7.4 事件的独立性（教学课件）数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦“事件的独立性”，涵盖定义、概率公式及与互斥事件的区分。通过抛硬币、考试及格等现实情境导入，引导学生观察事件影响关系，结合掷骰子、摸球实例探究，逐步抽象概括知识，构建从具体到抽象的学习支架。 其特色是融入数学眼光（观察生活事件）、数学思维（推导公式）和数学语言（解决实际问题），通过对比表格明晰概念，分层题型训练（判断、计算、应用）巩固知识。学生能提升逻辑推理与应用素养，教师可高效备课，助力教学。

第七章 概 率 北师大版2019必修第一册·高一 7.4 事件的独立性 学 习 目 标 1 2 3 理解事件独立性的定义，能区分独立事件与互斥事件. 掌握独立事件的概率计算公式，并能推导简单推导过程. 会运用独立性解决实际问题，提升数学应用与逻辑推理素养（重点、难点）. 读教材 阅读课本P214-P216，5分钟后完成下列问题： 1.什么是相互独立事件？如何判断呢？ 2.相互独立事件的概率有什么关系呢？ 3.如果把相互独立事件其中一个事件换成它的对立事件，那这两个事件还会相互独立吗？ 我们一起来探究“事件的独立性”吧！ 新课引入 在现实生活中，很多事件的发生似乎毫无关联： ①抛一枚硬币得到正面，与掷一枚骰子得到点数6，这两个结果会相互影响吗？ ②甲同学考试及格，与乙同学考试及格，这两个事件的发生是否有关？ ③从一批产品中第一次抽到合格品，不放回地第二次再抽，两次结果是否相互影响？若放回再抽呢？ 这些“互不影响”或“相互关联”的事件关系，正是我们今天要探究的——事件的独立性. 学习过程 01 02 目录 1 事件的独立性 2 题型训练 实例分析 【探究1】在试验:"连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数"中，设事件 表示"第一次掷出1点"，事件表示"第二次掷出1点". (1)试写出试验 的样本空间，并分别计算事件与事件发生的概率； (2)事件的发生与否对事件发生的概率是否有影响？为什么？ (3)事件的含义是什么？试探究与的关系． 【探究2】 在试验"袋中有白球3个（编号为1,2,3)、黑球2个（编号为1,2)，这5个球除颜色外完全相同，从中有放回地摸球，连续摸两次，每次摸1个，观察摸出球的情况"中，设事件表示"第一次摸出白球"，事件表示"第二次摸出白球". (1）试写出试验的样本空间，并分别计算事件、事件发生的概率； (2）事件的发生与否对事件发生的概率是否有影响？为什么？ (3）事件的含义是什么？试探究的关系．将探究1和探究2得到的结果填入后表中． 实例分析 探究内容 事件的发生与否对事件发生的概率是否有影响 否 否 抽象概况 事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件． 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即 相互独立事件 (1)此结论可以推广到个事件的一般情况吗？ (2)两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立吗？ 抽象概况 对于个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件发生与否的影响。那么称事件相互独立． 如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即). 若事件与事件相互独立，则 又因为 , 所以 . 上面的讨论表明，如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立． 例题剖析 【例1】甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)两人都译出密码的概率； (2)两人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多有一人译出密码的概率； (5)至少有一人译出密码的概率． 解: 记"甲独立译出密码"为事件,"乙独立译出密码"为事件,与为相互独立事件，且 例题剖析 解：(1)设事件表示"两人都译出密码"，则．因为与相互独立，所以 即两人都译出密码的概率为. (2)设事件表示"两人都译不出密码"，则．因为与相互独立，所以与也相互独立．因此， 即两人都译不出密码的概率为. 例题剖析 解：(3)设事件表示"恰有一人译出密码"，事件可以看作事件"甲译出密码且乙未译出密码"与事件"甲未译出密码且乙译出密码"的并事件，所以，且两个事件与彼此互斥，因此 即恰有一人译出密码的概率为 例题剖析 解：(4)设事件表示"至多有一人译出密码". 方法1 事件可以看作事件"两人都译不出密码"与"恰有一人译出密码"的并事件，所以，且与彼此互斥，因此 . 即至多有一人译出密码的概率为· 方法2 事件的对立事件为"两人都译出密码"，所以，因此 即至多有一人译出密码的概率为. 例题剖析 解：(5)设事件表示"至少有一人译出密码". 方法1 事件可以看作事件"两人都译出密码"与"恰有一人译出密码"的并事件，所以，且与彼此互斥，因此 即至少有一人译出密码的概率为 方法2 事件的对立事件为"两人都译不出密码"，所以，因此 即至少有一人译出密码的概率为. 学习过程 01 02 目录 1 事件的独立性 2 题型训练 题型训练 题型一 相互独立事件的判断 【练习1】如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中 ，则( ) A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C互为对立事件 D．事件A与事件C相互独立 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即对应集合交集为空集 概率公式 若事件与事件相互独立，则 若事件与互斥，则,反之不成立 题型训练 题型一 相互独立事件的判断 解:对于,事件A与事件 B可以同时发生，故错误； 对于B, 事件A与事件B相互独立，故正确； 对于C,,又事件A与事件C不互为对立事件，故错误； 对于D，由图可知, ∴事件A与事件C不相互独立，故错误． 题型训练 题型一 相互独立事件的判断 【练习2】(多选)已知事件发生的概率分别为，则下列结论正确的有( ) A．若与互斥，则 B．若，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 解:对于，若与互斥，则所以0.6，故正确； 对于，若，则，故错误； 对于，若，则，则与相互独立，故正确； 对于，若与相互独立，则，则,故正确． 题型训练 题型二 求相互独立事件的概率 【练习3】如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为这个电路是通路的概率是（ ） 解：元件都不正常工作的概概率为则元件至少有一个正常工作的概率为，而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生，所以这个电路是通路的概率为故B正确． 题型训练 题型二 求相互独立事件的概率 【练习4】(多选)下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 .4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 .甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 ．设两个独立事件和都不发生的概率为,发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 题型训练 题型二 求相互独立事件的概率 解：对于，该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则该学生在前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所求概率为正确； 对于，从这4张卡片中随机抽取2张，不同结果为12,13,14,23,24,34，共6个，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的结果为12,14,23,34，共4个，概率为,错误； 对于，甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为正确； 对于，由独立事件的概率公式可得,错误 故选. 题型训练 题型三 相互独立事件的应用 【练习5】某社区举办"闹元宵，猜灯谜"活动．甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜错的概率是且各家庭是否猜对互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于两个家庭猜对此灯谜的概率. 解：(1)记甲家庭猜对此灯谜为事件,乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜 件对此灯谜为事件,则 题型训练 题型三 相互独立事件的应用 又事件两两相互独立，所以解得即乙家庭猜对的概率为，丙家庭猜对的概率为 (2)记甲、乙、丙三个家庭中不少于两个家庭猜对此灯谜为事件，则 题型训练 题型三 相互独立事件的应用 【练习6】某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人已通过前面的比赛，进入决赛．决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束．假设每局比赛双方获胜的概率均为且每局比赛的结果相互独立． (1)求丙每局都获胜的概率； (2)求甲获得比赛胜利的概率． 题型训练 题型三 相互独立事件的应用 解：(1)丙每局都获胜有以下2种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜， 第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率 第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率 丙每局都获胜的概率 题型训练 题型三 相互独立事件的应用 解：(2)设甲获胜为事件，乙获胜为事件，丙获胜为事件. 比赛进行三局，甲获胜的概率为, 比赛进行五局，有以下6种情况：，甲获胜的概率为 比赛进行七局，有以下8种情况： 甲获胜的概率为. 故甲获得比赛胜利的概率为 课堂小结 事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件． 两个相互独立事件同时发生的概率   感谢聆听! $