特训11 圆—解答证明题分类通关练-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训11 圆 解答证明题专项分类通关练 【特训过关】 一、垂径定理的应用 1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD,点O是CD的圆心，E为CD上一点，OE⊥CD,垂足为F. 己知CD=600m,EF=100m,求这段弯路的半径. 【答案】这段弯路的半径为500m. 【解答】解：连接OC,如下图， 设半径为m,则OC=OE=rm, .OF=r-100m, :点O是CD的圆心，OE⊥CD, CF=CD=300m.ZOFC=90 由勾股定理可得，0C2=CF2+0F2,即r2=3002+(r-100)2, 解得r=500, 答：这段弯路的半径为500m. 1 2.如图是一个蔬菜大棚的横截面，它的“拱顶”部分是以点0为圆心的圆的一部分，已知⊙O的半径为5m, 横梁AB的长为8m,点D为AB的中点，连接OD交AB于点C. (1)求拱高CD的长； (2)若要在离蔬菜大棚中心3m处(CE=3m)安装一支撑柱EF,且支撑柱EF垂直于横梁AB,求支 撑柱EF的长 【答案】(1)拱高CD的长为2m;(2)支撑柱EF的长为1m. 【解答】(1)解：，⊙O的半径为5m, .OD=OB=OA=5m. ,点D为AB的中点， .BD=AD,OD⊥AB, ∴.AC=BC,∠ACO=∠BCO=90°. AB=8m, 1 六BC=2AB=4m, .0C=V0B2-BC2=V52-4=3(m), .CD=OD-0C=5-3=2(m). 答：拱高CD的长为2m. (2)解：过点F作FG⊥CD于点G,连接OF则∠FGO=90°.如图， D G的 C B 设EF=xm, :AB⊥DO,EF⊥AB, 2 ∴.四边形FGCE是矩形， :GC=EF=xm,FG=CE=3m 在Rt△FGO中，OG=OC+GC=3+x)m,OF=5m,FG=3m, 0G2+FG2=0F2,即3+x2+32=52, 解得x=1或x=-7(不合题意，舍去)， ∴.EF=1m 答：支撑柱EF的长为lm. 3.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的 一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心O为圆心的⊙O,且圆心在水 面上方.在某一时刻，⊙O被水面截得的弦AB长为6米，过点O作OC⊥AB,交⊙O于点C,交AB于 点D,水面下盛水筒的最大深度为1米（即CD=1米）. 水面4 D B 图1 图2 (1)求⊙O的半径： (2)若水面上涨，导致⊙O被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米，且圆心O仍在水面上方时，求水 面上涨了多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为5米；(2)即水面上涨的高度为1米. 【解答】(1)解：如图，由题意可知，CD=1米，AB=6米， ∴.OC⊥AB,且OC经过圆心，AB=6米， AD=BD=2AB=3米， 设圆的半径为r米，则OA=OC=r米，OD=(r-1)米， 在Rt△AOD中， 0D2+AD2=0A2,即(r-12+32=r2, 解得r=5, 即该圆的半径为5米： 3 (2)解：设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB,OD与EF相交于点G, 水面 :OG⊥EF,且OG经过圆心， :EG=FG=EF=x8=4米， 连接OE,在Rt△EOG中，OE=5米，EG=4米， .0G=V0E2-EG2=3米， .CG=0C-0G=4-3=1(米)， 即水面上涨的高度为1米. 4.根据以下素材，探索完成任务 探究铁锅内放蒸笼的问题 民以食为天，我们常见的大铁锅可 近似地看作抛物线面，锅盖可近似 y 的看作圆弧面，经过锅心和盖心的 E 素材1 纵断面是一段抛物线和圆弧线组 A B 0 合而成的封闭图形（如图1），简称 为“锅线”.蒸笼可以看成是若干个 F 圆柱体叠加起来. 图1 图2 yA 如图2，锅口截面弦长AB为8dm, E 锅深OF为5dm,锅盖高OE为 B 素材2 2dm（锅口直径与锅盖口直径视为 相同)，把锅盖纵断面所在的圆记 F 作⊙M. 图3 图4 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径6dm, 4 高度为1dm,若干个这种规格的蒸 笼叠加起来不需要考虑叠加缝 隙. 问题解决 任务1 求弧AB所在的⊙M的半径. 锅中原有水的最大深度为0.5dm(如图4)，由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水， 任务2 水位升高了2.5m,求此时的水面宽度 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 【答案】任务1：⊙M的半径为5dm;任务2：水面宽度为 8V15 dm;任务3：为了让锅盖能够盖上，最 多可以放入这种规格的蒸笼3个， 【解答】解：任务1：如图：圆心为M,连接BM, y本 E A 6 M 设BM=r,则BM=ME=r, OE 2dm, ∴.OM=r-2, ,'AB⊥OM,OM过圆心， 1 ∴.OA=OB=-AB=4dm, 在Rt△BOM中，由勾股定理可得：BM2=OM2+OB2, 即2=(r-2)2+16,解得：r=5, ∴.⊙M的半径为5dm: 任务2：由题意知抛物线C的顶点为F(0,-5),且过A-4,0),B(4,0), ∴.设抛物线C解析式为：y=ax2-5, 5 .0=ax16-5,解得：a= 16 抛物线C解析式为：y=5x2-5, 16 ,锅中原有水的最大深度为0.5dm,又重新加入一定量的水，水位升高2.5dm, ∴.加水后水面水的最大深度为3dm, ∴.水面距锅沿的竖直高度为2m, 4V15 当y=-2时， 5x2-5=-2,解得：x=± 1 5 ∴.水面宽度为 V15 5 dm: 任务3：解：对于抛物线C,如图所示： 当x=3时，y=16 ×32-5=-3 5 5 ,则DP= dm 16 6 对于⊙M,如图所示： y E A 7-- P D F NG=6dm,IG=3dm, :IM =MG2-IG2 =52-32 =4dm ,OM=ME-OE=5-2=3, ..OI=PG=IM-OM=4-3=1, 3551 ∴.GD=PG+DP=1+ 1616 :3×51<4, 16 ,圆柱体蒸笼底面直径6cm,高度为1dm, ∴，为了让锅盖能够盖上，最多可以放入这种规格的蒸笼3个. 6 二、圆相关的尺规作图 5.尺规作图： (1)如图，点Q在直线AB上，点C在直线AB外，作⊙O经过Q,C两点且与AB相切. ℃ -B (2)己知⊙O.求作一点P,过点P作出⊙O的两条切线分别为PA,PB点为A,B.且使∠APB=45 0 【答案】见解析. 【解答】(1) MB 作图步骤如下： ①以点Q为圆心任意画圆，与直线AB相交于LM,分别以点L,点M为圆心，大于LM为半径画弧， 交于点K,点L,连接KL,则KL垂直平分LM,KL所在直线为直线1（圆心O在此线上）： ②连接CQ,分别以点C,点Q为圆心，大于二CQ为半径画弧，交于点G,点F,连接GF,GF所在直 2 线为直线m: ③直线1与m的交点O即为所求圆心； ④以O为圆心，OQ为半径作圆. 故圆O为符合题意的圆. 7 (2) B K F 作图步骤如下： ①先作直径CD,分别以点C,点D为圆心，大于.CD画弧，交点分别为点L,K,连接LK与圆O相交 于EB,则EB垂直平分CD; ®必点E,D为圆心，大于)ED为半径画弧，交于点，连接OH与圆O交于点4，则OA平分∠EOD一 使得∠AOD=45°： ③以点4为圆心，0A为半径作圆，延长0A,与圆A交于点G,以点G,点O为圆心，大于OG为半 径画弧，交于点M,点N,连接MN,MN所在的直线即为圆O切线，切点为A;以点K为圆心，OK为 半径作圆，延长OK,与圆K交于点五，以点不，点O为圆心，大于OF为半径画弧，交于点Q,点乙， 连接QL,QL所在直线即为圆O切线，切点为B;两切线交于点P,则∠BOA=135°，∠APB=45°. 故所作切线PA,PB所成∠APB=45°。 6.已知AB是⊙O的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明. p 0 ① ② (1)如图①，点P在⊙O上，作弦PQ,使PQ=AB; (2)如图②，点P在⊙O内，过点P作弦CD,使CD=AB 8 【答案】见解析 【解答】(1)解：如图①，PQ和PQ'为所作； 01 0 B ① (2)解：如图②，CD和CD为所作. D B ② 由作图知PG,PQ是半径为OE的圆的切线，切点分别为点G,点Q, ∴.PG⊥OG,OE=OG, 连接OC,OA, .CG=V0C2-0G2, ∴.CD=2CG=2W0C2-0G2, .OE⊥AB, .AE=OA2-OE2,AE BE .AB=2AE=20A2-OE2, .OA=OC,OE=OG, ∴.CD=AB, 同理，得CD'=AB 9 7.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程. 己知：⊙O和⊙O外一点P】 求作：过点P的⊙O的切线， 作法：如图， ①连接OP; ②分别以点O和点P为圆心，大于OP的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点： ③作直线MN,交OP于点C; ④以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A,B两点； ⑤作直线PA,PB. 直线PA,PB即为所求作⊙O的切线： (1)请根据上述作法完成尺规作图； (2)连接OA,OB,可证∠OAP=∠OBP=90°，理由是 (3)直线PA,PB是⊙O的切线，依据是 【答案】(1)作图见解析；(2)直径所对的圆周角为直角；(3)过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的 切线 【解答】(1)解：如图，PA、PB为所求： 米M (2)解：，OP为⊙C直径， .∠OAP=∠OBP=90°； 故答案为：直径所对的圆周角为直角： o 特训11 圆——解答证明题专项分类通关练 【特训过关】 一、垂径定理的应用 1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，，垂足为F．已知，，求这段弯路的半径． 2．如图是一个蔬菜大棚的横截面，它的“拱顶”部分是以点O为圆心的圆的一部分，已知的半径为5m，横梁的长为8m，点D为的中点，连接交于点C． （1）求拱高的长； （2）若要在离蔬菜大棚中心3m处（）安装一支撑柱，且支撑柱垂直于横梁，求支撑柱的长． 3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心O为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点O作，交于点C，交于点D，水面下盛水筒的最大深度为1米（即米）． （1）求的半径； （2）若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的6米变为8米，且圆心O仍在水面上方时，求水面上涨了多少米？ 4．根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似地看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1），简称为“锅线”．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口截面弦长为8dm，锅深为5dm，锅盖高为2dm（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径6dm，高度为1dm，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径． 任务2 锅中原有水的最大深度为0.5dm（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了2.5dm，求此时的水面宽度． 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个? 二、圆相关的尺规作图 5．尺规作图： （1）如图，点Q在直线上，点C在直线外，作经过Q，C两点且与相切． （2）已知．求作一点P，过点P作出的两条切线分别为，点为A，B．且使． 6．已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）如图①，点P在上，作弦，使； （2）如图②，点P在内，过点P作弦，使． 7．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法：如图， ①连接； ②分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ③作直线，交于点C； ④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点； ⑤作直线，． 直线，即为所求作的切线． （1）请根据上述作法完成尺规作图； （2）连接，，可证，理由是_________________； （3）直线，是的切线，依据是________________． 8．学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点P．求作：的过点P的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以M为圆心，以为半径作，与交于两点A和B； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． （1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） （2）求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． ∵为的直径， ∴_______________； ∴，， 又∵点A，B在上， ∴，是的半径，且， ∴，是的切线．（经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， ∴（_______________）（填推理的依据）， ∴． 三、圆的综合问题 9．如图，在等腰中，，以为直径的分别与边，交于E，D两点，交于点F．连接交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 10．已知为的直径，，C为上一点，连接，． （1）如图①，若C为的中点，求的大小和的长； （2）如图②，若，为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 11．在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点A和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点A的“关联弦”． （1）如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点A的“关联弦”是_____________； （2）如图2，已知点，在上，弦是点A的“关联弦”，直接写出长度的最大值； （3）如图3，已知点，，对于线段上一点S，存在的弦，使得弦是点S的“关联弦”，若对于每一个点S，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为d，则当点S在线段上运动时，直接写出d的取值范围． 12．【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为__________________． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 四、圆与三角形的综合 13．如图，为的直径，为的弦，C为上一点，，，垂足为D． （1）连结，判断与的位置关系．并证明； （2）若，，求的半径． 14．如图，在中，点A在上，边交于点C，于点D．是的平分线． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 15．一般地，经过三角形的两个顶点且与该三角形的一条边相切的圆叫作这个三角形的“准接圆”．特别地，当“准接圆”还与该三角形的另一条边相切时，该圆叫作该三角形的“强准接圆”． 【概念理解】 （1）以下四个图中，是的准接圆的是（    ） A．    B．    C．    D． 【深入思考】 （2）以下命题：①任意三角形都存在准接圆；②三角形准接圆的圆心一定在该三角形的外部；③三角形准接圆的直径大于或等于以其经过的两个顶点为端点的边．其中，是真命题的是________（填序号） （3）如果一个三角形存在强准接圆，那么它应满足什么条件？说明理由． 【计算求解】 （4）已知在中，，，，． ①若存在强准接圆，则强准接圆的半径长R随着c的变化而变化，R关于c的函数表达式是________； ②当，时，直接写出的准接圆的半径长． 16．【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中、、均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，，，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 五、圆与四边形的综合 17．如图，以D为圆心，为半径的圆交，于点E，F，延长交于点G． （1）求证：． （2）若的度数为，求的度数． 18．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段，，于点F，E，M，连结，已知． （1）求证：； （2）若M为的中点，求的半径； （3）若的半径为3，求的值． 19．[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段、、的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段、、的数量关系是：______． [探究]如图②，等腰三角形中，，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点（靠近A点）， 则的值为______． 20．在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒2cm的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒1cm的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： （1）如图①，t为何值时，的面积等于； （2）如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为________． 六、圆与函数的综合 21．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点A为圆心，为半径的，交x轴于点P，点B是上的一个动点，作点P关于点B的对称点Q，连接． （1）当点Q刚好落在y轴上时，点B的坐标为_________； （2）点B在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标x的取值范围； （3）若由点Q所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出k的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． （1）的直径为_______，点M的坐标为_______； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 23．二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； （3）如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 15 学科网（北京）股份有限公司 $