3.3.2抛物线的简单几何性质 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，涵盖范围、对称性、顶点等核心内容及焦点弦、位置关系等应用。通过类比椭圆、双曲线的研究方法导入，引导学生自主探究，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以“课堂探究”培养数学眼光，通过类比提出问题；“典例精研”如例4两种解法、例5三点共线证明，发展数学思维与推理能力；表格总结性质规范数学语言表达。助力学生提升探究与逻辑能力，为教师提供结构化教学资源。

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点位置 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2=2px (p＞0) y2=-2px (p＞0) x2=2py (p＞0) x2=-2py (p＞0) x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 抛物线及其标准方程 复习回顾 2 思考：类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应该研究抛物线y2 = 2px（p>0）的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 课堂探究 3 由抛物线y2 =2px（p>0） 有 所以抛物线的范围为 1、范围 课堂探究 关于x轴 对称 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称. 则 (-y)2 = 2px 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 2、对称性 无心圆锥曲线 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 课堂探究 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. y2 = 2px (p>0)中，令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0,0）. 3、顶点 抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线 课堂探究 P(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率. 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率是确定的，为e=1. 4、离心率 课堂探究 图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率 x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 总结提升 F A B y2=2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径， 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. |AB|=2p x y O 5、通径 课堂探究 ①抛物线的通径是所有焦点弦中最短的弦; ②通径在反映抛物线开口大小上的作用： 通径越长，抛物线开口越大； 通径越短，抛物线开口越小. 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 焦半径公式： 6、焦半径 课堂探究 由焦半径公式可知： 抛物线的顶点到焦点的距离最小， 且最小值为 例3 已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,)，求它的标准方程. 典例精研 例3 已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M(2,)，求它的标准方程. 因为抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2, 所以可设它的标准方程为y2=2px (p>0) 因为点M在抛物线上，所以2p2 解得p=2 因此，所求抛物线的标准方程为y2=4x 解： 典例精研 例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点， 且与抛物线相交于两点，求线段的长. 典例精研 例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 解：，设直线：，， 由消去，得 解得，， 所以 思考：你还有别的做法嘛？ 典例精研 解：由题意，准线为， 设，两点到准线的距离分别为，， 由抛物线的定义，可知， ， 于是， 又由消去，得， 则，于是 思考：如果直线不经过焦点，还等于吗？ 例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 典例精研 解：设直线经过轴上任意一点，其中， 则直线：. 直线与抛物线的的两个交点为， 显然. 消去，得， 解得，， 所以 ，长度与紧密关联. 思考：如果直线不经过焦点，还等于吗？ 典例精研 图形 标准方程 焦半径 焦点弦 通径 总结提升 方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 抛物线的简单几何性质 e=1 相离：无公共点 相切：1个切点 相交：1个交点 (直线与对称轴线平行) 相交：2个交点 O F x y 判断直线和抛物线的位置关系 课堂探究 判断直线和抛物线的位置关系 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交（一个交点） 计算判别式 . △>0 △=0 △<0 相交 相切 相离 课堂探究 （斜率存在时） 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点， 经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D， 求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. l F A B D O x y 典例精研 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点， 经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D， 求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. l F A B D O x y 典例精研 O l F A x y B D 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点， 经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D， 求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. 典例精研 思考：你还有别的证法嘛？ 思路：过点作垂直于抛物线准线，垂足为， 证明，三点共线，则说明与重合， 即证直线平行于抛物线的对称轴. 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点， 经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D， 求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. 典例精研 例6 如图，已知定点，轴于点 是线段上任意一点，轴于点， 于点，与相交于点， 求点的轨迹方程. O M B C D x y E P 典例精研 例6 如图，已知定点，轴于点是线段上任意一点，轴于点，于点， 与相交于点，求点的轨迹方程. O M B C D x y E P 典例精研 例6中，设点关于轴的对称点为，则方程 对应的轨迹是常见的抛物拱(如图).抛物拱在现实中有许多原型，如拱桥(如图)、卫星接收天线，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分. 课堂探究 书本P138 巩固训练 书本P138 巩固训练 书本P138 巩固训练 中点弦问题 解1： (中点/斜率公式) 代点 作差 点差法 巩固训练 练习： 中点弦问题 练习： 解2： 联立+韦达+中点 韦达 定理 设而 不求 巩固训练 书本P138 巩固训练 书本P138 巩固训练 书本P138 巩固训练 书本P138 巩固训练 已知抛物线焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，过点作垂直于抛物线准线，垂足为，求证：，三点共线. 证明：，准线：，设直线为， 设，， 联立得：， 所以，所以 所以，， 所以，即证，三点共线. 拓展提高 若是抛物线的焦点弦，直线的倾斜角为，，，的中点为，过，点分别作，垂直于抛物线准线，垂足为，，则： ①，； ②，三点共线，三点共线. ③以弦为直径的圆相切于准线，， 、为、的角平分线， 上－下+ 拓展提高 抛物线与椭圆、双曲线性质的差异 椭圆 双曲线 抛物线 范围 封闭 无限伸展但有渐近线 无限伸展没有渐近线 对称性 对称中心为原点 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 两条对称轴 一条对称轴 顶点 4个 2个 1个 离心率 0<e<1 e>1 e＝1 决定形状的因素 e决定扁平程度 e决定“张口”大小 p决定“张口”大小 （3） 关于轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 的等边三角形． 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： 解：（1）由题意可得抛物线的焦点在轴的负方向上， 则焦点，准线方程为：， 所以焦点关于准线的对称点的纵坐标为：，可得， 由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为：； （1）焦点关于准线的对称点为； （2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12； （3） 关于轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 的等边三角形． 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (2)由题意可得抛物线的焦点在y轴的负方向上， 设抛物线的方程为:， 令，可得， 解得， 由题意可得：，解得， 所以抛物线的方程为：； （1）焦点关于准线的对称点为； （2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12； （3） 关于轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 的等边三角形． 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： （3）由题意设抛物线的方程为：， 则焦点，，准线方程为：， 由题意可得准线上的两点也关于轴对称， 且焦点到准线的距离 所以抛物线的方程为：． 解得， （1）焦点关于准线的对称点为； （2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12； 所以，， 由抛物线的方程可得焦点，抛物线的准线方程为：， 所以直线的方程为：， 令，解得，即， 所以， 2． 点M(m，4)在抛物线上，为焦点，线MF与准线相交于点N， 求． 解：将的坐标代入抛物线的方程可得：，解得：， 由题意可得，整理可得： 所以抛物线的方程为：，，． 3． 设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的 距离为，求抛物线的方程和点的坐标． 解：设，由抛物线的方程可得准线的方程为：， 联立解得：，， 当直线过焦点时，，可得， 所以当时，直线恒过抛物线的焦点． 4. 两条直线y=kx和y=-kx分别与抛物线相交于不同于原点的 A,B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？ 解：联立，解得或，可得，， 且有，所以，化简整理得， 所以点的轨迹方程为得 5.已知圆心在轴上移动的圆经过点且与轴、轴分别交于， 两个动点，求点的轨迹方程． 解：由题意知，，设动圆圆心为，则， $