精品解析：广东省肇庆市四会市华侨中学2026届高三上学期数学周练三

2026届高三毕业班数学周练三 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为第一象限角.，则（ ） A. B. C. D. 5. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 10. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 11. 在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则与互斥 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为___________. 13. 设抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为120°，则___________. 14. 已知分别为三个内角的对边，若，且，则的面积最大值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18. 高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为． （1）求每个AI芯片智能检测不达标的概率； （2）人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求； （3）若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三毕业班数学周练三 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果. 【详解】由解得， 所以， 又因为，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 2. 设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算求，再根据复数的几何意义判断点所在的象限. 【详解】∵，则， ∴z在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3. 已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和图象特点可得出关于实数的等式与不等式，即可解出的值. 【详解】因为幂函数的图象与轴无交点， 则，解得. 故选：B. 4. 已知为第一象限角.，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，两边平方求出，判断的正负并求出，再利用同角公式计算作答. 【详解】因为为第一象限角，，则，， ，即，解得，， 所以. 故选：D 5. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合正弦定理得：，再利用平方和公式，结合三角函数的符号求的值. 【详解】因为，， 由正弦定理得：. 由余弦定理可得：，即， 所以， 所以， 又，， 所以. 故选：C. 7. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 8. 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在单调递增，进而关于直线对称，且在单调递增，结合条件可得，解不等式即得. 【详解】因为的定义域为R，又，故函数为偶函数， 又时， ，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增， 所以在单调递增， 所以， 所以关于直线对称，且在单调递增． 所以， 两边平方，化简得，解得． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】由图象可得，函数的最小正周期为， 因为，所以，，故， 因为，可得， 因为，则，所以，，可得， 所以，， 对于A选项，， 所以，函数的图象不关于点对称，A错； 对于B选项，， 所以，函数的图象不关于直线对称，B错； 对于C选项，当时，， 所以，函数在上不单调，C错； 对于D选项，因为， 将函数的图象向右平移个单位可得的图象，D对. 故选：D. 10. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 11. 在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则与互斥 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据A与B相互独立，则,再由可判断A选项；由条件概率的运算 可判断B选项；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故可判断C选项；通过计算得，得B与C互斥即可判断D. 【详解】对于A，A与B相互独立，则, ，故A错误； 对于B，因为与互斥，所以，所以， 所以，， 所以,故B正确； 对于C，因为与互斥，所以，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，显然，即， 由，得， 解得，所以与互斥，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式有几项，并写出的展开式的通项，即可得到展开式中的常数项. 【详解】由题意， 在中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等， ∴，解得：， 因此的展开式的通项为：， 故的展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 设抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为120°，则___________. 【答案】6 【解析】 【分析】设出点坐标，根据点在抛物线上以及直线倾斜角可以求出点坐标，再利用抛物线定义即可求解. 【详解】由已知得，准线， 设，则， 因为直线倾斜角为，所以直线的斜率， 即，解得， 因为在抛物线上，代入得， 所以， 故答案为：6. 14. 已知分别为三个内角的对边，若，且，则的面积最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理得，进而得，又由余弦定理得，进而求出，再由基本不等式得，最后利用三角形面积公式即可求解. 【详解】由，所以， 又，所以， 即，又由余弦定理得， 所以，所以， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，， 故二面角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18. 高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为． （1）求每个AI芯片智能检测不达标的概率； （2）人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求； （3）若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良． 【答案】（1） （2） （3）需要对生产工序进行改良 【解析】 【分析】（1）先求每个AI芯片智能检测达标的概率，再利用对立事件的概率求解； （2）先求，利用导数判断单调性可求解； （3）利用条件概率求出AI芯片的合格率，与93%比较可得结论. 【小问1详解】 记事件A＝“每个AI芯片智能检测不达标”，则 . 【小问2详解】 由题意， ∴ 令，则， 当，，为增函数； 当，，为减函数； 所以在处取到最大值． 【小问3详解】 记事件B＝“人工检测达标”， 则， 又， 所以， 所以需要对生产工序进行改良． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $