第六章 圆周运动 专题练习-2024-2025学年高一下学期物理人教版必修第二册

第六章 圆周运动 专题练习 考点1　圆周运动的动力学问题 一、选择题 1.图甲所示辘轳是古代民间提水设施,由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分构成,图乙为提水设施工作原理简化图,某次从井中取m1=5 kg的水,辘轳绕绳轮轴半径为r=0.1 m,水斗的质量为m2=1 kg,井足够深且井绳的质量忽略不计。t=0时刻,轮轴由静止开始绕中心轴转动向上提水斗,其角速度随时间变化的规律如图丙所示,重力加速度g取10 m/s2,则井绳拉力大小为 (　　) A.61.2 N　　　　B.1.2 N　　　　C.51 N　　　　D.50 N 2.智能呼啦圈轻便美观,深受大众喜爱。如图甲所示,将带有小滑轮的短杆一端穿入腰带外侧轨道,另一端悬挂一根带有配重的轻绳,将腰带水平系在腰间,通过人体扭动,配重会随短杆在水平面内做匀速圆周运动,其简化模型如图乙所示,悬挂点P到腰带中心点O的距离d=0.2 m,轻绳与竖直方向的夹角为θ,绳长l=0.5 m,可视为质点的配重质量为m=0.5 kg,重力加速度大小g=10 m/s2,sin 37°=0.6,下列说法正确的是 (　　) 　 A.匀速转动时,配重受到的合力恒定不变 B.增大转速,则身体对腰带的摩擦力变大 C.转动过程中杆的拉力T=mg cos θ D.当使用者掌握好锻炼节奏后能够使θ稳定在37°,此时配重的角速度ω= rad/s 3.如图所示,水平地面上有一个可以绕竖直轴匀速转动的圆锥筒,筒壁与水平面的夹角θ=53°,内壁有一个可视为质点、质量为3.2 kg的物块,始终相对筒壁静止在A点,随圆锥筒一起做匀速圆周运动,物块受到的最大静摩擦力是压力的k倍。当角速度为 rad/s时,物块受到的摩擦力恰好为零。当角速度为 rad/s时,物块即将相对于圆锥筒滑动。已知重力加速度g=10 m/s2,sin 53°=0.8,则k值为 (　　) A.0.6　　　　B.0.3　　　　C.0.5　　　　D.0.4 二、非选择题 4.如图所示的装置,轻杆水平固定在竖直转轴上的O点,长为2L不可伸长的轻质细线两端分别固定于O点和轻杆上固定的圆环A上,质量为m的小球B固定在细线的中点,装置静止时,细线与竖直方向的夹角为37°。现使装置以不同的转速绕竖直轴匀速转动,当地重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求: (1)当A、B间细线的拉力恰好为零时,装置转动的角速度大小; (2)当装置转动的角速度为(1)问中的时,O、B间细线的拉力T1,A、B间细线的拉力T2。 5.如图所示,半径R1=1 m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内,圆弧轨道的端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角θ=30°,C点为圆弧轨道的最低点。质量m=1 kg的物块从平台上A点以v0=2 m/s的速度水平抛出,恰好从轨道的端点B沿切线方向进入轨道,物块沿着轨道BC运动到粗糙的水平面CD上(物块经过C点前后速度不变),最后从D点做平抛运动,落到半径R2=2 m的圆弧轨道EG(圆心为D)上的P点(图上未画出)。已知物块与水平面CD之间的动摩擦因数μ=0.5,C、D点间的距离L=3.6 m,重力加速度大小g=10 m/s2。 (1)求物块在B点的速度大小以及从A点运动到B点的水平位移大小; (2)求物块经过B点时轨道对物块的支持力大小; (3)已知物块在圆弧BC的最低点对轨道的压力大小F=56 N,求P点到D点的竖直距离。 6.一转动装置如图甲所示,两根足够长轻杆OA、OB固定在竖直轻质转轴上的O点,两轻杆与转轴的夹角均为30°。小球a、b分别套在两杆上,小环c套在转轴上,球与环质量均为m。c与a、b间均用长为L的细线相连,原长为L的轻质弹簧套在转轴上,一端固定在轴上P点,另一端与环c相连。当装置以某一转速转动时,弹簧伸长到1.5L,环c静止在O处,此时弹簧弹力等于环的重力,球和环间的细线刚好伸直而无拉力。弹簧始终在弹性限度内,忽略一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g。 　 (1)求细线刚好伸直而无拉力时,装置转动的角速度ω1; (2)如图乙所示,该装置以角速度ω2(未知)匀速转动时,弹簧长为0.5L,环c静止,求此时杆对小球的弹力大小和装置转动的角速度ω2。 考点2　水平面内圆周运动的临界问题 题组一　以弹力改变为临界条件 1.如图所示,竖直转轴OO'垂直于光滑水平桌面,A是距水平桌面高h、轴上的一点,A点固定有两铰链。两轻质细杆的一端接到铰链上,并可绕铰链上的光滑轴在竖直面内转动,细杆的另一端分别固定质量均为m的小球B和C,杆长AC>AB>h,重力加速度为g。当OO'轴转动时,B、C两小球以O为圆心在桌面上做圆周运动。在OO'轴的角速度ω由零缓慢增大的过程中,下列说法正确的是 (　　) A.两小球的线速度大小相等 B.小球B先离开桌面 C.两小球的向心加速度大小相等 D.当ω=时,两小球对桌面均无压力 2.(多选题)如图所示,装置BO'O可绕竖直轴O'O转动,两不可伸长的细线连接可视为质点的小球A后分别系于B、C两点,装置静止时细线AB水平,细线AC与竖直方向的夹角θ=37°,已知小球的质量m=1 kg,细线AC长l=1 m,∠ABC=45°(重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)。下列说法正确的是 (　　) A.若装置匀速转动的角速度为 rad/s时,AC中的拉力大小为12.5 N B.装置转动越快,细线AC中的拉力越大 C.当AB刚好竖直时,装置匀速转动的角速度为 rad/s D.当装置转动得足够快时,AC中的拉力与角速度的平方成正比 3.如图所示,半径为L的玩具转盘在转盘中心O点固定了一竖直杆,质量为m的小球用轻绳AC和轻杆BC一起连接在竖直杆上,轻绳AC与竖直杆上的A点相连,轻杆BC用铰链连接在竖直杆上的B点(可绕B点自由转动)。已知圆盘静止时轻绳AC与竖直方向的夹角α=30°,轻杆BC与竖直方向的夹角β=45°,AC=L,OB=L,不计摩擦阻力,重力加速度为g。求: (1)轻绳AC恰好无张力时,小球的角速度; (2)轻杆BC恰好无弹力时,圆盘转动的角速度; (3)小球在转动过程中忽然脱离,若小球不能碰到圆盘,则圆盘转动的角速度的取值范围。 题组二　以摩擦力改变为临界条件 4.(多选题)如图所示,一个圆盘在水平面内匀速转动,盘面上距圆盘中心r处有一个质量为m1的小物块a,其上方放着质量为m2的小物块b,圆盘的角速度为ω。物块a与圆盘之间的动摩擦因数为μ1,a、b两物块之间的动摩擦因数为μ2,μ1<μ2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,下列说法中正确的是 (　　) A.当ω≥时,物块b将从物块a上滑离 B.当ω≥时,物块b将从物块a上滑离 C.无论ω多大,物块a与物块b都不会相对滑动 D.当物块a、b随圆盘一起匀速转动时,物块b对物块a的摩擦力方向沿半径方向向外 5.如图所示,甲、乙两水平圆盘紧靠在一起,甲圆盘为主动轮,乙靠摩擦随甲转动且无相对滑动。甲圆盘与乙圆盘的半径之比为R甲∶R乙=2∶1,两圆盘和小物体A、B之间的动摩擦因数μA∶μB=1∶2,A、B的质量相同,均可视为质点,A与O点的距离为2r,B与O'点的距离为r,当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时 (　　) A.两物体都没有相对圆盘滑动时,角速度之比ωA∶ωB=2∶1 B.两物体都没有相对圆盘滑动时,向心加速度之比aA∶aB=1∶2 C.随着转速慢慢增加,A先开始滑动 D.随着转速慢慢增加,B先开始滑动 6.(多选题)如图所示,用长为L的轻绳(轻绳不可伸长)连接的A、B两物块(均可视为质点)放置在绕竖直轴转动的水平圆盘上,A、B连线的延长线过圆盘的圆心O,A与圆心O的距离也为L,A、B两物块的质量均为m,与圆盘间的动摩擦因数均为μ,物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,A、B始终相对圆盘静止,则下列说法正确的是 (　　) A.A、B所受的摩擦力一定相等 B.ω=是物块开始滑动的临界角速度 C.轻绳的最大弹力为μmg D.当ω=时,A所受摩擦力的大小为μmg 7.如图所示,半径为2r的水平圆盘距地面的高度为h,质量均为m的A、B两个物块可看成质点,用一根不可伸长的轻绳连在一起,轻绳经过圆盘圆心,A、B两物块的转动半径rA=r,rB=2r(B在圆盘边缘)。A和B一起随圆盘绕竖直中心轴OO'转动(O'为圆盘圆心在地面沿竖直方向的投影),转动角速度ω从零开始缓慢增大,直到有物块相对圆盘运动为止。它们与圆盘间的动摩擦因数均为μ。取最大静摩擦力等于滑动摩擦力,不计空气阻力,重力加速度为g。 (1)当绳上恰好出现拉力时,求圆盘的角速度ω1大小; (2)绳上出现拉力后,随着角速度缓慢增加,是否有物块受到的摩擦力为零?如果有,求出此时圆盘角速度大小ω2; (3)若水平圆盘距地面的高度为h=,随着角速度进一步缓慢增加,两物块相对圆盘滑动,假设滑动瞬间绳子断裂,求B落地的位置与O'之间的距离。 考点3　竖直平面内圆周运动的临界问题 题组一　轻绳模型(管道外约束)的临界问题 1.如图所示,桌面上放置一内壁光滑的固定竖直圆环轨道,质量为M,半径为R。可视为质点的小球在轨道内做圆周运动,其质量为m,已知m≪M。小球在轨道最高点的速度大小为v0,重力加速度为g,不计空气阻力,则 (　　) A.当v0=时,轨道对小球无支持力 B.当v0=时,轨道对桌面的压力为(M-m)g C.小球做圆周运动的过程中,合外力提供向心力 D.小球在最高点时处于超重状态 2.如图甲所示,用一轻质绳拴着一质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力),小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T,小球在最高点的速度大小为v,其T-v2图像如图乙所示,则 (　　) 　 A.轻质绳长度为 B.当地的重力加速度为 C.当v2=2b时,小球受到的拉力大小与重力相等 D.当v2=c时,轻质绳的拉力大小为+a 3.一根轻杆穿过两个固定轴承,可自由转动,相距为l的A、B两点固定两根长度也为l的轻绳,轻绳下端固定一个质量为m的小球,如图所示。现对小球施加一个始终与速度方向共线的力,使小球在竖直平面内做匀速圆周运动,在最高点时,绳子的拉力刚好为零,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　) A.小球的速度大小为 B.在最低点时,左侧轴承对轻杆的支持力为mg C.在最低点时,绳的拉力为 mg D.若速度加倍,小球在最低点时绳子的拉力变为原来的四倍 4.“水流星”是中国传统民间杂技艺术,杂技演员用一根绳子兜着装有水的两个碗,迅速地旋转着绳子做各种精彩表演,即使碗底朝上,碗里的水也不会洒出来。假设碗中水的质量均为m,绳子长度为2L,绳子的长度远大于碗的大小,重力加速度为g,不计空气阻力。现杂技演员手拿绳子的中点,让两碗在竖直平面内做圆周运动(如图甲所示),若碗通过最高点时,正上方碗内的水恰好对碗无压力。 (1)求图甲中两碗线速度的大小; (2)求图甲中正下方碗内的水对碗的压力; (3)若两只碗绕过绳中点的竖线在水平面内做匀速圆周运动(如图乙所示),已知绳与竖直方向的夹角为θ,求碗和水的角速度大小。 　 题组二　轻杆模型(管道内约束)的临界问题 5.如图所示,一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内,其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动,当小球通过最高点时速率为v0,重力加速度为g,则下列说法正确的是 (　　) A.若v0=0,则小球对管内下壁无压力 B.若v0=,则小球对管内上壁有压力 C.若v0=,则小球对管内下壁没有压力 D.不论v0多大,小球对管内壁都有压力 6.(多选题)如图所示,长为l的轻杆一端固定在过O点的水平转轴上,另一端固定质量为m的小球,杆在电动机的驱动下在竖直平面内旋转,杆带动小球以角速度ω做匀速圆周运动,其中A点为最高点,C点为最低点,B、D点与O点等高。已知重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　) A.在B、D两点小球受到的合力相同 B.在B、D两点杆对小球的弹力一定不沿杆方向 C.在A、C两点,杆对球的弹力之差可能为2mg D.在A、C两点,杆对球的弹力之差可能为2mlω2 7.如图所示,长L的轻杆两端分别固定着小球A、B,杆中心O有水平方向的固定转轴,杆绕转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动。小球A的质量为m,重力加速度为g。 (1)小球A运动到水平位置时,求杆对球A的作用力大小F1; (2)小球A运动到最高点时,求杆对球A的作用力大小F2; (3)若轻杆角速度为2ω,小球A运动到最低点时,杆对转轴的作用力刚好为零,求小球B的质量mB。 考点4　平抛运动与圆周运动的综合问题 一、选择题 1.如图所示,一个半径为R的光滑圆管固定在竖直面内,缺口A点在最高点,B点与其圆心O点等高,一个质量为m的小球从A点以一定的初速度水平飞出后恰好落在B点,管口内径略大于小球直径,不考虑空气阻力,重力加速度为g,关于小球离开管口前对圆管的作用力,以下说法正确的是 (　　) A.对圆管的作用力大小为mg,方向竖直向上 B.对圆管的作用力大小为mg,方向竖直向下 C.对圆管的作用力大小为mg,方向竖直向下 D.可能恰好对圆管无作用力 2.如图所示,在一半径为R的球顶端放一质量为m的物块,现给物块一初速度v0,已知重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　) A.若v0=,则物块落地点到A点的距离为R B.若v0<,则物块不会落地 C.若v0<,则物块落地点离A点为R D.若v0≥,则物块落地点离A点至少为2R 3.(多选题)如图所示,餐桌上表面离地面的高度h=1.25 m,餐桌中心有一个半径r=2 m的圆盘,圆盘可绕中心轴转动,近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。一小杯饮料放置在距离圆盘中心1 m处,一小筷枕放置在圆盘边缘,已知饮料杯、小筷枕与圆盘间的动摩擦因数均为μ1=0.45,与餐桌间的动摩擦因数均为μ2=,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,缓慢增大圆盘的转速,重力加速度g=10 m/s2,不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　) 　 A.小筷枕受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用 B.为使饮料杯和小筷枕不滑动,角速度最大值ωmax= rad/s C.相对于餐桌转盘的转轴,观察到杯内饮料液面的倾斜形态可能呈现为图乙所示 D.若餐桌半径R=2.5 m,小筷枕落地时距离圆桌中心的水平距离为2 m 二、非选择题 4.如图所示,一个质量为m=0.6 kg的小球,在左侧平台上运动一段距离后从边缘A点以v0= m/s的速度水平飞出,恰能沿圆弧切线从P点进入固定在地面上的竖直的圆弧管道,并继续滑行。已知圆弧管道口内径远小于圆弧半径R,OP与竖直方向的夹角是θ=37°,平台到地面的高度差为h=1.45 m。取重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求: (1)小球从A点运动到P点所需的时间t; (2)P点距地面的高度Δh和圆弧半径R; (3)若通过最高点Q点时小球对管上壁的压力大小为9 N,小球经过Q点时的速度大小v。 5.如图所示,将一质量为0.2 kg、可视为质点的小球系于长为L=1 m的细线上绕O点在竖直面内做圆周运动,某时刻小球运动到最低点P,细线断裂,小球从离水平地面3.2 m高的P点水平向右飞出,测得第一次落点A与P点的水平距离为2.4 m。不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。 (1)求小球从P点飞出时的速度大小; (2)已知细线拉力达到F=3.8 N时会断裂,现保持O点离地高度H=4.2 m不变,改变细线的长度,要使细线断裂后小球做平抛运动的第一次落点距O点的水平距离最远,求细线的长度; (3)若小球落地后反弹,反弹后离地的最大高度为1.8 m,第一次落点A与第二次落点B之间的距离为2.4 m。且小球与地面碰撞时,碰撞前后水平、竖直分速度的比分别为一定值,求第5次碰撞时距P点的水平位移大小。 6.学校科创团队的同学们设计了一套智能化轨道模拟系统来研究小球的运动情况。如图所示,固定在水平台面上的竖直半圆形光滑轨道半径可调,直径为AB,A端切线水平。轨道右侧有一个与A等高的装满新型材料(ER流体)的试验池,材料的力学特性能保证小球落入池中后以原速度做匀速直线运动。每次实验前调好轨道半径,弹射器(图中未画出)能使小球从A点以不同速度冲入轨道并始终以恒定速度从B点飞出,竖直挡板MN到AB的水平距离为7L,已知多次实验过程中位于轨道B点的力学传感器显示轨道所受最小压力为0、最大压力为4mg,重力加速度为g,挡板MN足够长,小球可视作质点,忽略空气阻力。求上述实验过程中: (1)当B点力学传感器示数为0时,轨道的半径大小; (2)小球离开B点到刚落入试验池的最短时间; (3)若轨道半径连续可调,挡板MN上可能有小球打到的区域的长度。 答案 考点1 1.A　2.D　3.C　 4.答案　(1)　(2)　 解：　(1)设装置的角速度为ω时,A、B间细线的拉力恰好为零,对小球B受力分析,如图甲所示,拉力与重力的合力提供向心力。 有mg tan 37°=mω2L sin 37° 解得ω= 　　　 (2)当装置的角速度ω0=ω=时,分析B的受力,如图乙所示。 水平方向有T1 sin 37°-T2 sin 37°=mL sin 37°  竖直方向有T1 cos 37°+T2 cos 37°=mg 解得T1=,T2= 5.答案　(1)4 m/s　 m　(2)11 N　(3)(-1) m 解：　(1)由题意得,物块在B点的速度与竖直方向的夹角为30°,则vB==4 m/s 设物块从A点到B点所用的时间为t1,则vy==gt1 所以t1= s 物块从A点到B点的水平位移x=v0t1= m (2)对物块在B点时受力分析,根据牛顿第二定律有mg sin 30°+FN=m 解得FN=11 N (3)物块在C点,有F'N-mg=m 根据牛顿第三定律可知,物块在圆弧BC的最低点时,轨道对物块的支持力大小等于物块对轨道压力大小,即F'N=F=56 N 所以vC= m/s 物块从C点到D点做匀减速直线运动,加速度大小为a==5 m/s2 根据运动学公式可得-2aL=- 可得vD= m/s 物块从D点飞出后做平抛运动,水平方向有x=vDt 竖直方向有y=gt2 由几何知识有x2+y2= 联立解得P点到D点的竖直距离y=(-1) m 6.答案　(1)　(2)4mg　 解：　(1)细线刚好伸直而无拉力时,对a或b小球受力分析,根据牛顿第二定律得=mL sin 30° 解得ω1= (2)依题可知,图甲、乙中弹簧弹力大小相等方向相反,故图乙中弹簧弹力的大小为F1=mg 设细线的拉力大小为F2,细线与竖直轴的夹角为60°,对c环分析,根据平衡条件得 2F2 cos 60°=mg+F1 解得F2=2mg 对a球分析,在竖直方向,根据平衡条件得 FN sin 30°=mg+F2 cos 60° 解得FN=4mg 在水平方向,根据牛顿第二定律得 FN cos 30°+F2 sin 60°=mL sin 60° 解得ω2= 考点2 1.D　 2.ACD　 3.答案　(1)　(2)　(3)ω> 解析　(1)当轻绳AC恰好无张力时,小球受力分析如图甲所示,水平方向,由牛顿第二定律有mg tan β=m·L sin α  解得ω1= 　 (2)当轻杆BC恰好无弹力时,对小球受力分析,如图乙所示,在水平方向,由牛顿第二定律有mg tan α=m·L sin α 解得ω2= (3)假设小球脱离前,轻杆和细绳对小球都有力的作用,小球脱离后做平抛运动,且恰好碰到圆盘,竖直方向有OB-=gt2 水平方向有x==v0t 联立解得v0= 则圆盘转动的角速度 ω0==<ω1= 故假设成立,分析可知,圆盘转动的角速度的取值范围为ω> 4.CD　 5.B　 6.BCD　 7.答案 解：　(1)当圆盘角速度较小时,两物块均由静摩擦力提供向心力,对A物块有fA=mω2r,对B物块有fB=mω2·2r,则A物块受到的摩擦力较小。绳上恰好出现拉力时,B与圆盘之间为最大静摩擦力,由最大静摩擦力提供其向心力,则有μmg=m·2r 解得圆盘的角速度为ω1= 即当绳上恰好出现拉力时,圆盘的角速度ω1大小为。 (2)绳上出现拉力后,随着角速度缓慢增大,B所受摩擦力仍然为最大静摩擦力,由摩擦力与绳的拉力的合力提供向心力,绳的拉力等于因B角速度增大而增大的向心力,而A由于角速度增大而增大的向心力小于绳的拉力,可知开始时A所受摩擦力减小,当A所受摩擦力减为0时,对物块B受力分析有F +μmg=m·2r 对物块A受力分析有F=mr 解得ω2= (3)当圆盘的角速度大于时,此时对物块B受力分析有F+μmg=mω2·2r 对物块A受力分析有F-fA=mω2r 联立两式可得fA=mω2r-μmg(ω>) 可知,随着角速度的缓慢增加,A物块受到的摩擦力又逐渐增大,当A物块受到的静摩擦力达到最大值时,两物块即将相对圆盘滑动,即有μmg=mr-μmg 解得ω3= 此时物块B的速度v=ω3·2r=2 此后物块B将做平抛运动,则有h=gt2,x=vt 联立两式代入数据可得x=4r 由几何关系可知,B落地的位置与O'之间的距离L==6r 考点3 1.B　 2.C　 3.C　4.答案　(1)　(2)2mg,方向竖直向下 (3) 解　(1)碗通过最高点时,正上方碗内的水恰好对碗无压力,则重力恰好提供向心力(破题关键),图甲中,两碗的线速度大小相同,设碗的线速度大小为v,对上方碗中的水有mg= 解得v= (2)设正下方碗对水的支持力大小为FN,对下方碗中的水,所受合力提供向心力,有FN-mg=m 解得FN=2mg 由牛顿第三定律可知正下方碗内的水对碗的压力大小为2mg,方向竖直向下。 (3)设碗的质量为M,绳的拉力大小为F,竖直方向有F cos θ=(M+m)g 水平方向有F sin θ=(M+m)ω2r,其中r=L sin θ 联立可得ω= 5.C　 6.BCD　 7.答案　(1)　(2) (3)m 解：　(1)小球A运动到水平位置时,杆对球A的竖直分力大小Fy=mg 杆对球A的水平分力大小Fx=mω2· 则杆对球A的作用力大小F1= 解得F1= (2)小球A运动到最高点时,若杆对球A的作用力为拉力,则根据牛顿第二定律有mg+F2=mω2· 若杆对球A的作用力为支持力,则根据牛顿第二定律有mg-F2=mω2· 解得F2= 杆对球A的作用力大小为。 (3)小球A运动到最低点时,根据牛顿第二定律有 F3-mg=m·(2ω)2· 由牛顿第三定律可知,球A对杆的作用力F'3=F3=mg+m·(2ω)2·,方向竖直向下, 由于杆对转轴的作用力刚好为零,则小球B对杆的作用力与小球A对杆的作用力等大反向,则小球B对杆的作用力大小为F3,方向竖直向上,故对小球B有F3+mBg=mB·(2ω)2· 解得mB=m 考点4 1.B　 2.D　 3.CD　 4.答案　(1)0.5 s　(2)0.2 m　1 m　(3)5 m/s 解：　(1)将小球在P点的速度分解,可得tan 37°==  解得t== s=0.5 s (2)小球竖直方向做自由落体运动,有h1=gt2=×10×0.52 m=1.25 m 由几何关系可得,P点距地面的高度 Δh=h-h1=1.45 m-1.25 m=0.2 m 由几何关系有cos 37°= 代入数据得R=1 m (3)由牛顿第三定律得,小球在最高点Q点时,管上壁对小球的作用力大小为9 N,方向竖直向下,则由牛顿第二定律可得FN+mg= 解得v== m/s=5 m/s 5.答案　(1)3 m/s　(2)2.1 m　(3)6.9 m 解：　(1)设小球从P点水平向右飞出时的速度大小为v0,小球从P点飞出到第一次落地过程中,小球做平抛运动,有x0=v0t0,h0=g 解得v0=3 m/s (2)设细线长为L1,则细线断裂前瞬间,由牛顿第二定律有F-mg=m 细线断裂后小球做平抛运动,有H-L1=g,x=v1t1 联立得x= 由二次函数知识可知,当L1=2.1 m时,x取最大值。 (3)第一次弹起到第二次落地过程,小球做斜抛运动,从最高点到地面的运动可视为平抛运动,x2x=1.2 m=v1xt2,h2=g 解得第一次碰后水平分速度v1x=2 m/s 竖直分速度v1y=gt2=6 m/s 第一次碰撞前水平分速度v0=3 m/s 竖直分速度vy=gt0=8 m/s 故水平分速度之比为,竖直分速度之比为。 所以每次碰后水平位移x1=v0×2×=2.4 m x2=v0×2×=x1=1.2 m x3=v0×2×=0.6 m x4=v0×2×=0.3 m 第5次碰撞时距P点的水平位移大小x=x0+x1+x2+x3+x4=6.9 m 6.答案　(1)3L　(2)　(3)L 解：　(1)当B点传感器受到的压力为0时,重力提供向心力,设轨道AB的半径为R1,则mg=m 解得R1==3L (2)设轨道AB的最小半径为R2,根据牛顿第二定律可得4mg+mg=m 根据平抛运动的规律可得2R2=gt2 解得R2=L,t= (3)由以上分析可得L≤R≤3L 即小球从B点平抛的高度满足L≤H≤6L 根据平抛运动的规律:x=v0t,H=gt2 可得L≤x≤6L 由此可知,小球平抛运动过程中的水平位移总是小于7L,故每次都会落入试验池,如图所示 设小球落入试验池后,与MN的碰撞点到液面的高度为y,根据几何知识及平抛运动的规律可得= 解得y==-x2+x(代入x=v0t,H=gt2=2R) 由数学知识可知,当x=L(抛物线对称轴)时,y有最大值,ymax=-·+·L=L 当x=6L时,y有最小值,且ymin=-·(6L)2+·6L=2L 故挡板MN上能有小球打到的区域长度为Δy=ymax-ymin=L 7 $