5.1.1 任意角 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦任意角的概念推广、象限角及终边相同的角的集合表示。从初中静态角定义出发，通过圆周运动、齿轮传动等情境引出动态角概念，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点是以现实情境（如李小鹏跳马动作）培养数学眼光，通过探究终边相同角的集合发展数学思维，用集合语言精确表达体现数学语言。典例分析助学生掌握角的转化，教师可借情境导入和方法总结提升教学效果。

现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性，例如:地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等.这些现象都可以用三角函数刻画。 5.1 任意角和弧度制 第五章 三角函数 5.1.1 任意角 1、情境创设 回顾初中所学：什么是角？范围是多大？ 定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 顶点 边 边 角的范围：0°～360° 初中定义 LOGO 1、情境创设 思考：⊙O 上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点P的位置变化呢? 由初中知识可知，射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°~360°范围内的角，如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了.所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围. LOGO 2、探究新知 在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转. 2002年在匈牙利世锦赛上，李小鹏在跳马时做出的“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”获得“李小鹏跳”命名. 关键是用运动的观点来看待角的变化. LOGO 2、探索新知 知识点一、角的推广 1、角概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. 2、角的构成元素： 始边 终边 顶点 A B O 方向 LOGO 2、探索新知 知识点二、角的分类 规定：一条射线绕其端点， 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 如果一条射线没有做任何旋转，则称它形成了一个零角. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角. 若以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所成的角总是负角。 LOGO 2、探索新知 知识点三、角的相关概念 1.角和角旋转的方向相同且旋转的角度相等，那么就称 2.设是任意两个角.规定把角终边旋转角，这时终边所对应的角是 3.把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。 角的相反角记作 角的减法→角的加法 LOGO 2、探索新知 x o y x 思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合。 那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？ LOGO 2、探索新知 知识点四、象限角 1.如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角； 2.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角. 思考2：那么下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限的角？ LOGO 2、探索新知 思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. LOGO 2、探索新知 －32° -392° x y o 328°   LOGO 2、探索新知 思考4：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ 思考5：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？ 知识点五、终边相同的角 S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. LOGO 3、典例分析 例1 在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 注意：1°=60′ LOGO 3、典例分析 思考6：终边在x轴非负半轴、非正半轴，y轴非负半轴、非正半轴上的角分别如何表示？ 轴线角的集合表示一： x轴非负半轴：{α|α= k·360°，k∈Z }； x轴非正半轴：{α|α= 180°＋k·360°，k∈Z }； y轴非负半轴：{α|α= 90°＋k·360°，k∈Z }； y轴非正半轴：{α|α= 270°＋k·360°，k∈Z }. LOGO 3、典例分析 例2 写出终边在y轴上的角的集合. 解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°,270°角(如图).因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}. 而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}. 于是，终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2 ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z }∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z } ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z }∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z } ={β|β=90°+n·180°，n∈Z } LOGO 3、典例分析 思考7：终边在x轴上的角分别如何表示？ 轴线角的集合表示二： 在x轴上：{α|α= k·180°，k∈Z} ； 在y轴上：{α|α= 90°＋k·180°，k∈Z }； 在坐标轴上：{α|α= k·90°，k∈Z} . LOGO 3、典例分析 例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤α＜720°的元素β写出来. 解：S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有：-315°，-135°,45°,225°,405°,585°. 【变式1】写出终边在直线上的角的集合S 【变式2】写出与30°角终边在同一直线上的角的集合S S={β|β=60°+k·180°,k∈Z}. S={|=30°+k·180°,k∈Z}. LOGO 3、典例分析 思考8：各象限的角的集合分别如何表示？ 区域角的集合表示： 第一象限：{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z }； 第二象限：{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z }； 第三象限：{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z }； 第四象限：{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z }. LOGO 4、课堂练习 题型一　任意角概念的理解 【例 1】(1)给出下列说法:①第一象限角可能是负角;②小于180°的角是钝角、直角或锐角;③始边和终边重合的角是零角。其中正确说法的序号为 (把正确说法的序号都写上). (2)点O为原点,射线OA和x轴的非负半轴重合,射线OA先绕端点O顺针旋转80°到 OB 位置,再逆时针旋转250°到OC位置，最后顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD= 。 学案大书P78 LOGO 4、课堂练习 题型二　终边相同的角的表示与应用 【例2】(1)将-885°角化为k·360°+(360°,kZ)的形式是 . (2)已知角β的终边在直线y=-x上 ①写出角β的集合S; ②写出集合S 中适合不等式组一360°<β<360°的元素. 学案大书P78 LOGO 解题方法（终边相同的角的表示） 1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止． 2．运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 4、课堂练习 题型三　象限角和区域角的表示 【例3】(1)-2019°是第 象限角. (2)如图所示 ①分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合; ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 学案大书P79 LOGO 4、课堂练习 题型三　象限角和区域角的表示 5.如图,已知角的终边在阴影表示的范围内,试指出角的取值范围. 学案大书P79 LOGO 4、课堂练习 题型三　象限角和区域角的表示 6.是第二象限角,则是第几象限角？ LOGO 解题方法（任意角和象限角的表示） 1．判断角的概念问题的关键与技巧． (1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、钝角等； (2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小”． 2．象限角的判定方法． (1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限． (2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． $