专题06 概率初步（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题06 概率初步 6大高频考点概览 考点01 利用概率公式求概率 考点02 已知概率求数量 考点03 几何概率 考点04 树状图或列表法求概率 考点05 用频率估算概率 考点06 利用概率计算随机事件发生的平均次数 地 城 考点01 利用概率公式求概率 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）从6男和4女的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为女生的概率是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了六张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”“雨水”和“惊蛰”各两张，每张邮票形状、大小都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是 ． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率是 ． 3、 解答题 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 m 0.25 0.2 0.1 注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 (1)已知第三类电影获得好评的有45部，则 ． (2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率． (3)在（1）的条件下电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大？ (4)设一到六类电影的票价依次为60元，50元，40元，30元，20元，10元，未获好评的电影的上座率均相同．获好评的六类电影的上座率依次会加，，，，，，在（3）的条件下，试说明总票房是否增加？ 地 城 考点02 已知概率求数量 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如果再往盒中放进3颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（  ） A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）一只不透明的盒子中装有12支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在左右，则估计盒子中蓝笔的数量为（   ）． A．20支 B．12支 C．10支 D．8支 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）一只盒子中有红球10个，白球6个，黑球a个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得“红球”的概率与“不是红球”的概率相同，那么a的值是 ． 5．（24-25九年级上·福建厦门·期末）在一个不透明的袋子中，装有除颜色外都相同的小球10个，现知道抽得红色小球的概率为，则袋中红色小球有 个． 三、解答题 6．（24-25九年级上·福建宁德·期末）某商场为了吸引顾客，设置了摸球有奖游戏，顾客消费满100元，就能获得一次摸球的机会． 游戏规则：一个不透明的盒子中装有除颜色外都相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球1个，黄球2个，白球5个．随机摸出一个球，摸到红球、黄球、白球分别可以获得一、二、三等奖． (1)顾客摸一次球，求获得一等奖的概率； (2)商场准备将获得二等奖的概率提高到，同时适当降低获得一等奖的概率，那么应该往盒子里最少添加多少个何种颜色的球？ 7．（24-25九年级上·福建三明·期末）在一个不透明的盒子里只装有红、白、黑三种颜色的球，每个球除颜色外完全相同，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是 (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)能否通过只改变盒子里其中一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，写出一种可行的方案；若不能，说明理由． 地 城 考点03 几何概率 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，三条中线把三角形分成6个面积相等的区域，一个小球在三角形上自由地滚动，最后停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小鹏制作了一个如图所示的靶盘，其中点，分别是边长为的正方形靶盘相邻两边的中点，小鹏随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图是由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（分隔线忽略不计），则蚂蚁停留在阴影区域内的概率是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25九年级上·福建南平·期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是 ． 5．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是 ． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）张老师把边长为4的正方形厚纸板分成七部分，如图1所示，然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大长方形中拼出如图2所示的图案，如果小球在如图2所示的大长方形中自由地滚动，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． （1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？ （2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元． 地 城 考点04 树状图或列表法求概率 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）泉州是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程． 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是 （   ）      A． B． C． D． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时，是女性；当染色体为时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，若李红妈妈又怀上了一个胎儿，则该胎儿是女孩的概率为 ． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）现有两枚质地均匀的骰子，记第一枚骰子所掷的点数为，记第二枚骰子所掷的点数为的方式来确定点，则掷出两枚骰子所确定的点落在直线上的概率为 ． 3、 解答题 4．（24-25九年级上·福建莆田·期末）2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想驶向星辰大海”为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同． (1)求甲同学参加A赛道的概率； (2)求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． A．铁钉生锈            B．滴水成冰 C．矿石粉碎            D．牛奶变质 (1)小丽从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是_______． (2)小华从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法，求小华抽取的两张卡片内容均为物理变化的概率． 6．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b． (1)先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率： (2)若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由．如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）一个不透明的纸箱里有三张完全相同的卡片，它们上面分别写着，小丽从中抽取一张，看完数后，把卡片放回，搅匀，然后小明再从中抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)同学小颖帮他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积为有理数，则小丽获胜：否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 8．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有数字4、5、6、，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表： 摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450 “和为10”出现的频数 2 10 24 37 58 82 110 150 “和为10”出现的频率 0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概率是______； (2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，那么的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取8，请写出一个符合要求的值． 9．（24-25九年级上·福建福州·期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 地 城 考点05 用频率估算概率 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（   ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建三明·期末）一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算的n值是 ． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到） 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如下表所示，则估计“一个点生成在码眼区域”的概率是 （精确到0.01）． 在二维码内生成的点数 100 200 300 500 700 800 900 1000 在码眼区域内生成的点数 16 15 52 85 120 136 153 170 （结果保留小数点后三位） 0.160 0.175 0.173 0.170 0.171 0.170 0.170 0.170 3、 解答题 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 7．（24-25九年级上·福建三明·期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a                          (1)上表中的__________，__________． (2)“摸到白球的”的概率的估计值是__________；（精确到）； (3)若袋中有18个白球，计算袋中（除白球外）其它颜色的球的个数． 地 城 考点06 利用概率计算随机事件发生的平均次数 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为 次． 三、解答题 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）为提高工作效率，某校图书馆计划购买自助还书机供全校500名学生使用．某供货商提供了甲、乙两种型号的自助还书机各一台给该校图书馆试用．试用期间，图书管理员小梧对每台还书机各随机抽取了60名当次还书数量相同的学生，调查他们还书所用的时间，统计结果如表所示．小梧在调查过程中发现，两台自助还书机有时会出现卡顿、识别错误等故障，在没有遇到故障的情况下，学生还书所用的时间不超过55秒，但遇到故障时就会超过55秒． 还书所用的时间/秒 甲自助还书机 使用人数 乙自助还书机 使用人数 8 16 26 19 20 11 1 9 4 3 1 2 (1)求试用期间使用甲自助还书机的这60名学生还书所用的时间的平均数； (2)根据表二数据，学校图书馆购买哪种型号的自助还书机更合适？请说明理由． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率初步 6大高频考点概览 考点01 利用概率公式求概率 考点02 已知概率求数量 考点03 几何概率 考点04 树状图或列表法求概率 考点05 用频率估算概率 考点06 利用概率计算随机事件发生的平均次数 地 城 考点01 利用概率公式求概率 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）从6男和4女的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式求概率；解题的关键是熟练掌握概率公式．根据概率公式求解即可． 【详解】解：从6男和4女的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为女生的概率为：， 故选：C． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了六张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”“雨水”和“惊蛰”各两张，每张邮票形状、大小都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率的计算，掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”结果有2种，由概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”结果有2种， ∴从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；（必然事件）；（不可能事件）是解题的关键． 根据题意可得掷得面朝上的点数为奇数可能有3种情况，再根据概率公式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：掷得面朝上的点数为奇数可能有3种情况， 掷得面朝上的点数为奇数的概率是． 故答案为：． 3、 解答题 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 m 0.25 0.2 0.1 注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 (1)已知第三类电影获得好评的有45部，则 ． (2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率． (3)在（1）的条件下电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大？ (4)设一到六类电影的票价依次为60元，50元，40元，30元，20元，10元，未获好评的电影的上座率均相同．获好评的六类电影的上座率依次会加，，，，，，在（3）的条件下，试说明总票房是否增加？ 【答案】(1)0.15 (2) (3)第五类好评率增加0.1，第二类好评率减少0.1，就可以使总的好评率得到最大 (4)票房增加．说明见详解 【分析】本题考查概率的计算，理解题意，正确使用概率计算公式 是求解本题的关键， （1）根据所有好评率的定义计算 好评率等于好评的电影数除以对应的电影总数即可． （2）根据古典概型公式计算． （3）只需使好评电影部数增加最大即可 （4）分别计算改变投资前后的票房，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （2）根据题意：， （3）只需部数最多的那类好评率增加0.1，部数最少的那类好评率减少0.1，就可以使总的好评率达到最大， ∴第五类好评率增加0.1，第二类好评率减少0.1，就可以使总的好评率得到最大， （4）设未获好评电影的上座率为x，只需计算第二类和第五类电影的票房即可． 未改变投资策略前，第二类和第五类电影票房的和为∶ （元） 改变投资策略前，第二类和第五类电影票房的和为∶ （元） ∵ ∴票房增加． 地 城 考点02 已知概率求数量 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如果再往盒中放进3颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（  ） A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗 【答案】A 【分析】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，关键是得到两个关于概率的方程．先根据白色棋子的概率是，得到一个方程，再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，再得到一个方程，求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴原来盒里有白色棋子2颗． 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）一只不透明的盒子中装有12支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在左右，则估计盒子中蓝笔的数量为（   ）． A．20支 B．12支 C．10支 D．8支 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设盒子中蓝笔有x支，根据题意可知从盒子中随机摸出一支黑笔的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设盒子中蓝笔有x支， ∵通过多次重复试验发现摸出黑笔的频率稳定在， ∴从盒子中随机摸出一支黑笔的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴盒子中蓝笔有支． 故选：D 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．设涂上红色的小扇形的个数为个，根据概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设涂上红色的小扇形的个数为个， 由题意得：， 解得， 所以涂上红色的小扇形的个数为3个， 故选：C． 2、 填空题 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）一只盒子中有红球10个，白球6个，黑球a个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得“红球”的概率与“不是红球”的概率相同，那么a的值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了概率的应用，根据题意得到红球的数量等于白球加黑球的数量，然后列方程求解即可． 【详解】解：∵从中任取一个球，取得是红球的概率与不是红球的概率相同， ∴， 解得． 故答案为：4． 5．（24-25九年级上·福建厦门·期末）在一个不透明的袋子中，装有除颜色外都相同的小球10个，现知道抽得红色小球的概率为，则袋中红色小球有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了概率公式的应用，如果一个事件有n种可能、其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：6． 三、解答题 6．（24-25九年级上·福建宁德·期末）某商场为了吸引顾客，设置了摸球有奖游戏，顾客消费满100元，就能获得一次摸球的机会． 游戏规则：一个不透明的盒子中装有除颜色外都相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球1个，黄球2个，白球5个．随机摸出一个球，摸到红球、黄球、白球分别可以获得一、二、三等奖． (1)顾客摸一次球，求获得一等奖的概率； (2)商场准备将获得二等奖的概率提高到，同时适当降低获得一等奖的概率，那么应该往盒子里最少添加多少个何种颜色的球？ 【答案】(1) (2)应该加入1个黄球和1个白球 【分析】本题主要考查了根据概率公式进行计算，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据获得二等奖的概率提高到，同时适当降低获得一等奖的概率，进行解答即可． 【详解】（1）解：顾客摸一次球，获得一等奖的概率为． （2）解：∵获得二等奖的概率提高到， ∴至少需要增加2个球，且其中1个是黄球， 又∵要降低获得一等奖的概率， ∴添加的另一个球是白球， 此时球的总数为， 获得二等奖的概率为， 获得一等奖的概率为：， ∵， ∴符合题意． 综上所述：应该加入1个黄球和1个白球． 7．（24-25九年级上·福建三明·期末）在一个不透明的盒子里只装有红、白、黑三种颜色的球，每个球除颜色外完全相同，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是 (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)能否通过只改变盒子里其中一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，写出一种可行的方案；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能；将盒子中的白球拿出3个（答案不唯一） 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键． （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）由题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴盒子中球的总数为：（个）， ∴盒子中黑球的个数为：（个）； ∴任意摸出一个球是黑球的概率为：； （2）解：∵任意摸出一个球是红球的概率为 ∴盒子中球的总量为：， ∴可以将盒子中的白球拿出3个． 地 城 考点03 几何概率 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，三条中线把三角形分成6个面积相等的区域，一个小球在三角形上自由地滚动，最后停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据概率公式计算概率，结合图形求解是解题关键. 【详解】解：∵三条中线把三角形分成6个面积相等的区域，且阴影部分占2个相等的区域， ∴一个小球在三角形上自由地滚动，最后停留在阴影部分的概率是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小鹏制作了一个如图所示的靶盘，其中点，分别是边长为的正方形靶盘相邻两边的中点，小鹏随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概率的求法，熟知几何概率所求阴影区域的概率是三角形的面积与正方形的面积比是解答的关键． 【详解】∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 阴影部分面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率为， 故选D． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图是由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（分隔线忽略不计），则蚂蚁停留在阴影区域内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 由图可得该正方形由4块一模一样的直角三角形组成，其中阴影区域由2个一模一样的直角三角形组成，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，蚂蚁停留在阴影区域内的概率是， 故选：D． 2、 填空题 4．（24-25九年级上·福建南平·期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每块方砖的边长为1，这个图形的总面积为9，白色方砖的面积为5，因此白色方砖占整体的， 所以小球最终停留在白色方砖上的概率是， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是几何概率，解题关键是理解飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 根据几何概率的定义：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 【详解】解：总面积为， 其中阴影部分的面积为， 飞镖停留在阴影部分的概率是． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）张老师把边长为4的正方形厚纸板分成七部分，如图1所示，然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大长方形中拼出如图2所示的图案，如果小球在如图2所示的大长方形中自由地滚动，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何的概率，关键在利用七巧板的性质进行正方形面积的求解． 分别求出图1和图2的面积，即可得出A的面积B的面积，进而可求出图2的面积和阴影部分的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：七巧板的面积之和边长为4的正方形面积， ∵图1为正方形， ∴①的面积②的面积， ∴A的面积B的面积， 则阴影区域的面积为：A的面积B的面积，图2的面积， ∴最终停留在阴影区域的概率， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． （1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？ （2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元． 【答案】（1），，；（2）210元或240元 【分析】（1）由圆盘可知，七折圆心角为30°，八折圆心角为60°，九折圆心角为90°，利用它们所占圆的百分比即可算出概率； （2）对于实际花费的168元进行三种情况的计算，即可得到答案． 【详解】（1）获得九折的概率为 获得八折的概率为， 获得七折的概率为， （2）∵ ∴他没有获得九折优惠． ∵ ∴ ， ∵ ∴ 答：他消费所购物品的原价应为210元或240元． 【点睛】本题考查了用扇形统计图计算概率，解题的关键是掌握概率的计算，以及实际问题的应用情况． 地 城 考点04 树状图或列表法求概率 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）泉州是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程． 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是 （   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【详解】解：回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b， 画树状图如图：    共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个， ∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为； 故选：C． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时，是女性；当染色体为时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，若李红妈妈又怀上了一个胎儿，则该胎儿是女孩的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查画树状图或列表法求概念，画树状图，求得有4种等可能的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩（）的有2种， ∴P（该小孩为女孩）． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）现有两枚质地均匀的骰子，记第一枚骰子所掷的点数为，记第二枚骰子所掷的点数为的方式来确定点，则掷出两枚骰子所确定的点落在直线上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用列表法求概率，根据题意用表格表示出点的所有坐标，找出点落在直线上的坐标个数，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：用列表法表示出点的坐标如下： 总共有36个坐标，其中点落在直线上的有、、、、、共6个坐标， 点落在直线上的概率为， 故答案为：． 3、 解答题 4．（24-25九年级上·福建莆田·期末）2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想驶向星辰大海”为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同． (1)求甲同学参加A赛道的概率； (2)求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）直接利用概率公式解答即可； （2）通过画树状图法得出所有等可能的结果数和甲、乙两名同学至少有一人参加A赛道的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得甲同学可能被安排赛道共有4个，分别为A，B，C，D， 并且甲同学被安排到每个赛道的可能性相等， 因此甲同学参加A赛道的概率是． （2）解：根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图（表），可以看出甲，乙两名同学分别被安排赛道，可能出现的结果共有16种，且这些结果出现的可能性相等． 其中他们至少有一个人被安排到赛道的结果有7种． 甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率是． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． A．铁钉生锈            B．滴水成冰 C．矿石粉碎            D．牛奶变质 (1)小丽从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是_______． (2)小华从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法，求小华抽取的两张卡片内容均为物理变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式，列表法（画树状图法）求概率，对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），列出表格表示所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：一共有4张卡片，从中随机抽取一张是B卡片的概率是． 故答案为：； （2）解：列表： A B C D A B C D A和D是化学变化，B和C是物理变化， 一共有12种等可能出现的结果，符合条件的有2种， 所以抽取两张卡片均是物理变化的概率是． 6．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b． (1)先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率： (2)若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由．如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析；将标有数字1的小球改成4，理由见解析 【分析】本题考查的是概率的应用—游戏公平性的判断，熟练掌握概率的计算公式：概率所求情况数总情况数，并通过计算每个参与者获胜的概率是否相等来判定游戏公平性是解题的关键． （1）画出列表法列出所有可能，得到12种等可能的情况，两个数的差为0的情况占3种，依据概率公式计算即可得出结果； （2）利用概率公式分别计算甲、乙获胜的概率，再判断概率是否相等，相等即公平，否则不公平，将标有数字1的小球改成4，同理即可得到一个公平的游戏． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为0的情况占3种， P（两个数的差为0）． 答：这两个数的差为0的概率为． （2）解：这样的规则不公平，理由如下： 两个数的差为非负数的情况有9种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则不公平； 将标有数字1的小球改成4， 列表如下： 1 2 3 4 4 0 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为非负数的情况有6种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则就公平了． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）一个不透明的纸箱里有三张完全相同的卡片，它们上面分别写着，小丽从中抽取一张，看完数后，把卡片放回，搅匀，然后小明再从中抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)同学小颖帮他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积为有理数，则小丽获胜：否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，对小丽有利．理由见解析 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可求得答案； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可，若不相等，则不公平，概率大的则有利． 【详解】（1）依题意得：P（小丽取出的卡片恰好是）； （2）列表如下： 小丽小明 从表格中可以看出共有9个等可能的结果，而数字之积为有理数有5个 ∴P（小丽获胜），P（小明获胜） ， ∴对小丽有利． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有数字4、5、6、，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表： 摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450 “和为10”出现的频数 2 10 24 37 58 82 110 150 “和为10”出现的频率 0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概率是______； (2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，那么的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取8，请写出一个符合要求的值． 【答案】(1) (2)详情见解析 【分析】本题考查了概率的应用，运用列表法或树状图求概率即可． 【详解】（1）由表中数据可得，出现“和为10”的频率稳定在左右，所以估计出现“和为10”的概率是； （2）假设x的值可以取8，列表如下： 乙       甲 4 5 6 8 4 × 9 10 12 5 9 × 11 13 6 10 11 × 14 8 12 13 14 × 当，摸出的这两个小球上数字之和为11的概率为， 如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，x的值不可以取8； 乙       甲 4 5 6 x 4 × 9 10 5 9 × 11 6 10 11 × x × 由上表可知一共有12种等可能结果，要想数字之和为11的概率是，就要出现4次数字之和为11的结果， x的值可以为7． 9．（24-25九年级上·福建福州·期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)小明获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数，m，n都是方程的解的结果有4个，m，n都不是方程的解的结果有2个，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：树状图如图所示： 所有可能的结果有 共种结果； （2）小明获胜的概率大， 理由：∵m，n都是方程的解， ∴，或， 由树状图得：共有个等可能的结果，m，n都是方程的解的结果有4个（包括和两种情况），m，n都不是方程的解的结果有2个（包括与）， 小明获胜的概率为，小利获胜的概率为， ∴小明获胜的概率大． 地 城 考点05 用频率估算概率 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（   ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 【答案】A 【分析】利用简单地概率公式，求得各色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在，比较解答即可． 本题考查了频率估计概率，简单地概率公式应用，熟练掌握公式，理解频率估计概率意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 故，， ，， 根据图象，得该球频率稳定在， 故其概率约为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，折线统计图．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在0.90附近， ∴可估计这种树苗移植成活的概率约是0.90， 故选：B． 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建三明·期末）一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算的n值是 ． 【答案】33 【分析】直接利用频率估计概率，进而得出关于n的等式求出答案． 【详解】由题意可得：， 解得：n＝33， 经检验，n=33是原方程的解. 故答案为：33． 【点睛】此题主要考查了用频率估计概率，正确得出关于n的等式是解题关键． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 用频率估计概率的方法计算即可． 【详解】解：由题意得针与直线相交的概率为， 由此估计的近似值为， 故答案为：，． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如下表所示，则估计“一个点生成在码眼区域”的概率是 （精确到0.01）． 在二维码内生成的点数 100 200 300 500 700 800 900 1000 在码眼区域内生成的点数 16 15 52 85 120 136 153 170 （结果保留小数点后三位） 0.160 0.175 0.173 0.170 0.171 0.170 0.170 0.170 【答案】0.17 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“一个点生成在码眼区域”的频率逐渐稳定到0.17附近， ∴估计“一个点生成在码眼区域”的概率为0.17， 故答案为：0.17． 3、 解答题 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 【答案】(1) (2)①15元；②公司应将前台工作人员裁员1人，理由见解析 【分析】本题考查了频率估计概率，概率公式，求一组数据的平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出样本中包裹件数在之间的天数，再运用概率公式列式计算，即可作答． （2）①运用求平均数的公式进行列式计算，即可作答． ②先求出每个范围的频率，再结合该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用，进行列式，求出裁员和不裁员的收入，即可作答． 【详解】（1）解：样本中包裹件数在之间的天数为， ∴概率， ∴从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率； （2）解：①结合题干的样本中快递费用及包裹件数表中的数据， 得， ∴（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元． ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件， 则，，， 公司每日揽件数情况如下： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 频率 ∴ 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 则 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） ∵ ∴公司应将前台工作人员裁员1人． 7．（24-25九年级上·福建三明·期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a                          (1)上表中的__________，__________． (2)“摸到白球的”的概率的估计值是__________；（精确到）； (3)若袋中有18个白球，计算袋中（除白球外）其它颜色的球的个数． 【答案】(1)， (2) (3)12个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，122； （2）解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； （3）解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ， 解得，， ∴除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 地 城 考点06 利用概率计算随机事件发生的平均次数 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为 次． 【答案】100 【分析】本题考查了概率的意义，先明确概率的意义，再用总试验次数乘以事件A发生的概率，即可得到平均每100次发生的次数． 【详解】解：∵事件A发生的概率为， ∴大量重复做这种试验事件A平均每1000次发生的次数是． 故答案为：100． 三、解答题 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）为提高工作效率，某校图书馆计划购买自助还书机供全校500名学生使用．某供货商提供了甲、乙两种型号的自助还书机各一台给该校图书馆试用．试用期间，图书管理员小梧对每台还书机各随机抽取了60名当次还书数量相同的学生，调查他们还书所用的时间，统计结果如表所示．小梧在调查过程中发现，两台自助还书机有时会出现卡顿、识别错误等故障，在没有遇到故障的情况下，学生还书所用的时间不超过55秒，但遇到故障时就会超过55秒． 还书所用的时间/秒 甲自助还书机 使用人数 乙自助还书机 使用人数 8 16 26 19 20 11 1 9 4 3 1 2 (1)求试用期间使用甲自助还书机的这60名学生还书所用的时间的平均数； (2)根据表二数据，学校图书馆购买哪种型号的自助还书机更合适？请说明理由． 【答案】(1)45秒 (2)选择甲自助还书机更合适，见解析 【分析】本题考查了求平均数，求概率等问题； （1）取范围内的中间值来近似计算平均数； （2）通过还书的平均时间及故障率来进行决策． 【详解】（1）解：根据表一，使用甲自助还书机的60人还书的平均时间为： （秒）． （2）由（1）可知，使用甲自助还书机的60人还书的平均时间为45秒． 根据表一，使用乙自助还书机的60人还书的平均时间为： （秒） 根据表二可知，使用甲、乙自助还书机的各60人出现故障的概率分别为，． 根据上述数据，可以估计： 该校学生使用甲、乙自助还书机还书的平均时间分别为45秒、45秒，而甲、乙自助还书机出现故障的概率分别为，，． 考虑到甲、乙自助还书机还书的平均时间相等，而使用甲自助还书机出现故障的概率相对较小，因此，学校图书馆选择甲自助还书机更合适． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 【答案】（1）；（2）2台，理由见解析． 【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先分别计算各段年入流量的概率，再根据概率计算安装2台发电机和3台发电机对应的年利润的加权平均数，比较之，则可得出答案． 【详解】（1）年入流量不低于120的年数为:， 总的年数为50年． 年入流量不低于120的概率为：． （2）根据题意，能安装2台发电机对应的年入流量为不低于80， 年入流量低于的概率为：，只能运行1台发电机； 年入流量不低于80的概率为：，能2台发电机都运行； 安装2台发电机时的利润为：万元． 能安装3台发电机对应的年入流量为不低于120，由（1）可知：，只能运行1台发电机， 当年入流量时，，只能运行2台发电机； 当年入流量时，，能运行3台发电机， 安装3台发电机时的利润为： 万元， 因为，故安装2台发电机． 【点睛】本题考查了概率的计算，将概率当做权数计算平均数，计算出各段的概率是解题的关键． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 【答案】（1）10；35；（2）；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8，甲好． 【分析】（1）根据题意可求a+b=45，由的估计值为0.70，则解方程求出b，再求a即可； （2）根据样例给定的方法求即可； （3）由甲离子中位数5.96.3，甲离子众数6.06.3，从甲离子方差看甲离子方差1.381.8做决策即可． 【详解】解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45， 因为的估计值为0.70， 则， 解得b=35，a=45-b=45-35=10， 故答案为：10；35； （2）； （3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8说明甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好． 【点睛】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数据，平均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $