4.5.2 用二分法求方程的近似解 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“用二分法求方程的近似解”，通过“猜价格”“找出口”等生活情境结合武汉地标动态GIF导入，引导学生从二分思维过渡到数学方法，衔接函数零点旧知，搭建具体到抽象的学习支架。 亮点在于生活化情境与地域元素融合，动态数轴动画直观呈现“逐步逼近”思想，体现数学眼光观察现实世界。通过问题转化、小组讨论突破难点，培养逻辑推理与运算能力，助力教师提升课堂互动，帮助学生理解核心思想。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 4.5.2 用二分法求方程的近似解 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件． 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解． 3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解． 教学内容 教学重点：二分法的定义及求方程近似解的步骤。 教学难点：理解二分法的“逐步逼近”思想，确定方程近似解的精确度。 教学过程 1、 情境导入 （配合动态GIF：展示“猜价格”游戏界面 +“找宝藏”数轴动画，插入武汉地标元素） 同学们，先玩个武汉人熟悉的“过早猜价”游戏！热干面+蛋酒的套餐，价格在5-15元之间（数轴标注范围），我只说“高了”或“低了”——谁能最快猜中？ 互动1分钟，引导学生发现“每次猜中间价”最快。 刚才大家无意识用了“二分思维”！再看这个场景：江汉路地铁站有1-20号出口，某游客要找“happy站台”，已知在1-20号之间，且不在左半区就一定在右半区，怎么找最快？（结合数轴动画演示：先找10号，排除一半；再找剩余区间中点，逐步缩小范围） 生活里“对半砍”的智慧，能解决数学难题吗？比如方程lnx+2x-6=0，我们知道它有解但算不出精确值，就像找不到宝藏的精确位置——能不能用“猜价格”“找出口”的二分思路，一步步缩小解的范围，得到满足精度的近似解？这就是今天要学的“二分法”！ 设计意图：从生活中常见的“猜价格”场景切入，让学生直观感受“二分逼近”的思路，降低抽象概念的理解门槛，同时建立“生活问题—数学方法”的联系。 二、新知探究 问题转化： 教师提问：方程lnx+2x-6=0有解吗？如何找到它的近似解？ 引导学生回忆：方程的解等价于函数f(x)=lnx+2x-6的零点。 展示函数f(x)=lnx+2x-6的图像，学生观察：函数在(2,3)区间内单调递增，且f(2)=ln2+4-6≈-1.3069，f(3)=ln3+6-6≈1.0986>0，由零点存在定理可知，函数在(2,3)内有唯一零点，即方程在(2,3)内有唯一解。 类比迁移： 教师引导：既然方程的解在(2,3)内，能否用”猜价格”的思路找到近似解？” 师生共同分析： 第一步：取区间(2,3)的中点2.5，计算f(2.5)=ln2.5+5-6≈0.9163-1≈-0.0837 第二步：因为f(2.5)<0，f(3)>0，所以零点在(2.5,3)内，区间长度从1缩小到0.5； 第三步：取(2.5,3)的中点2.75，计算f(2.75)=ln2.75+5.5-6≈1.0116-0.5≈0.5116>0，零点在(2.5,2.75)内，区间长度缩小到0.25； 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值． 教师强调：每次将区间一分为二，保留有零点的区间，重复操作，区间长度不断缩小，逐步逼近零点的真实值。 定义生成： 教师总结：这种不断将区间一分为二，通过判断零点所在区间，逐步缩小范围，直到区间长度小于等于精确度，从而得到方程近似解的方法，叫做二分法。 板书二分法的定义，强调关键词：“闭区间”“连续函数”“f (a)・f (b)<0”“一分为二”“逐步逼近”。 思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ [提示]二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 设计意图：通过“方程零点—函数零点”的转化，衔接旧知；借助函数图像直观呈现零点存在性，再类比生活中的“二分逼近”思路，让学生参与探究过程，从具体操作上升到抽象定义，体会数形结合和转化与化归的数学思想。 步骤归纳： 教师引导学生结合上述探究过程，小组讨论：用二分法求方程近似解的一般步骤是什么？ 小组代表发言，教师补充完善： 给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 思考辨析: (1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 B　[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算.] 三、例题讲解 例1.借助信息技术，用二分法求方程+3x=７的近似解（精确度为0.1）． 解：原方程即+3x=７，令+3x-７，用信息技术画出函数的图象并列出它的对应值表; x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 观察图或表，可知f(1)f(2)＜０，说明该函数在区间(1,2)内存在零点．取区间(1,2)的中点＝1.5，用信息技术算得f(1.5)≈0.33．因为f(1)f(1.5)＜０，所以∈(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点＝1.25，用信息技术算得f(1.25)≈－0.87． 因为f(1.25)f(1.5)＜０，所以∈(1.25,1.5)．同理可得， ∈(1.375,1.5)，∈(1.375,1.4375)．由于｜1.375－1.4375｜＝0.0625＜0.1， 所以，原方程的近似解可取为1.375． 巧记：周而复始怎么办? 精确度上来判断.定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间. 设计意图：例题解析中让学生动手计算，熟悉二分法的操作流程，同时强化计算器的应用技能，突破“确定区间、计算函数值、判断精确度”的重点难点。 基础练习： 1.求方程x²-2=0的近似解（精确度0.01），学生独立完成，教师抽查反馈，重点关注区间缩小过程和精确度判断。 2.用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9 由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)． 【答案】因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解． 四、课堂小结 教师引导学生回顾：本节课你学到了什么？ 学生总结：二分法的定义、步骤、思想，以及数学与生活的联系； 教师升华：二分法的核心是“逐步逼近”，这种“化整为零、逐步缩小范围”的思路，不仅是数学方法，也是解决生活中复杂问题的重要策略。 掌握用二分法求解方程的近似解的步骤. 五、课后作业 1.教材 P146 练习 1、2 题； 2.预习下节课内容。 学科网（北京）股份有限公司 $