数列求和 课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习 课时作业：数列求和 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为 A． B． C． D． 2．数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（　　） A．3690 B．3660 C．1845 D．1830 3．已知数列的前项和满足:,且,那么 A．1 B．9 C．10 D．55 4．数列的前项和为，若，则等于 A．1 B． C． D． 5．若数列的通项公式是，则（     ） A． B． C． D． 6．在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 7．已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（   ） A． B． C． D． 10．已知正项数列满足为数列的前项和，则（　　） A．数列为递增数列 B． C． D． 11．记为数列的前项和，若，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．存在数列，使得 D．存在数列，使得 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 13．已知是等差数列的前n项和，若，，则数列的前2026项和为 . 14．已知数列满足，且数列的前项和为，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列为等差数列，且，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（15分）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为.求证：. 17．（15分）在数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．（17分）已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 19．（17分）已知数列的前项和为，，且 . (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前项的积为，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：数列求和 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.已知等差数列{an}的前n项和为S,a,=5,S,=15,则数列 1的前100项和为 ad 100 99 101 A·101 C.100 D:100 2.数列{an}满足an+1+(-1)an=2n-1,则{am}的前60项和为( ) A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 3.已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Snm,且a,=1,那么ao= A.1 B.9 C.10 D.55 1 4.数列a}的前”项和为S,若an十D,则8等于 A.1 R名 c. 6 D,30 1 5.若数列{a}的通项公式是a=（-1)(3n-2),则a+a2++4o=() A.15 B.12 C.-12 D.-15 6.在等比数列{a}中，4+4，=2+4W2,a,+4,=16+4√2，若不等式 log24-log2a2+log2a,-1og2a4+…+(-1yl0g29>1成立，则n的最小值为() A.24 B.25 C.26 D.27 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,a=a,42=2-a,a42=2an,则S2n=(） A.21-2 B.a(2”+-2) C.22m-2 D.a(22-2） 8.已知数列a}满是4=3,8，=2,6=（←1+1） 若数列{b}的前n项和为T.,不等式 父<专4G-52aeN)恒成立，则天的取值范国为（) D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.数列{a}满足a+a1=(-l)(n∈N),且a=-3,数列{a}的前n项和为Sn,从{a}的前2n项中任取两项， 它们的和为奇数的概率为卫，数列{P}的前项积为I,则() A.a2=14 B.S0=-5 c.卫>a> D. 1 10.己知正项数列{a}满足0<4<1，a1=G+2,S为数列 d 的前n项和，则() A.数列{a}为递增数列 B.4>8 D.S>n n+1 11.记Sn为数列{a}的前n项和，若S=n,则() A.a+a,++a的最小值为n B.a+a++a的最大值为n2 C.存在数列{a},使得a+a+a+4,+4,=0 D.存在数列{a},使得4+a,+4+a+a+a=30 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 1 12.己知递增等比数列{a}前n项和为Sn,且42=8，S,=42,则数列 的前10项和为 log,a·log2anH 13.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a=5,S,=16,则数列 】_的前2026项和为 aa 14.己知数列{a}满足a+2%+…+2”-a.=n·2”，且数列 1 的前n项和为Sn,则S。= a2·a+1 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)己知数列{an}为等差数列，且a2=64=10,数列b}满足b=4,b+1=2bn(n∈N) (1)求数列{a}和b}的通项公式： (2)设cn=abn,求数列{cn}的前n项和T. 16.(15分)己知数列{a}的首项4=6，且满足a1+2m1=4a. (1)求证：{a-2}是等比数列： (2)求数列{a}的前n项和Sn: 6)令b,- a十2，数列私，}的前项和为求证：， 1.(15分》在数别a中，4=片aaa,8=0 (1)证明数列 令 是等差数列，并求{a}的通项公式： (2)若b.=ana+1,求数列{b.}的前n项和Sn 18.(17分)己知数列{a}满足a4+1=3an+2,且4=1. (1)证明：数列{4+2}为等比数列，并求出{a}的通项公式： (2)设6，=、 a+2，求数列和，}的前n项和工， 19.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,4=2,且a1=Sn+2(n∈N) (1)求数列{a}的通项公式： (2)设6=2-1 求数列bn}的前n项和T.; 同设6号4，数列}的前”项的期为Q,求正：2<e 2026届高考数学一轮复习 课时作业：数列求和 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15，∴⇒⇒an＝n. ∴＝＝，S100＝＋＋…＋＝1－＝. 2．数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（　　） A．3690 B．3660 C．1845 D．1830 【答案】D 【详解】由于数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5， a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97． 从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2， 从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． {an}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，故选D． 3．已知数列的前项和满足:,且,那么 A．1 B．9 C．10 D．55 【答案】A 【详解】 4．数列的前项和为，若，则等于 A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】化简，利用裂项相消法可得结果. 【详解】因为，所以，故选B． 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 5．若数列的通项公式是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据通项公式求出前十项，由此求得前十项的和. 【详解】由于，故.故选A. 6．在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【分析】先由等比数列的性质确定的通项，再令，分为偶数和大于2的奇数求解即可. 【详解】设的公比为，记， 由，得， 所以. 令，则. 当为偶数时，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由19，解得， 又为奇数，所以的最小值为27. 故选：D. 7．已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得、，再借助等比数列求和公式计算即可得. 【详解】由，则， 由，则，故， 则、、， 则.故选：A. 8．已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得数列的通项公式，进而可得，进而分为偶数与奇数两种情况求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为数列满足，，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 因为不等式恒成立，即， 所以，所以，， 所以解得，所以的取值范围为. 故选：D 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，可求出，由可得，两式相减可得，从而得到的奇数项和偶数项均为等差数列，由等差数列的通项公式可判断A；分别对的奇数项和偶数项求和可判断B（或相邻两项求和也可）；由古典概型的概率计算公式可判断C（或直接计算也可）；由数列放缩可判断D. 【分析】对于A，当时，，又，， 又，，， 的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列， ，故A正确； 对于B，， 故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当，时，，又，，故D正确. 故选：ACD. 10．已知正项数列满足为数列的前项和，则（　　） A．数列为递增数列 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由可判断，对于B，由得到，即可判断，对于C，由和当时， 得到，即可；对于D，由，裂项相消求和即可. 【详解】对于A，由，得，所以，即，递增数列，A正确； 对于B，由，得， 即，又，则，所以，B错误； 对于C，由于，当时，，当时，，当时，先证，即证， 由于，所以，即， 综上：，C正确，对于D，由，得， 所以，D正确，故选：ACD 11．记为数列的前项和，若，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．存在数列，使得 D．存在数列，使得 【答案】ABD 【分析】先求，再利用求，根据逐项验证即可判断. 【详解】由，当时，，当时，， 所以或， 对于A：当时，的最小值为，故A正确； 对于B：当时，， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：由题意有为奇数，当时，，， 由与的奇偶性相同，同理与的奇偶性相同，又与的奇偶性相反， 所以与的奇偶性也相反，所以为奇数，所以数列中每项均为奇数， 所以为5个奇数之和必为奇数不等于0， 所以不存在数列，使得，故C错误； 对于D：存在数列，， 且，故D正确；故选：ABD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，求出和，即可得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】由于，则， 解得或，因为等比数列为递增数列，，所以。所以，故. 因为，所以. 故答案为： 13．已知是等差数列的前n项和，若，，则数列的前2026项和为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到，得到，结合裂项相消法求和，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，可得，解得， 所以，则， 所以数列的前n项和为， 所以数列的前2026项和为.故答案为：. 14．已知数列满足，且数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】应用得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】若，则； 若，则.所以，，即. 又也满足，所以.由于， 所以.故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列为等差数列，且，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出的通项公式，由等比数列定义求出的通项公式； （2）利用错位相减求和可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得， 解得.所以.由数列满足，得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以； （2）由（1），得，则， 则，两式作差，得 所以. 16．（15分）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为.求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设易得，即可得证； （2）由（1）可得，进而根据等比数列的求和公式分组求和即可； （3）由题设可得，即可证明，分析可得，即证，再结合数学归纳法证得，即可得到，当且仅当时取等，进而求证即可. 【详解】（1）由，则， 又，所以数列是以4为首项4为公比的等比数列. （2）由（1）知，，则，所以 . （3）由，则，由于，则，所以. 由，则，要证，即证， 由，则，则， 下面证明，当时，，即； 假设，，时，， 则时， .综上所述，，则， 所以， 则，当且仅当时取等，则，即.综上所述，. 17．（15分）在数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题中递推数列化简为，从而可求解. （2）由（1）结论可得，再利用裂项相消求和从而可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以.         因为，所以，则数列是首项为2，公差为1的等差数列，         从而，故. （2）由（1）可知，则，         故 . 18．（17分）已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题意求出，代入计算为常数，所以数列为等比数列，根据等比数列通项公式求出通项公式，减去便可得到的通项公式. （2）将的通项公式代入，求出数列的通项公式，利用错位相减法求出. 【详解】（1）（1）因为，所以， 又，所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）知，所以，所以， 则，两式相减得 ，所以. 19．（17分）已知数列的前项和为，，且 . (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前项的积为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系可得数列的递推式，从而可得数列是等比数列，由等比数列的通项公式求解即可； （2）利用错位相加求和法求解即可； （3）分析可知要证，即证，令，利用导数推出，从而得证． 【详解】（1）因为数列满足，所以时，得， 两式相减，得，即， 因为，，则所以， 所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以； （2）由（1）得，，， 两式相减得 解得； （3）由（1）得, 则，所以 要证，只需证，即证， 令，则，所以在上单调递减， 所以，所以，所以， 所以得证． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：数列求和 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.己知等差数列{a}的前n项和为S,a,=5,S,=15,则数列 1 的前100项和为 aa 100 99 99 101 A.101 B. C. D. 101 100 100 【答案】A 【详解】设等差数列{a}的首项为a1,公差为d. a+4d=5 a=1 a=5,8s=15,{52+5x4d=15d=19a=n 5a+ 2 a女a4台六s)6动品威-忘器 2.数列{an}满足an+1+(-1)"an=2n-1,则{an}的前60项和为() A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 【答案】D 【详解】由于数列{an}满足a+1+（-1)a=2n-1,故有a2-a1=1,a+a2=3,a4-a=5, a5+a4-7,a6-as-9,a7+a6-11,…as0-a49-97. 从而可得a+a1=2,a4+a2=8,a+as=2,as+a6-24,a9+a1-2,a12+a10-40,a13+a1-2,a16+a14-56, 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2， 从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列. {a}的前60项和为152+(15×8+15X14×16)1830,故选D. 2 3.己知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Snm,且a=1,那么ao= A.1 B.9 C.10 D.55 【答案】A 【详解】S2=4+a2=2S,∴.4，=1 S3=S+S2=3,4=1 .'S4=S1+S3=4,.4=1 …40=1 4.数列{a}的前n项和为Sn,若a:= n(n+1),则S等于 1 A.1 B. 1 6 C. D. 6 30 【答案】B 111 【分析】化简a.= (n+1)nn+1' 利用裂项相消法可得结果， 【样1为a-所以-0日动G目g-16施n 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据 1111 式子的结构特点，常见的裂项技巧：(0m+月元n+k:(2) )(a) 1 1 111） 3 (21-1)-(2”-）11 (2m-12+2n2n1:4(-102m-可2-j02-寸2-12此外，需注意裂项 之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 5.若数列{a}的通项公式是a=(-1)(3n-2),则4+4+.+a。=（ A.15 B.12 C.-12 D.-15 【答案】A 【分析】根据通项公式求出前十项，由此求得前十项的和. 【详解】由于a.=(-1)“(3n-2),故 4+4+.+4。=(-1)+(4)+(-7)+(10)+(-13)+(16)+(-19)+(22)+(-25)+(28)=3+3+3+3+3=15.故选A. 6.在等比数列{a}中，4+4，=2+4W2,4,+4,=16+4v2,若不等式 1og24-log242+log,a-1og2a4+…+(-1yl0g24>1成立，则n的最小值为() A.24 B.25 C.26 D.27 【答案】D 【分析】先由等比数列的性质确定{a}的通项，再令b,=(1)+1og24.,分n为偶数和大于2的奇数求解S.即可. 【详解】设{a}的公比为9，记Sn=log24-log24+log24-1og244++(-1)1og24., 由4+4=2+45,4+4=16+4W5,得g=+g-16+45-25,=2, 4+422+4W2 3-1 所以a,=2x(22)-1=22: 令b=(1)1og,4,则6=（←1)3m-」 2 当务A+内号号元g锅 2 2 当m为大于2的奇数时b,+b=-30n-1)-L3m-13, 2 22 3n-1、 由Sn=b+(b+b)+(b,+b)+.+(bn-1+bn)=1+5× 22 >19，解得n>25, 又n为奇数，所以n的最小值为27. 故选：D. 7.已知数列{a}的前n项和为Sn,4=a,4=2-aa+2=2a,则Sm=（) A.21-2 B.a(21-2） C.22m-2 D.a(22"-2） 【答案】A 【分析】由题意可得a+a=2、a3+a2=2(a1+an),再借助等比数列求和公式计算即可得. 【详解】由4=a,4=2-a,则4+42=a+2-a=2, 由a+2=2a,则a+3=2a+1,故a43+a+2=2(a1+ai), 则a,+4,=2(4,+4)=2、a+a,=2、4m+44=2”, 则3=4+a,++4+0=2+2+2++2-20-2）-2州-2放选：A 1-2 8.已知数列a}满足a=3,am-a=2,6,=(←1)仁+1】 若数列{b}的前项和为T.,不等式 aa 工<等40-52ueN)恒成立，则2的取值范园为（) B. D. 【答案】D 【分析】先求得数列{a,}的通项公式，进而可得b,=(-1) 进而分n为偶数与奇数两种情况求得 亿.·进而可物名85AaeN）.求解助可 【详解】因为数列{a}满足a=3，a1-a.=2,所以数列{an}是以4=3为首项，2为公差的等差数列， 所以a.=3+2(n-1)=2n+1, 当n为偶数时， -传传传22 11111 (11+ 当为商数，工信)传)得司号《2品2)小2计是 (1+1-1+1<8 因为不等式7<号46-52ueN)恒成立，即(gs<号AB-5uEN), 商8含205AueN).所以号205a动，252-15A+2=(5a-5A-2小0， 所以解得时水子所以4销取值范围为传引 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.数列{a}满足a,+a1=(-1)(∈N),且a=-3,数列{a}的前n项和为S,从{a}的前2项中任取两项， 它们的和为奇数的概率为n,数列{P}的前n项积为T,则() A.a2=14 B.S10=-5 c.R>>1) 2 D.T s n 2 【答案】ACD 【详解】当n=1时，可求出a=4,由a,+a1=（-1)可得a1+a2=(-1)*,两式相减可得a2-a=-2×(-1, 从而得到{a}的奇数项和偶数项均为等差数列，由等差数列的通项公式可判断A:分别对{a}的奇数项和偶数项求 和可判断B(或相邻两项求和也可)：由古典概型的概率计算公式可判断C(或直接计算？也可)：由数列放缩可判 断D 【分析】对于A,当n=1时，4+a=1,又a=-3,.a2=4, 又a,+aH=(-1)(neN),a1+a2=(-1)，∴a2-a.=(-1)+2-(-1)=-2x(-1), “{}的奇数项所成的数列是首项为-3，公差为-2的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数 列， .A2=42+5×2=14,故A正确： 对于B,S=(a+a++aHa+4,+40E-3x5+2x2列+4×5+x2=5 2 故B错误； 对于c,P=Ccr ,1>1 n(2n-1)2n-12-I2,故c正确： _123.n123n n! 对FD,当n22,neN时，Z5行2ni142产22-2”，又7-1= 21, 故D正确 故选：ACD. 10.己知正项数列{a}满足0<4<1，a+1=G+24,Sn为数列 的前n项和，则() A.数列{a}为递增数列 B.4>8 C. n D.S> n+1 【答案】ACD 【分析】对于A,由G1-a=2a>0可判断，对于B,由d=(a+1)2-1<(a+1)得到a1<a+1,即可判断， 对于c由n-1-当时。n8到传】 1.1、1 ,即可：对于D,由元>>nn+’ 裂项相消 求和即可. 【详解】对于A,由G1=d+2a,得a1-a=2a.>0,所以1>a,即a1>a,递增数列，A正确： 对于B,由a1=4+2a,得a1=G+2an+1-1=(a.+1)-1<(a.+1), 即a1<a.+1,又0<a<1,则a<a-1+1<am-2+2<<a+n-1<n,所以a<8,B错误； 对于C,由于a<m,当n=1时，1>1= 于-+1-ec1+c=c+enmu日即传 ,neN,>2, 11 111 综上： 。MeN,C正确：对于D,由a<,得。>证>+中 11.记S为数列{an}的前n项和，若S=n,则() A.a+a++a的最小值为n B.a+a++la的最大值为n2 C.存在数列{a},使得a+a+4+a,+4,=0 D.存在数列{a},使得a+la+a+a+a+a。=30 【答案】ABD 【分析】先求Sn,再利用a=Sn-Sn1(n≥2)求a.,根据a,逐项验证即可判断. 【详解】由S=n→S。=±n,当n=1时，a=S=±1，当n≥2时，a=S。-S1=(±m)-[±(n-1], 所以an=±1或a.=±(2n-1), 对于A:当a=±1时，4+a2++a的最小值为n,故A正确： 对于B:当a.=±(21-1)时，a+a2++a=1+3+5++(2n-1)=n2, 所以a+a,++a的最大值为n2,故B正确： 对于C:由题意有a=S=士1为奇数，当n≥2时，S。=n,Sn1=±(n-1), 由Sn与n的奇偶性相同，同理Sn1与n-l的奇偶性相同，又n与n-1的奇偶性相反， 所以S与Sn-1的奇偶性也相反，所以a,=Sn-Sn1为奇数，所以数列{an}中每项均为奇数， 所以4+4+a,+4+4为5个奇数之和必为奇数不等于0， 所以不存在数列{a},使得4+a+4+4,+a4,=0,故C错误； 对于D:存在数列{an},4=1,42=-3,4=5,4=1,a=-9,a。=11, 且a+a2+a+a+4+a=30,故D正确；故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知递增等比数列{a}前n项和为Sn,且4=8S=42,则数列 1 的前10项和为 loga,log2a 【19 【分析1根据等比数列的通项公式及前n项和公式得到方程组，求出a和g,即可得到a,从而得到1g,4og,a 1 再利用裂项相消法求和即可： 【详解】由于4=8S,-42,则8=4++4 8+8+M=42, 解得9=4或，因为等比数列{a}为递增数列，4=8>0，所以g=4。所以4=2，故a,=2×41=2 1 因为 11 og,al1og,a1(2n-10(2n+)22n-12m+1 所u-写+5动)0分》品 0 故答案为：2 13.己知Sn是等差数列{a}的前n项和，若4=5，S,=16,则数列 1的前2026项和为 aa+1 【答案】 2026 4053 【分析】根据题意，求得4-1d=2,得到a-2-1,得到，】L。 1 aa12(2n-12n+1 结合裂项相消法求和，即 可求解 a3=a+2d=5 【详解】设等差数列a}的公差为d,因为a-5,S-16,可得S-1a+6d16解得a-Ld-2, 所以a.=1+2(1n-1)=2n-1,则 1 1- 111 .a+1(21-1)(21+1)221-121+1 所以数列 1 aa,n 的前n项和为 0传+品0品 所以数列 的前2026项和 2026故答案为： 2026 aa) 4053 4053 14.己知数列{a}满足4+2%，+…+2-4.=n.2”，且数列 1 的前n项和为Sn,则So= 【1 【分析】应用a。=Sn-Sn,得出a.=n+1,再应用裂项相消法计算求解 【详解】若n=1,则a=2: 若n≥2，则a+2a+…+2"-2a1=(n-1)2.所以，2”-a=n2-(n-1)2-1=(n+1)2-,即a,=n+1. 又4=2也满足a=+1,所以a,=n+1由于aan+)0n+2)n+1n+2' 1 111 所似8日}子一立2：卫做指案品 5 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知数列{an}为等差数列，且a=6,a=10,数列bn}满足b2=a,b+1=2bn(n∈N). (1)求数列{a}和b}的通项公式： (2)设cn=ab.,求数列{cn}的前n项和Tn. 【答案】(1)a.=2n+2,bn=24 (2)Tn=1-2+2 【分析】(1)由42=6,4，=10求出{a}的通项公式，由等比数列定义求出b}的通项公式： (2)利用错位相减求和可得答案. 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d,由42=6，a,=10,得4+d=6,4+3=10, 解得a=4d=2所以a=4+0-1)d=2n+2.由数列，}满足人，=4，b4=2b.(0ueN),得b-2,6=2,所以 b. 数列b}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn=bg-1=2”: (2)由(1)，得c=a,b,=(2n+2)2”-(n+1)2H,则Tn=2×22+3×2+4×24++(n+1)x2, 则2T=2×23+3×2+4×25++(n+1)×2+2,两式作差，得-In=2×22+(23+2++2)-(1+1)×2+2 =8+ 0-2）-a+2-2,所以Z=n2 1-2 16.(15分)已知数列{a}的首项a=6,且满足a1+2m=4a. (1)求证：{a,-2“}是等比数列； (2)求数列{a}的前n项和Sa: (3)令b= 十2数列私，}的前n项和为工求证：， 【答案】(1)证明见解析 3+21、10 (②)s,=4 3 (3)证明见解析 【分析】(1)根据题设易得a1-21=4(a.-2),即可得证： (2)由(1)可得a,=4“+2”,进而根据等比数列的求和公式分组求和即可； (3)由题设可得b.<1,即可证明T.<n,分析可得工>n+ 再结合数学 归纳法证得a+2>a+2),即可得到，1 4,+285 当且仅当k=1时取等，进而求证即可. 【详解】(1)由a1+21=4a,则a1-2+1=4a.-2.21=4(a.-2”）, 又4-2=4，所以数列{a-2}是以4为首项4为公比的等比数列 （2)由)知，a-2=4,则a=4+2,所以g=4+4++4+2+25++2-41-4)2x-2】 1-4 1-2 40+ +2*110 3 3 3)由a=42,则&22由时42<+2+2，则6<1，所以虹-4-a++边<n :欧g证红)空妇 由6=42=1-2 由aH+2t1=4a，则a1+2H=4a,则a1+2=4-21+2=4(a,+2)-21-6, 下面证明a+2>a+2),当k=1时，4+2=2a+2习=20，即a+2>a+2到： 假设k=m:a≥2，aeN时：a+2>a+2到 则m*1时：+2=4a,+2)-26>15+2-2-6=4a+2-29 引a252引4a65 5 5 a,+254-1+2 m里-官旷食。 则、 a+281-2 5 T>n 2 ?综上所述，+22-<<n 3 353 1 17.(15分)在数列a}中，a=2,aa+aa=0 (1)证明数列 是等差数列，并求{a}的通项公式： a (2)若b.=a,a1,求数列{b}的前n项和S 1 【答案】(1)证明见解析，4.= n n+1 (②2n+4 【分析】(1)由题中递推数列a+14,+a-a,=0化简为。 -1=1,从而可求解。 d dn ②）由》结论可得么2再利用裂项相清求和从面可水解 11-1-1-a+111 【胖解11)因为a风+0，a=0.所以a2品1所以a。。反。日 0n+1 因为4=所以日-2，则数列 是首项为2，公差为1的等差数列， 1 从而2=2+m-1)1=n+1,故a,=》 n+1 1 11 (2)由(1)可知aH n+2则6=aa 1 (n+1)(n+2)n+1n+2' Tn+1n+2,2n+22n+4 18.(17分)已知数列{a}满足a+1=3a,+2”,且4=1. (1)证明：数列{a.+2}为等比数列，并求出{a}的通项公式： (2)设6，=” a+2,求数列私，}的前n项和7 【答案】(1)证明见解析，a.=3”-2” 32n+3 ②)T.=44-3 【分折1①》根据愿意求出a2=3a+2)代入计第为市数，所以数列红+25为等比数列，根 据等比数列通项公式求出4，+2”}通项公式，减去2”便可得到{a}的通项公式. (②)将红}的通项公式代入点2十2，求出数列化}的通项公式A,利用陆位相减法求出 【详解】(1)(1)因为a1=30,+2”,所以a1+2+1=3(a,+2"）, 又4+2=1+23=0，所以十名=3.所以数列红+2号是以3为信项，3为公比的等北数列 所以a+2”=3.3-1=3”,则a,=3”-2. 2由)知a-2=,所以=号：所似7=时子+字+ .n 30 则 1,23 1,1,1,.1n 32+33+34 +…+ 2,两式相减得乞%会3千32十3++ 3”3 n11n12+3 所以T=32+3 1 3+1223”3"+263” 44.3” 3 19.(17分)已知数列{a}的前n项和为Sn,a4=2,且a1=S。+2(neN): (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b= 2n-1 ，求数列b}的前n项和T.: a (3)设cn= n …a,数列{cn}的前n项的积为2，求证：g,<e" 2 【答案】(1)a.=2“ (2)I,-3-2n+3 2# (3)证明见解析 【分析】(1)利用a.与S的关系可得数列{a}的递推式，从而可得数列{a}是等比数列，由等比数列的通项公式 求解即可： (2)利用错位相加求和法求解即可： (3)分析可知要证Q,<e+",即证2nl+ln2+…lnm<2+n,令f(x)=hx-x(x≥1)，利用导数推出nx<x, 从而得证 【详解】(1)因为数列{a}满足a+1=S。+2，所以n≥2时，得a.=Sn-1+2, 两式相减，得a1=2a,即2=2，加≥2， a. 因为4=2,4，=8+2=4+2=4，则2=2，所以8=2，neN, a. 所以数列{a}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以a=2”: @由w62学，天会安多g 2”2， 1 两式碳时-安++层对名分日 2x0-22）2m-1132+3 11 2H2221 解得7=3-2n+3」 2；