7.3 频率与概率（教学课件）数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦“频率与概率”核心内容，涵盖频率定义、性质、概率统计定义及两者区别联系，重点突出用频率估计概率的方法。课堂导入通过抛硬币试验数据、篮球运动员命中率等现实案例，承接随机事件知识，搭建从具体频率到抽象概率的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点在于以真实情境为依托，通过抛硬币、松鼠数量估计等实例，引导学生用数学眼光观察生活随机现象，通过频率稳定性抽象概率定义培养数学思维，结合动物数量估计、天气模拟等题型训练，用数学语言解决实际问题。学生能深化理解，教师可高效开展教学。

第七章 概 率 北师大版2019必修第一册·高一 7.3 频率与概率 学 习 目 标 1 2 3 理解频率的定义，掌握频率的计算方法，能通过试验或统计数据计算随机事件的频率. 明确概率的统计定义，区分频率与概率的联系与区别（重点). 掌握“用频率估计概率”的核心方法，能解决简单的实际问题（难点). 读教材 阅读课本P208-P210，5分钟后完成下列问题： 1.什么是频率？它有什么性质？ 2.概率的统计定义是什么？ 3.频率和概率有什么区别与联系？ 我们一起来探究“古典概型”吧！ 新课引入 在现实生活中，我们常听到这样的表述： ①“抛一枚均匀硬币，正面朝上的概率是50%” ②“某篮球运动员罚球命中率约为80%” ③“疫情期间，未接种疫苗人群的感染概率高于接种人群” 这些“概率”是如何得出的？抛10次硬币，一定有5次正面朝上吗？历史上多位数学家做过抛硬币试验，记录如下： 试验者 抛硬币次数 正面朝上次数 正面朝上频率 德摩根 4092 2048 0.5005 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 24000 12012 0.5005 罗曼诺夫斯基 80640 36699 0.4923 观察数据，你发现了什么规律？频率与概率之间存在怎样的联系？今天我们就来解开这些疑问. 学习过程 01 02 目录 1 概率的概念 2 题型训练 实例分析 对于任何一位篮球运动员，在一次投篮中，命中与否是一个随机事件．但是，我们经常能够听到球迷说某某球员投篮很准，这个" 很准" 是怎么得来的？是否有一个量化的标准？此外，我们经常能够看到在篮球比赛决定胜负的一投时，往往会将这决定胜负的一投交给"最有把握"的球员.既然能否投中是一个随机事件，那么最后一投交给谁都应该一样，不都是听天由命吗？这里的"最有把握"是怎么得来的呢？ 分析:在篮球比赛的统计中有一项技术指标叫"投篮命中率"，是用来衡量运动员投篮准确性的．"投篮命中率"往往用一个比值"表示，其中表示投篮的总次数，表示在这次投篮中命中的次数．在一般情况下，称为投篮命中的频数，称"为投篮命中的频率，简称投篮命中率． 实例分析 显然，"频率"的值位于区间之间，的值可以反映运动员投篮的准确度， 的值越大，说明其投篮越准． 下表是某篮球运动员在2021年11月的5场比赛中的投篮命中率（结果精确到0.001). 比赛场次 总投篮次数 投篮命中次数 投篮命中率 1 13 5 0.385 2 18 10 0.556 3 15 5 0.333 4 18 10 0.556 5 19 8 0.421 总计 83 38 0.458 抽象概况 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件发生的频率具有稳定性．这时把这个常数叫作随机事件的概率，记作．显然，．我们通常用频率来估计概率． 概率的概念 频率和概率有什么区别与联系呢？ 抽象概况 频率与概率的区别与联系 区别 联系 频率 本身是随机的,在试验之前无法确定，随着试验次数的改变而改变,即使做同样次数的重复试验,得到的频率也可能会不同 频率是概率的近似值,在多次重复试验中,同一事件发生的频率会在某一个常数附近摆动,频率会越来越接近概率.在大量重复试验的前提下,可将频率近似地作为这个事件发生的概率.在实际问题中,通常事件的概率是未知的,常用频率估计概率 概率 是中的一个常数,度量事件发生的可能性的大小,不随试验次数改变而改变,它是频率的科学抽象 牛刀小试 判断下列说法是否正确 （1）频率是客观存在的，与试验次数无关.（ ） （2）随机事件的频率可能大于1.（ ） （3）抛掷一枚硬币5次，正面朝上3次，则正面朝上的频率为0.6.（ ） （4）小概率事件一定不发生，大概率事件一定发生.（ ） × × √ 随机事件的频率取值范围是. 小概率事件（概率接近0）很少发生，但不代表一定不发生；大概率事件（概率接近1）经常发生，但不代表一定发生 频率 √ 学习过程 01 02 目录 1 概率的概念 2 题型训练 题型训练 题型一 频率与概率的关系及其应用 【练习1】(多选)下列关于频率与概率的说法中，错误的是( ) A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品. B．某人射击10次，击中靶心的概率是可能击中靶心5次 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确 解:对于，从中任取100件，可能有10件次品，而不是必有10件次品，说法太绝对，故错误； 对于，因为某人射击10次，击中靶心的概率是,所以他可能击中靶心（次），故正确； 对于，多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，故错误； 对于,10 000次的界定没有科学依据，"不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数足够多，频率就等于概率，故正确． 题型训练 题型一 频率与概率的关系及其应用 【练习2】某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表： 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（ ） 解:由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，所以合计列对应的频率最为合适，即0.61．故B正确． 第一组 第二组 第三组 第四组 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 124 174 366 命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61 题型训练 题型二 用频率估计概率 【练习3】为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100 只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林．再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠______只． 1000 解：估计此森林内约有松鼠（只） 在实际应用中，可以用样本估计总体及频率估计概率思想，统计某鱼塘中鱼的数量，或某个森林里某种动物的数量，实际操作为可以随机捕捉适量的该种动物，做上标记后放回，过段时间后再捕捉一次，那么第二次捕捉的动物中带标记动物的数量与第二次捕捉的动物总数的比值，和第一次捕捉的动物总数与森林里的该种动物总数的比值近似相等，从而估计这片森林里该动物的总数． 题型训练 题型二 用频率估计概率 【练习4】中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模拟试验，产生0~9之间的整数随机数，假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3181 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为______. 解:由表中数据可得,四天中恰有三天下雨的有9533,9522,0018,0018,3181,8425,2436, 0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为 题型训练 题型二 用频率估计概率 【练习5】某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间单位：）内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过瓶的概率估计值为0.1，则_______. 300 最高气温 天数 4 5 25 38 18 题型训练 题型二 用频率估计概率 解：由表中数据知，最高气温低于的频率为，且由题意可 知，最高气温低于时，这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1，即 题型训练 题型二 用频率估计概率 【练习6】为研究某茶品价格变化的规律，收集了该茶品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用""表示"上涨"，即当天价格比前一天价格高；用""表示"下跌"，即当天价格比前一天价格低；用""表示"不变"，即当天价格与前一天价格相同，用频率估计概率． (1)试估计该茶品价格"上涨""下跌""不变"的概率． (2)假设该茶品每天的价格变化只受前一天影响，判断第41天该茶品价格"上涨""下跌"和"不变"的概率估计值哪个最大？ 时段 价格变化 第1天到第10天 第11天到第20天 第21天到第30天 第31天到第40天 题型训练 题型二 用频率估计概率 解：(1)根据表格数据可以看出，在40天中，有15个""，也就是有15天的价格是"上涨"的，根据古典概型的计算公式，该茶品价格"上涨"的概率为有15个""，也就是有15天的价格是"下跌"的，根据古典概型的计算公式，该茶品价格"下跌"的概率为有10个""，也就是有10天的价格是"不变"的，根据古典概型的计算公式，该茶品价格"不变"的概率为 (2)由于第40天处于"上涨"状态，从前39天的14次"上涨"进行分析，"上涨"后下一次仍"上涨"的有4次，"不变"的有8次，"下跌"的有2次，因此估计第41天"不变"的概率最大． 题型训练 题型二 用频率估计概率 【练习7】高中某学校对一次高三联考的物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，把频率视为概率，则下列结论错误的是（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)( ) ．学生物理成绩的众数估计为75 ．学生物理成绩的第75百分位数估计为80 ．在内随机抽取1名学生访谈，则其中甲被抽取的概率为0.1 ．从和内各抽1名学生，从内抽2名学生进行调研，又从这4名学生中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 题型训练 题型二 用频率估计概率 解：由频率分布直方图得，学生物理成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75，故正确；因为，所以估计学生物理成绩的第75百分位数为80，故正确；因为成绩在内的人数为，所以随机抽取1名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C正确；记从内抽取的1名学生为,从内抽取的1名学生为,从内抽取的2名学生为，则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为，共6种，其中这2人来自不同组的有 ，共5种，所以这2人来自不同组的概率为，故D错误． 题型训练 题型二 用频率估计概率 【练习8】某地区对高中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组：,整理得到如图所示的频分布直方图． (1）求第七组的频率； (2）估计该地区的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3）现从500名学生中利用分层随机抽样的方法从两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率． 题型训练 题型二 用频率估计概率 解：(1)由频率分布直方图得第七组的频率为 (2)估计该地区500名学生这次考试成绩的平均分为 (3)由频率分布直方图可知在内的频数为在内的频数为，所以两组人数的比值为,按照分层随机抽样抽取5人，则在内分别抽取3人和2人，记这组三人的编号为,这组两人的编号为 题型训练 题型二 用频率估计概率 故从5人中随机抽取2名，共有样本点（共1个样本点．设事件"从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组",则，共6个样本点．故 即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为． 课堂小结 1. 频率：频数与试验次数的比值，，为次试验中事件A出现的次数，其中随随机试验次数的变化而变化，取值范围 2. 概率(统计定义):频率的稳定值，反映随机事件发生的可能性大小. 3. 核心关系：频率是概率的近似值，大量重复试验中可通过频率估计概率. 感谢聆听! $