专题07 几何初步—线段（期末真题汇编，福建专用）七年级数学上学期

专题07 几何初步——线段 5大高频考点概览 考点01 作线段（尺规作图） 考点02 线段之间的运算 考点03 线段n等分点的有关计算 考点04 “双中点”问题 考点05 动点问题 地 城 考点01 作线段（尺规作图） 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，已知线段，作一条线段使它等于．作法：①作射线；②用圆规量出线段的长，在射线上顺次截取；③用圆规量出线段的长，在线段上截取，那么所作的线段是（  ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画线段，交于E点； (2)作射线； (3)反向延长至F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点A，B在直线上，点在直线外． (1)连接，作射线； (2)尺规作图：点C，D在直线上，且点C在点A的左侧，使得；点D在点B的右侧，使得； (3)在（2）的条件下，若，，点M，N分别为线段，的中点，求线段的长度． 4．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，已知线段． (1)请用尺规按下列步骤作图：延长线段到，使，延长到，使； (2)图中共有______条线段； (3)若，求线段的长． 5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点E是射线上一点，且，，求的长； (3)在（3）的条件下，若点F在线段上，且，的值为 ． 地 城 考点02 线段之间的运算 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，点C为线段AB上一点，若，，则（    ） A．10 B．7 C．5 D．4 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，B、C两点把线段分成三部分，M为的中点，，则的长为 ． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图所示，已知________，因为，，又因为，所以．根据上述推理过程，横线中应填 ． 三、解答题 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，延长到点C，点D是的中点． (1)如图，若，求的长； (2)若点A是的中点，求的长． 5．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，，点C是线段的中点，点D是线段上一点，，求的长． 6．（24-25七年级上·福建漳州·期末）已知点D、E在线段上，C为的中点． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，试说明：点E为的中点． 地 城 考点03 线段n等分点的有关计算 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建漳州·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建宁德·期末）已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 三、解答题 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 5．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 地 城 考点04 “双中点”问题 一、填空题 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点是线段上一点，点是线段的中点，点是线段 的中点． 若线段的长为4，则线段的长度是 ． 二、解答题 3．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题： (1)试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P是线段的中点，，，求线段的长． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，点在线段上，点是的中点，点是的中点． (1)若，，求的长度； (2)求证：． 地 城 考点05 动点问题 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建漳州·期末）已知线段，点C从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动．若运动t秒后，满足，则t的值是 ． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 三、解答题 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，已知A，B，C是数轴上的三点，点C表示的数是6，，． (1)写出数轴上点A，点B表示的数； (2)点M为线段的中点，，求的长； (3)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段的中点． 5．（24-25七年级上·福建南平·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 几何初步——线段 5大高频考点概览 考点01 作线段（尺规作图） 考点02 线段之间的运算 考点03 线段n等分点的有关计算 考点04 “双中点”问题 考点05 动点问题 地 城 考点01 作线段（尺规作图） 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，已知线段，作一条线段使它等于．作法：①作射线；②用圆规量出线段的长，在射线上顺次截取；③用圆规量出线段的长，在线段上截取，那么所作的线段是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作线段、线段的和差，熟练掌握作线段的方法是解题关键．根据线段的和差可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴所作的线段是， 故选：A． 二、解答题 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画线段，交于E点； (2)作射线； (3)反向延长至F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段，两点之间的距离等知识． （1）根据线段的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）在的延长线上截取，在线段上，截取，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段，交于E点，点E即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点A，B在直线上，点在直线外． (1)连接，作射线； (2)尺规作图：点C，D在直线上，且点C在点A的左侧，使得；点D在点B的右侧，使得； (3)在（2）的条件下，若，，点M，N分别为线段，的中点，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查作图一复杂作图，直线，射线，线段，两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段，射线的定义画图即可． （2）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，在点的左侧交直线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，如图所示，点C、D为所求； （3）由中点的定义可得，，则，再根据可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段、射线为所求； （2）解：如图所示，点C、D为所求； （3）解：∵点M，N分别为线段，的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，已知线段． (1)请用尺规按下列步骤作图：延长线段到，使，延长到，使； (2)图中共有______条线段； (3)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)8 【分析】本题主要考查作图、线段数量计算和线段中点的计算， （1）根据题意画出对应的线段长度即可；； （2）图中共有6条线段，分别为； （3）根据题意先求得，再求得即可． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：图中共有6条线段， 故答案为：6； （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴． 5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点E是射线上一点，且，，求的长； (3)在（3）的条件下，若点F在线段上，且，的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1或5． 【分析】本题考查了基本作图，线段的和差计算等知识． （1）根据几何语言画出几何图形； （2）先计算出，然后计算即可； （3）讨论：当点在点左侧，；当点在点右侧，． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：∵， ， ∵， ； （3）解：当点在点左侧，， 当点在点右侧，， 综上所述，的长为1或5． 故答案为：1或5． 地 城 考点02 线段之间的运算 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，点C为线段AB上一点，若，，则（    ） A．10 B．7 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差．熟练掌握线段的和差计算，是解决问题的关键． 根据线段是由与组成求解即可． 【详解】∵点C在线段AB上，，， ∴． 故选：D． 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，B、C两点把线段分成三部分，M为的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由已知B、C两点把线段分成三部分，所以设，，，根据已知分别用x表示出，，从而得出的长． 【详解】解：设，，， 所以 因为M是的中点， 所以 所以 因为 所以， 因为 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的和与差，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图所示，已知________，因为，，又因为，所以．根据上述推理过程，横线中应填 ． 【答案】为中点 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，根据推理过程中用到的条件填空，即可求解． 【详解】解：根据题意， 则，则横线中应填为中点 故答案为：为中点． 三、解答题 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，延长到点C，点D是的中点． (1)如图，若，求的长； (2)若点A是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据线段和差关系可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据线段的和差关系可进行求解 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． （2）解：∵A是的中点， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴．    5．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，，点C是线段的中点，点D是线段上一点，，求的长． 【答案】的长为 【分析】 本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段中点的性质，线段的和差，利用已知条件的长及的长，再利用线段的和差，求出的长． 【详解】 解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点D是线段上一点，， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：的长为． 6．（24-25七年级上·福建漳州·期末）已知点D、E在线段上，C为的中点． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，试说明：点E为的中点． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段中点的含义； （1）证明，结合，，进一步可得答案； （2）证明，结合，，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解： 为的中点， ． ， ， ， ． ． 即． （2）解：为的中点， ． ，即， ， ． ． ． 即E为的中点． 地 城 考点03 线段n等分点的有关计算 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建漳州·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建宁德·期末）已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差，分和当两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： 则：， ∵， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查选段的和差运算，线段中点的定义，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； (1)根据线段的比，可设，则，，由求出的值即可； (2)根据线段的比，可设，则，，再根据线段中点的定义得出，由列方程求出的值，再根据进行计算即可. 本题考查两点间的距离， 【详解】（1）解：由于，可设，则，， ∴， ∴， ，，， 是线段的中点， ， ； （2）由于，可设，则，， 是线段的中点， ， ， ，即， 解得， ． 5．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 地 城 考点04 “双中点”问题 一、填空题 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 【答案】或 【分析】根据点相对于线段的位置分两种情况讨论，利用线段中点的性质求出、的长度，再通过线段的和或差计算的长度 ．本题主要考查线段中点的性质以及线段长度的计算，熟练掌握分情况讨论思想和线段中点将线段分成相等两部分是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴； 如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴． ∴的长为或． 答案为：或． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点是线段上一点，点是线段的中点，点是线段 的中点． 若线段的长为4，则线段的长度是 ． 【答案】8 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．根据点是线段的中点，点是线段 的中点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段 的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 二、解答题 3．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题： (1)试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P是线段的中点，，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据M、N分别是线段、的中点，得到，，根据，代入计算即可； （2）先求出，根据中点定义得到，再求出，根据中点定义得到，根据计算即可． 本题主要考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义，线段的加减计算，是解决问题的关键． 【详解】（1），理由： ∵M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∴， ∵N是线段的中点， ∴， ∴． 故线段的长为． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，点在线段上，点是的中点，点是的中点． (1)若，，求的长度； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合的思想，找准线段之间的关系是解此题的关键． （1）先求出，，再根据线段的中点得出，，最后根据计算即可得出答案； （2）根据线段的中点得出，，得出，即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， 点是的中点，点是的中点， ，， ； （2）证明：点是的中点，点是的中点， ，， ． 地 城 考点05 动点问题 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建漳州·期末）已知线段，点C从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动．若运动t秒后，满足，则t的值是 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用，分两种情况，先画出图形，再建立方程求解即可. 【详解】解：如图， ； 由题意可得：，， ∵， ∴， 解得：， 如图， ，， ∵， ∴， 解得：， 综上：当，则t的值是或. 故答案为：2或6 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【答案】3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，设点的运动时间为 ，分及两种情况考虑，当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】解：，，． 设点的运动时间为 ， 当时，，， 根据题意得：， 解得：； 当时，，， 根据题意得：， 解得：． 综上所述，当点出发或时，，两点重合． 故答案为：3或6． 三、解答题 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，已知A，B，C是数轴上的三点，点C表示的数是6，，． (1)写出数轴上点A，点B表示的数； (2)点M为线段的中点，，求的长； (3)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段的中点． 【答案】(1)A表示的数是，B表示的数是2 (2)7或13 (3)当时，原点O为的中点 【分析】本题主要考查数轴上的点与有理数，线段的和与差，线段中点，掌握数轴上的点与有理数的关系，能够表示出线段的和与差并分情况讨论，理解线段中点的含义是解题的关键． （1）根据点C表示的数和B，C之间的距离可求出B表示的数，然后再根据A，B之间的距离即可求出A表示的数； （2）根据M是的中点，求出的长度，然后分N点在C的左侧和右侧两种情况，当N在C左侧时，，当N在C右侧时，，最后利用即可得出答案； （3）原点O为的中点时，，分别用含t的代数式表示出，，然后建立方程，解方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：如图，∵点C表示的数是6，， ∴B表示的数是． ∵， ∴A表示的数是， ∴A表示的数是，B表示的数是2； （2）解：∵，M是的中点． ∵， 因为， 当点N在点C的左侧时，，此时； 当点N在点C的右侧时，，此时； 综上，的长7或13； （3）解：∵A表示的数是， ∴ ∵C表示的数是6， ∴， ∵点P、点Q同时出发，且运动的时间为t秒， ∴，， ∴，， 当原点O为的中点时，， ∴．解得， 故当时，原点O为的中点． 5．（24-25七年级上·福建南平·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $