精品解析：云南省曲靖市宣威市务德镇第一中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试题卷

2025~2026学年秋季学期九年级基础巩固卷（二） 数学试题卷（期中） （考查范围：第二十一~二十四章） （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数称为二次函数，逐一判断各选项是否符合定义即可． 【详解】解：二次函数的标准形式为， 选项A：，其中，是二次函数，符合题意； 选项B：，最高次项为3次，不是二次函数，不符合题意； 选项C：，为常数函数，无二次项，不是二次函数，不符合题意； 选项D：，为一次函数，不是二次函数，不符合题意． 故选：A． 2. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． 通过计算每个一元二次方程的判别式，若，则方程没有实数根，即可解答． 【详解】解： A：， ， ∴，故没有实数根，符合题意． B：， 展开为， ， ∴，故有实数根，不符合题意． C：， ， ∴，故有实数根，不符合题意． D：， ， ∴，故有实数根，不符合题意． 故选：A． 3. 在同一平面内，已知的直径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小． 先求出的半径，再比较与半径的大小，从而确定点的位置． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， 又∵，， ∴点在外． 故选：C． 4. 把抛物线向左平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移规律，掌握“左加右减”是解题关键． 根据抛物线的平移规律：左加右减，对于水平平移，向左平移时在x上加平移单位． 【详解】解：∵抛物线 向左平移2个单位， ∴新解析式为 ． 故选：D． 5. 以下图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：绕某一点旋转后能与自身重合的图形．根据定义逐一判断各选项图形，确定符合条件的选项． 【详解】解：A、该图形绕任意点旋转后，无法与原图形重合，此选项不符合题意； B、该图形绕其中心旋转后，能与原图形重合，此选项符合题意； C、该图形绕任意点旋转后，无法与原图形重合，此选项不符合题意； D、该图形绕任意点旋转后，无法与原图形重合，此选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图，点A，B，C为上的点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角是圆周角的两倍．根据圆周角定理，由，可得，计算得出结果． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍， ∵， ∴． 故选：D． 7. 如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式，代入圆心角和半径计算即可． 【详解】解：由弧长公式，其中，， 则的长为（）． 故选：B． 8. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可． 【详解】S=， 故选C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键． 9. 若为二次函数图象上的两点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把分别代入进行计算，再比较的大小，即可作答． 【详解】解：∵为二次函数图象上的两点， ∴，， ∴， 故选：B 10. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2025年7月至9月，新能源车月销量由126万辆增加到150万辆：设2025年7月至9月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是理解连续增长模型，正确列出方程． 从7月到9月，销量经历两个月增长，9月销量等于7月销量乘以（月平均增长率）的平方． 【详解】解：∵7月销量为126万辆，9月销量为150万辆，月平均增长率为x， ∴经过两个月增长，有． 故选：D． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且 又∵为整数， ∴整数的最大值是， 故选：C． 12. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转得到对应边与角相等，结合等腰三角形的角的关系推导角度． 【详解】解：由旋转的性质得，，． ∵， ∴，设，则． ∵， ∴，又，故． 在中，，由三角形内角和得，即，解得． ∴． 故选：A． 13. 在校运动会上，小明同学进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线，如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用；根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】解：令，即， 解得：（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球成绩是10米． 故选：C． 14. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理；设该桨轮船的轮子半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中， 即， 解得：， ∴该桨轮船的轮子直径为 故选：C． 15. 如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是， 根据题意得， 解得， 即圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称点的坐标性质，掌握知识点是解题的关键． 关于原点对称的点，其横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标为． 故答案为：． 17. 圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n． 由题意可得：， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角． 18. 二次函数顶点坐标_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，解题关键是运用了顶点式，得到顶点坐标是． 【详解】解：二次函数顶点坐标为， 故答案为：． 19. 如图，中，是圆内接四边形，，则的度数是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先移项，然后用因式分解法求解即可； （2）先去括号，移项及合并，然后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴或， 解得，． 【小问2详解】 ， ， 或， 解得． 21. 已知、、． （1）在图中画出； （2）与关于原点对称，画出． 【答案】（1）如图： （2）如图： 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的绘制及关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数． （1）根据、、的坐标在坐标系中找点并顺次连接得到； （2）求出、、关于原点对称的点的坐标，再找点连接得到． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中，找到点、、，顺次连接、、，得到； 【小问2详解】 解：∵关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数， ∴、、，在坐标系中找到点、、，顺次连接，得到． 22. 截至2025年，云南省已建成校内和校外劳动教育实践基地6245个．如图是某校为供学生劳动实践而开垦出的“开心农场”，现利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？ 【答案】垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，可围成面积为的矩形场地 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据矩形的边长关系与面积公式建立方程． 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据面积为列方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 由题意得， 整理得， 解得， 则． 答：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，可围成面积为的矩形场地． 23. 如图，是的直径，是的弦，连接、． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质以及勾股定理等知识，关键是根据直径所对圆周角是直角可知解答. （1）由圆周角定理得， 根据直径所对圆周角是直角可知，再由三角形内角和定理可求出的度数； （2）由角所对的直角边等于斜边的一半知，再由勾股定理可求出的长. 【小问1详解】 解：∵点在上， 是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ， ， 设， 则， 在中， 由勾股定理得： ， ， ∵解得： ， (舍去)， ∴的长为． 24. 如图，在⊙中，，，延长到，使，连接． （1）求证：与⊙相切； （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 【答案】（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，      ∴， ∴与⊙相切； （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到，即可得的角度，可知为等边三角形，通过已知条件，可得为等腰三角形，通过其外角的性质可知的度数，进而即可得到的度数，即可证明与⊙相切； （2）作⊥于点，利用锐角三角函数求出的长度，利用勾股定理求出的长度，然后利用阴影部分的面积=扇形的面积-三角形的面积即可得到． 【详解】（1） 略 （2）如图，作⊥于点， 在中，， ∴， ∵△OBC是等边三角形，且OE⊥BC， ∴， ∴在中，， ∴阴影部分的面积=扇形的面积三角形的面积， ， ， 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理、扇形面积的求法等知识，解题的关键是熟知并熟练运用以上知识点． 25. 云南山川秀美，景区众多，近年来，云南加快建设旅游文化，致力发展旅游业，取得了显著成效．在国庆期间，某景区的门票价格为每人100元，每天最多能接待3500名游客，平均每天能售出1000张门票，为了吸引更多的游客，景区决定适当降低门票价格，经过调查发现，当票价每降低2元时，在国庆期间每天可以多卖出100张门票．设门票的售价为元（为正整数），每天门票的销售量为张． （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当门票的售价定为多少元时，该景区每天获得的门票收入最大，最大收入是多少元? 【答案】（1） （2）当门票售价定为元时，该景区每天获得的收入最大，最大收入为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用； （1）根据每天售出的张门票多售出的张数即可列出函数关系式，利用每天最多能接待名游客得到不等式求出自变量的取值范围； （2）设该景区每天获得的门票收入为元，根据收入=每张售价乘以销售量得到函数关系式，根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， 每天最多能接待名游客， ， 解得：， ， 与之间的关系式为； 【小问2详解】 解：设该景区每天获得的门票收入为元， 则， ， 当时，， 答：当门票售价定为元时，该景区每天获得的收入最大，最大收入为元． 26. 昆明龙川桥作为云南现存最早的石拱桥之一，其拱结构设计兼顾水利功能与工程美学．主孔可视为圆弧形，如图所示，当前河面宽度约为4米，拱高约为1米，求： （1）该圆弧的半径是多少； （2）若大雨过后，河面宽度变为米，求水面涨高了多少？ 【答案】（1）该圆弧的半径是米 （2）水面涨高了米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理的实际应用，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解． （1），设半径为，由垂径定理得半弦长，结合拱高表示出直角三角形的直角边，用勾股定理列方程求半径； （2）同理构造直角三角形，求出新水面到圆心的距离，与原距离作差得水面涨高的高度． 【小问1详解】 解：设该圆弧的半径为米， ∵， ∴米，米， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即该圆弧的半径是米． 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴米， 在中，由勾股定理得（米）， ∵原水面到的距离（米）， ∴水面涨高了（米）． 27. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点． （1）求的值； （2）求的长； （3）点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的横坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质， （1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知 （2）根据解析式可得顶点的坐标；第一问求得直线解析式，可求得的长． （3）根据题意设和，根据平行四边形的性质分类讨论即可求得答案． 【小问1详解】 解：将代入得： ， 解得：， 【小问2详解】 由（1）可得抛物线解析式为 ∵ ∴顶点， 当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 将、代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在． ∵抛物线解析式为，直线解析式为， 设，，则 分类讨论： ①当点在点下方时， ， 解得：，， ②当点在点上方时 ， 解得：（舍去），， 综上所述，点P的横坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年秋季学期九年级基础巩固卷（二） 数学试题卷（期中） （考查范围：第二十一~二十四章） （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 在同一平面内，已知的直径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 4. 把抛物线向左平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 以下图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C为上的点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ） A. B. C. D. 8. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 9. 若为二次函数图象上的两点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2025年7月至9月，新能源车月销量由126万辆增加到150万辆：设2025年7月至9月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 12. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 在校运动会上，小明同学进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线，如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ） A. B. C. D. 14. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 17. 圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是______ 18. 二次函数顶点坐标_____． 19. 如图，中，是圆内接四边形，，则的度数是____． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1） （2） 21. 已知、、． （1）在图中画出； （2）与关于原点对称，画出． 22. 截至2025年，云南省已建成校内和校外劳动教育实践基地6245个．如图是某校为供学生劳动实践而开垦出的“开心农场”，现利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？ 23. 如图，是的直径，是的弦，连接、． （1）求的度数； （2）若，求的长． 24. 如图，在⊙中，，，延长到，使，连接． （1）求证：与⊙相切； （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 25. 云南山川秀美，景区众多，近年来，云南加快建设旅游文化，致力发展旅游业，取得了显著成效．在国庆期间，某景区的门票价格为每人100元，每天最多能接待3500名游客，平均每天能售出1000张门票，为了吸引更多的游客，景区决定适当降低门票价格，经过调查发现，当票价每降低2元时，在国庆期间每天可以多卖出100张门票．设门票的售价为元（为正整数），每天门票的销售量为张． （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当门票的售价定为多少元时，该景区每天获得的门票收入最大，最大收入是多少元? 26. 昆明龙川桥作为云南现存最早的石拱桥之一，其拱结构设计兼顾水利功能与工程美学．主孔可视为圆弧形，如图所示，当前河面宽度约为4米，拱高约为1米，求： （1）该圆弧的半径是多少； （2）若大雨过后，河面宽度变为米，求水面涨高了多少？ 27. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点． （1）求的值； （2）求的长； （3）点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $