4.3.1 等比数列的概念 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件围绕等比数列的概念、等比中项、通项公式及函数角度理解展开，通过预习反馈中的等比数列判定、中项计算等题目导入，衔接等差数列知识，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以预习反馈为起点，引导学生用数学眼光发现问题，如辨析常数列是否为等比数列培养批判性思维。从函数角度分析等比数列体现数学思维的逻辑推理，题型中的判定与证明题则强化数学语言表达。课堂小结梳理知识点、题型与易错点，帮助学生深化理解，也为教师提供层次分明的教学思路。

4.3.1等比数列的概念 预习反馈 1、下列数列为等比数列的是（ ） A. B. C. D., , , D 预习反馈 2、判断题： (1)常数列既是等差数列又是等比数列 (2)任何两个数都有等差中项且唯一，相应的，任何两个数都有等比中项且唯一 4.已知{an}是等比数列，若a1，a5是方程x2－5x＋4＝0的两根，则a3= 。 预习反馈 B 2 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )． 1.等比数列的概念： 知识点一、等比数列的概念 知识点二、等比中项 练习6 若a，2a＋2，3a＋3 成等比数列，求实数 a 的值． 解：∵ a，2a＋2，3a＋3 成等比数列 ∴ (2a＋2)2＝a (3a＋3)，解得 a＝－1，或 a＝－4. 当 a＝－1 时，2a＋2，3a＋3 均为0，舍去. ∴ a＝－4. 练习5(1)4与9的等比中项是______ (2)-1，2，x，8，-16成等比数列，则x=______ 6或-6 -4 预习反馈 等比数列通项公式： () 三、等比数列的通项公式 四、从函数角度理解等比数列 当 , () 当, ()即an=f(n) 反之，任给函数（, 为常数， , 且）则 构成一个等比数列，其首项为 ，公比为 等比数列的序号和项对应的点是指数型函数图像上一系列离散的点。 探究：类比指数函数的性质，说说公比q>0时，等比数列的单调性？ 四、从函数角度理解等比数列 题型一、通项公式的应用 题型一、通项公式的应用 C C 题型二、等比中项及应用 2,4,8或8,4,2 题型二、等比中项及应用 题型三、等比数列的判定与证明 题型三、等比数列的判定与证明 题型三、等比数列的判定与证明 题型三、等比数列的判定与证明 课后提升 课后提升 课堂小结 1、知识点 2、题型与方法 3、重难点、易错点 3．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(　　) A．eq \f(5,2) B．±2 C．±eq \r(5) D．2 说明： ①通项公式由首项和公比q完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了. ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量. [例1] 在等比数列{an}中， (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq \f(1,2)，求n； (2)已知a5＝8，a7＝2，an＞0，求an. 解　设等比数列{an}的公比为q. (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝qa3＋a6＝18，,a3＋a6＝36))得q＝eq \f(1,2). 由a3＋a6＝a3(1＋q3)＝36得a3＝32， 则an＝a3·qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－8＝eq \f(1,2)，所以n－8＝1，所以n＝9. (2)由a7＝a5·q2得q2＝eq \f(1,4). 因为an＞0，所以q＝eq \f(1,2)， 所以an＝a5·qn－5＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－8. [例1] 在等比数列{an}中， (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq \f(1,2)，求n； (2)已知a5＝8，a7＝2，an＞0，求an. [训练1](1)在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　)． A．2 B．eq \f(1,2) C．2或eq \f(1,2) D．－2或eq \f(1,2) (2)在等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则eq \f(a9－a10,a5－a6)＝(　　)． A．16 B．8 C．4 D．2 因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 所以q(1－q)＝eq \f(1,4)，所以q＝eq \f(1,2). 所以a1＝eq \f(42,q－q4)＝eq \f(42,\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4)＝96， 设G是a5，a7的等比中项，则 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aeq \o\al(2,1)q10＝962×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10＝9. 所以a5，a7的等比中项是±3. [例2] 已知等比数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解　设等比数列{an}的公比为q， 因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＋a1q2＝168，,a1q－a1q4＝42，)) 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝168，,a1q1－q3＝42.)) [训练2]三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数依次为 . [例3]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq \f(1,3)(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． (1)解　由S1＝eq \f(1,3)(a1－1)，得a1＝eq \f(1,3)(a1－1)，所以a1＝－eq \f(1,2). 又S2＝eq \f(1,3)(a2－1)，即a1＋a2＝eq \f(1,3)(a2－1)， 得a2＝eq \f(1,4). [例3]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq \f(1,3)(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． (2)证明　当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,3)(an－1)－eq \f(1,3)(an－1－1)，得eq \f(an,an－1)＝－eq \f(1,2).又a1＝－eq \f(1,2)， 所以数列{an}是首项为－eq \f(1,2)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列． [迁移]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)． (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． (1)证明　因为an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，所以bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn.又b1＝a1＋1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解　由(1)知，bn＝2×2n－1，故an＋1＝2×2n－1，所以an＝2n－1． ————————————•　规律方法　•———————————— 判定一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若数列{an}满足aeq \o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*，且an≠0)，则数列{an}是等比数列． [训练3]已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.求证：数列{an＋4}是等比数列． 证明　因为a1＝－2，所以a1＋4＝2. 因为an＋1＝2an＋4， 所以an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， 所以eq \f(an＋1＋4,an＋4)＝2， 所以数列{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． [例题]已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}唯一，求a的值． 解　(1)设等比数列{an}的公比为q， 则b1＝1＋a1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2. 易知(2＋q)2＝2(3＋q2)， 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋eq \r(2)，q2＝2－eq \r(2)， 故{an}的通项公式为an＝(2＋eq \r(2))n－1或an＝(2－eq \r(2))n－1． (2)设等比数列{an}的公比为q，由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0. 因为a＞0，所以Δ＝4a2＋4a＞0，所以方程aq2－4aq＋3a－1＝0有两个不同的实根． 因为数列{an}唯一，所以方程必有一个根为0，所以a＝eq \f(1,3). [例题]已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}唯一，求a的值． $