一直线上，已知C,D两处相距460m,求火箭从A到B处的平均速度.（结果保留 整数，参考数据：3≈1.732，√2≈1.414) B ·61· 第2课时与方位角有关的解直角三角形的应用 1.如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56 n mile的A处， 北 货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4h后货船 6045 在小岛正东方向的B处，则货船的航行速度是 ) A.7√2 n mile/h B.7√3 n mile,/h C.7√6 n mile/h D.28√2 n mile/h 2.在某次海上搜救工作中，A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A船正东 10k处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B船到该漂浮物的距离是 km. 3.在一次海上救援中，两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此 时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船 B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120 n mile. (1)求收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）； (2)若救助船A,B分别以40 n mile/h,30 n mile/h的速度同时出发，匀速直线前往事 故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达. 北 B东 名 东 ·62· 第3课时与坡度有关的解直角三角形的应用 1.如图，已知一商场自动扶梯的长1为10m,高度h为6m,自动扶梯与地面所成的夹角 为0，则tan0的值等于 ( ) A号 c 0. B 0 (第1题图) (第2题图) 2.太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如 图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=5：12(i为铅直高度与水平宽度的 比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5/s的速度用时40s到达扶梯顶端B,则王老 师上升的铅直高度BC为 m. 3.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身， 某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造.如图②所示，改造前的斜坡AB= 200m,坡度为1：√3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20m后，斜坡AB改造为斜坡 CD,其坡度为1：4.求斜坡CD的长.（结果保留根号） 鑫叁叁叁鑫 图① B 图② ·63·26.1.2反比例函数的图象和性质 第3课时两角分别相等的两个三角形相似 CD-x十3x-4无，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB一√BD-AD-√/3x)-x 第1课时反比例函数的图象和性质 1.C2.B3.∠C-60(容案不唯一)4.如△BDE△CDF,△ABF△ACE(答案 不唯一)5.证明：(1)AB-AC,.∠B=∠C.,∠BDE-∠CAD,△BDE =2m∠A度=器-元店 1.D2.B3B4.<55解，1)>2(2)2(3)当y=1时，子-1，解得x-4. △CAD:(2):∠C+∠CAD=∠ADB=∠ADE+∠BDE,∠CAD=∠BDE,∴∠C= 28.2.2应用举例 ,在第一象限内，y随x的增大而减小，∴当2<<4时，1<y<2 ∠ADE.∠C=∠B,∠ADE=∠B.又，∠DAE=∠BAD,∴.△ADEn△ABD. 第1课时与视角有芙的解直角三角形的应用 第2课时反比例盛数图象和性质的综合运用 27.2.2相似三角形的性质 1,24.22.203,解：由题意.得AD=4000m,∠AD0=30,CD=460m,∠BC0 1.A2.C3y-一号4解：0：点A1,2)在这个函数的图象上k-1-1×2 1.A2.A3.D4.145.解：1)DF∥AB.∴∠FDC=∠A:DE∥B,∠C 45,在Rt△A0D中，AD=4000m,∠AD0=30,0A=AD=2000m,0D= 解得=3：(2)”在函数y-宁图象的每一分支上y随r的增大面增大k一1<0， =∠ADE△DFC△AED2:GD=合AC需==（景）- AD=2005m.在R△B0C中，∠BC0=45,“0B=0C=0D-CD=(200 解得1：(3)：=13反比例雨数的解析式为y=是.将点B(3,4)代入y=兰，由4 一460)m.∴.AB=B-0A=2000√3-460-2000≈1004(m).则1004÷3335(m/). 27.2.3相似三角形应用举例 答：火箭从A到B处的平均速度约为335m/“ =号可知点B在函数y=兰的图象上将点C2,5)代人y=是曲5≠号，可知点C 1.C2.2,73号4.解：过点O作OE⊥AB于点E,并延长B0交CD于点F,“AB 第2课时与方位角有关的解直角三角形的应用 不在函数y-的图象上， 1A2.1033,解：(1)过点P作PC⊥AB于点C,则∠PCA=∠PCB=90°.由题 CD,EF1ABEF1D,△0C△0AB,-E由题知，AB=0em0F 意，得PA-120nmle,∠PAB-30°，∠CBP=45.在R△ACP中.∠CAP=30', 26.2实际问题与反比例函数 第1课时利用反比例语数解决实际生活中的问题 =15m,CD=5cm一品-是解得0E=60,答：蜡越应放在距离纸慎外编060cm ∠PCA=90,∴PC=2PA=60 n mile,.在R△BCP中，'∠PCB=90,∠CBP=45, 1.B之A3y=华4.解：1)曲已知设y与于的函数关系式为y=兰(0，把y 的地方， m∠CBP-PB- P℃-0-60E(ame).答：收到求救讯息时，事枚渔船 27.3位似 =10,=0.25代入，得40=0石，解得=25X40=10,放y与x之间的函数关 第1课时位似 P与教助船B之间的距离为60,2 n mile:(2):PA=120 n mile,PB=602 n mile, 系式为y=109:(2油)知y=10,则当y=500时，则有500=100，解得r=0,2.故 1.C2.C3.104.2 第2课时平面直角坐标系中的位似 ÷教量A所用的时间为瓷=3()，故助箱B所用的时间为0=2.：8> 当近视眼镜的度致y=500时，近视眼镜镜片焦距x的值为0.2m. 1.C2.B33t14.解：(1)如图，△OAB为所作：(2)如图，△OA:B:为所作 2√2..救助船B先到达. 第2课时利用反比例面数解决有关物理问题 第3课时与坡度有关的解直角三角形的应用 1.A2.0.83.F=0四02004.解：D设反比例函数的解析式为p=专(S>0,k≠ 1B2.曾3解：∠AB=90,AB=20m,按度为1万.六am∠ABE=方 01.:两数图象经过点A1.5,400).k=60.∴这个函数的解析式为=6g(5>0): 9∠ABE-30∴AE-7AB-100m.:AC-20m∴CE-AE-AC-100-20 (2)当p-600时，S-1.故压强不超过600Pm,木板的面积至少要有1m 第二十七章相似 =0(m.:∠CED=0,斜技CD的技度为1t4焉=十，脚品=DE 第二十八章锐角三角函数 27.1图形的相似 320,.在Rt△CED中，由勾股定理，得(CD=√E+DE=√80十320-80√/7(m) 28.1锐角三角函数 1.B2B3D4解：1部-青-8院-名-咒-子-(2：AB/ 答：斜坡CD的长是80√7m 第1课时锐角的正弦 第二十九章投影与视图 Di∠A=∠D,∠B=∠C,R∠A0B=∠CX:带-8器-8哭-÷aAA0m A2.A3号4125解：过点A作AB上x轴于点B,期ma-费：如。 29.1投影 与△DC相似. 第1课时平行投影与中心投彩 AB的形长为A'B,CD 27.2相似三角形 号费-景“A,.AB=40A=6在R△40B中，1=0-A西= 1.D2.B3.C4.4.85.解：如图.只、- 27.2.1相似三角形的判定 /6-4平=25. 第1课时平行线分线段成比例定理 第2课时铖角的余弦和正切 的影长为CD, 1.A2B3解：G∥C.能-瓷GF∥D∴瓷-品品-品即是 1.C2.C&号4令5解：mA-C-÷AC-2BC在R△ABC巾，曲 第2课时正投影及其性质 勾段定理，得AC十B=AB,即(2BC)十BC=10,解得BC=2√/5，.AC=2BC= 1D2.C3.不变4.25.解：由题知，四边形ABCD,为矩形.过点A作AH1 元FD=4,AD=AF+FD=6十4=10.4.解：过点C作CG⊥PQ交AB的延 46mB指-0- BB,于点H:∠ABB,=45,△ABH是等腰直角三角形，∴AH=号AB-号×10 长线于点F,交PQ的延长线于点G.'AB∥PQ,AB=80m,PQ=100m,AB与PQ的 距离是20mCF1A,G=20m:AB∥PQ小腊-器：AF∥PG,需= 第3课时特珠角的三角函数值 =5(em),A B =AH=5 em.A D =AD=10 cm,Sa =A B A,D=5√2×10=50V2(cm). 器瓷-贺-器-音CP-号cF+0GF-0i0G-Cp+0-0+0 1A2.C3号4÷5.6阳6，解：)原式=5-2×号-E×号=8-1- 29.2三视图 =1:2原式=B+×号+月+3-2+1=月+1+B+3-2+1=5 第1课时物体的三视图 =100(m).点C到直线PQ的理离是100m, 1.A2.B3.C4.C5.A 第2课时三边成比例或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 28.2解直角三角形及其应用 第2课时由三视图确定几何体的形状 1.C2.A354.2或8或55.证明，：BC=6,AC=4,CE=2,AD=1,CD= 28.2.1解直角三角形 1.B2.B3.C4.11 AC-aD=-1=8∴器=音=焉=是=∴器-器又：∠0=∠0 1,A2.A3.B4,解：(1)连接BD.设BC的垂直平分线交BC于点F,.BD=CD. 第3课时由三视图确定几何体的表面积或体积 CA=AB十AD+BD=AB十AD+DC=AB+AC,AB=CE,∴.Cn=AC+CE= ∴.△ABC△ED AE=1,故△ABD的周长为1：(2)设AD=x,则BD=3x,又：BD=CD,∴AC=AD+ 1.A2D3120425+5E59 第70页（共72页） 第71页（共72页） 第72页（共72页）