专题1.2 集合与常用逻辑用语（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题1.2 集合与常用逻辑用语（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 元素与集合的关系】 1 【题型2 集合中元素的个数问题】 2 【题型3 集合间的基本关系】 2 【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】 2 【题型5 集合的新定义问题】 3 【题型6 充分条件与必要条件】 3 【题型7 全称量词与存在量词】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 元素与集合的关系】 1．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 集合中元素的个数问题】 5．（2024·西藏拉萨·一模）集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 7．（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26高二上·湖南·期中）集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 【题型3 集合间的基本关系】 9．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 11．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】 13．（2025·陕西西安·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·云南昆明·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·四川成都·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 16．（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【题型5 集合的新定义问题】 17．（25-26高一上·江西宜春·月考）设、是非空集合，定义且，若，，则等于（   ） A．，或 B．，或 C． D． 18．（25-26高一上·辽宁·月考）已知集合，，定义 ，则中的元素个数为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 19．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 20．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【题型6 充分条件与必要条件】 21．（2025·山东·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 22．（2025·江西·模拟预测）已知函数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型7 全称量词与存在量词】 25．（2025·云南昆明·模拟预测）已知命题，，则命题的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 27．（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在上的函数，则命题“，，”的否定为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 28．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若命题“，都有”，则命题的否定为（   ） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 4．（2025·广东江门·模拟预测）设，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．（2025·云南昭通·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·四川成都·三模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 8．（2025·云南·模拟预测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知a，b为实数，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·湖南·模拟预测）设集合，则集合中所含整数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 12．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知命题：“是的充分不必要条件”；命题：“”．则下列正确的是（    ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京丰台·二模）已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·北京·月考）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（    ） A．0 B．0， C．0， D．，0， 二、解答题 7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 8．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合与常用逻辑用语（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 元素与集合的关系】 1 【题型2 集合中元素的个数问题】 2 【题型3 集合间的基本关系】 4 【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】 5 【题型5 集合的新定义问题】 6 【题型6 充分条件与必要条件】 8 【题型7 全称量词与存在量词】 9 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 元素与集合的关系】 1．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【解答过程】由题可知且 解得. 故选：C. 2．（2025·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得. 【解答过程】由，得，则， 由，得，此时，符合题意； 或，此时，符合题意；或，则，此时，符合题意， 所以m可能取值的集合为. 故选：B. 3．（2025·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得. 【解答过程】因为且，所以，解得. 故选：A． 4．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论. 【解答过程】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 【题型2 集合中元素的个数问题】 5．（2024·西藏拉萨·一模）集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】列举法表示集合，可得解. 【解答过程】，该集合中的元素有个， 故选：B. 6．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【解题思路】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【解答过程】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D. 7．（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据集合的互异性可得出答案. 【解答过程】根据集合的互异性，， 所以集合中的元素个数为. 故选：B. 8．（25-26高二上·湖南·期中）集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】B 【解题思路】根据题意先求出，进而求出即可. 【解答过程】由题意有：，又，所以， 所以或或， 所以，所以中的元素个数为3个， 故选：B. 【题型3 集合间的基本关系】 9．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【解答过程】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或（舍）， 时，，满足题意， 故. 故选：D. 10．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 【答案】C 【解题思路】由两集合相等及分式的分母不为可求出，再利用集合相等和互异性求，代入计算即可. 【解答过程】因为，，所以，故， 此时集合为，根据集合相等，必有，解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故选：C. 11．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果. 【解答过程】因为集合， ，故， 故选：B. 12．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，列举出集合C的可能情况即可. 【解答过程】依题意，集合可以为：， 所以集合C的个数为4. 故选：D. 【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】 13．（2025·陕西西安·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由交集运算即可求解. 【解答过程】因为， 故， 故选：D. 14．（2025·云南昆明·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解不等式求得，进而求得，根据集合的并集运算，即可求得答案. 【解答过程】依题意，，，故. 故选：A. 15．（2025·四川成都·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据并集的概念求解. 【解答过程】集合，则 . 故选：A. 16．（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据交集的结果直接得出答案. 【解答过程】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B. 【题型5 集合的新定义问题】 17．（25-26高一上·江西宜春·月考）设、是非空集合，定义且，若，，则等于（   ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【解题思路】解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合. 【解答过程】解不等式，即，解得，则集合. 所以，根据集合的定义可得或. 故选：A. 18．（25-26高一上·辽宁·月考）已知集合，，定义 ，则中的元素个数为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【解题思路】先求出集合，再根据所给定义分情况讨论列出即可判断. 【解答过程】由， 而， 在集合中，和都可以取，即和都可以取， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 综上所述，，共9个元素． 故选：B． 19．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【解题思路】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【解答过程】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 故选：C. 20．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【答案】B 【解题思路】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【解答过程】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 【题型6 充分条件与必要条件】 21．（2025·山东·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】举反例可说明不充分性，根据绝对值和不等式的性质可说明必要性. 【解答过程】若，满足，但不能得到，故充分性不成立， 若，由于，故，故必要性成立， 故“”是“”的必要而不充分条件， 故选：C. 22．（2025·江西·模拟预测）已知函数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据函数解析式，求解时的值，与解方程得的值，结合充分条件与必要条件进行判断即可. 【解答过程】若，则，反之，若，则或. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 23．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【解答过程】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A. 24．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【解答过程】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【题型7 全称量词与存在量词】 25．（2025·云南昆明·模拟预测）已知命题，，则命题的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解. 【解答过程】“，”的否定是“，”. 故选：B. 26．（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解题思路】根据不等式的解法，可判定命题为假命题，再由方程的解，可判定命题为真命题，结合选项，即可求解. 【解答过程】由不等式，可得或，解得或， 所以命题为假命题，则为真命题， 又由，解得或或，所以命题为真命题，则为假命题， 故选：B. 27．（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在上的函数，则命题“，，”的否定为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【解答过程】命题“，，”为存在量词命题， 则其否定为：，，. 故选：D. 28．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围. 【解答过程】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即， 所以实数的取值范围是. 故选：A. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可. 【解答过程】集合. 故选：B. 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若命题“，都有”，则命题的否定为（   ） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 【答案】C 【解题思路】根据存全称词命题的否定是存在量词命题分析判断. 【解答过程】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题的否定为“，使得”. 故选：C. 3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】解方程组，用集合表示即可判断. 【解答过程】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 4．（2025·广东江门·模拟预测）设，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据已知集合及相等关系确定参数值，即可得. 【解答过程】由题设， ，则. 故选：D. 5．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【解答过程】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 6．（2025·云南昭通·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】利用两集合相等可得充要条件. 【解答过程】解不等式得解集为，解不等式得解集也为， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C． 7．（2025·四川成都·三模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助交集定义计算即可得. 【解答过程】由，则. 故选：C. 8．（2025·云南·模拟预测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用集合并集和补集的定义求解即可. 【解答过程】由题可得：，所以. 故选：A. 9．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知a，b为实数，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用充分，必要条件的定义判断即可得结论. 【解答过程】由，可得且， 则由“”可得“”， 但是不能由“”得到“”，因为b可能为0， 则“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 10．（2025·湖南·模拟预测）设集合，则集合中所含整数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据集合的交集，即可求解. 【解答过程】，其中所含的整数有，，，，共个. 故选：C. 11．（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 【答案】B 【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明. 【解答过程】对于命题，因为当时，，故命题是假命题； 对于命题，当时，，故命题是真命题. 故选：B. 12．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解. 【解答过程】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先证明对任意，则，再证明，但，由此可得结论. 【解答过程】对任意，存在，使得， 由于，令，则，所以，故， 又（当时），但（由解得），所以是的真子集， 故选：C. 2．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数. 【解答过程】，，， 则集合的真子集个数为7个. 故选：C. 3．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知命题：“是的充分不必要条件”；命题：“”．则下列正确的是（    ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】D 【解题思路】先判断每个命题的正误，再判断命题的否定的正误即可. 【解答过程】令，解得或， 则可以推出，充分性成立， 推不出，必要性不成立， 得到是的充分不必要条件， 故是真命题，则是假命题， 令，得到，化简得， 解得或，则， 故是真命题，则是假命题， 即和都是假命题，故D正确. 故选：D. 4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D. 【解答过程】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 5．（2025·北京丰台·二模）已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合二次方程的根的情况与二次函数图象、二次不等式的解集之间的联系，推导证明可得出结论. 【解答过程】充分性的判断： 若，则或， 当时，关于的方程有两个相等的实数根，则， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为； 当时，关于的方程有两个不相等的实数根，不妨设， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为. 所以，由“”不能推出“关于的不等式的解集为”，充分性不成立. 必要性的判断： 若关于的不等式的解集为，因为二次函数开口向上，所以， 又因为关于的方程有两个实数根，则，则，必要性成立. 综上，“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（24-25高一上·北京·月考）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（    ） A．0 B．0， C．0， D．，0， 【答案】D 【解题思路】由题意可得集合中的元素个数为1个或3个，分集合中的元素个数为1和集合中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可. 【解答过程】解：由可得或， 又因为，， 所以集合中的元素个数为1个或3个， 当集合中的元素个数为1时，则有两相等的实数根，且无解， 所以，解得； 当集合中的元素个数为3时，则有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解， 所以，解得或， 综上所述，或或. 故选：D. 二、解答题 7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)，是“好的” (2)证明见解析 (3)除、、外的正整数 【解题思路】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【解答过程】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 8．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 【答案】(1)是平衡的，不是平衡的； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解题思路】（1）根据平衡的三个条件逐个分析即可判断，找到反例，即可判断； （2）（i）考虑，根据性质③知若，则会得到矛盾点，即可证明； （ii）设中最小的（之一）为，且，设，根据（i）的证明方法知当时，，则都不大于，最后相加即可证明. 【解答过程】（1）是平衡的，不是平衡的． 理由：， ，，满足， 显然⫋，且对于中的任意两个不同元素，， 都存在唯一的，使得． 故是平衡的， ， 并不是的子集，故不是平衡的． （2）（i）当时，对于中的每个元素，考虑． 由③知存在唯一的，满足，则． 将每一个对应到， 若，就有，否则且与③矛盾． 所以． （ii）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次）， 一方面总个数就是， 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是， 所以．（＊） 不妨设中最小的（之一）为， 且，由②③知． 再不妨设． 由（i）的证明方法可证：当时，， 由③知， 所以， 又因为，所以都不大于， 全部相加得， 由的最小性知， 结合（＊）可得 ， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $