4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时）（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦等比数列前n项和公式的推导与应用，以“父母的‘指数级’爱”储蓄红包情境导入，从具体等比数列求和实例出发，通过类比等差数列求和经验，引导学生构建从特殊到一般的推导路径，搭建逻辑推理的学习支架。 资料特色在于以问题驱动引导学生自主探究“错位相减法”，通过“消中间项”的核心问题设计培养数学思维，结合“知三求二”应用与q=1分类讨论强化逻辑推理和数学运算素养，实例丰富且贴近生活，既帮助学生建立模型意识，也为教师提供分层教学与素养落地的清晰路径。

4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时） 教学设计 1.教学内容 本节课的教学内容是等比数列前n项和公式的推导、理解和初步应用。首先以“父母的“指数级”爱”这一故事为情境，通过估算成人礼的红包礼物的红包金额引发认知冲突，自然地引入对等比数列求和的探究。核心是采用“错位相减法”进行公式推导：设 ，两边同乘以公比 q 后相减，得到，从而导出当时的求和公式 。同时明确当时，。通过例题，学生运用公式解决已知基本量求前n项和、已知反求项数n 等问题，初步体会方程思想，并理解公式中蕴含的函数关系。 2.内容解析 本节课是人教版选择性必修第二册等比数列求和的第一课时，属于“公式推导与初步应用”阶段。其知识结构源于对等比数列概念与通项公式的深刻理解，旨在解决现实中的“指数增长”求和问题（如引入中父母的“指数级”爱）。 本节课的核心在于“错位相减法”这一关键技能的获得与理解，该推导过程蕴含了化无限为有限、类比、转化、分类讨论等多种数学思想。学生将经历从具体实例（公比为2）到一般公式的抽象概括过程，并在此过程中明确公式的两种基本形式和适用条件（q=1与q≠1）。公式的应用（即“知三求二”）则是对等差数列相应经验的迁移，旨在巩固方程思想并建立解决等比数列问题的基本运算框架。从学科育人角度看，本节内容不仅培养逻辑推理（公式推导）和数学运算（公式应用）的核心素养，也通过“指数爆炸”的直观感受，强化学生的数学模型意识，使其认识到数学知识源于现实且能解释和量化现实问题。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握等比数列前n项和公式的推导方法，理解公式结构并能进行基本应用。 1.教学目标 （1）经历等比数列的前n项和公式的推导过程，让学生理解“错位相减法”,提升学生的逻辑推理核心素养. （2）通过对等比数列的前n项和公式的运用，进一步理解方程思想、分类讨论思想及转化思想，培养学生的观察、归纳、反思能力，提升学生的数学运算与逻辑推理核心素养。 2.目标解析 （1）此目标聚焦于“过程”与“方法”。它要求学生亲历从具体特例（如棋盘问题）到一般公式的探索，核心在于理解和掌握“错位相减法”的推导逻辑。这不仅是一个公式的获得，更是对如何“消项”、如何将“无限”求和转化为“有限”运算这一关键思想的深刻体验，是提升逻辑推理素养的典型载体。 （2）此目标强调对公式的“运用”和“思想”的内化。通过运用公式解决“知三求二”等基本问题，学生需要主动调用方程思想建立等式，并依据公比q是否为1进行分类讨论。这一过程将抽象的数学思想转化为具体的解题策略，在运算和反思中巩固对公式结构的理解，从而综合提升数学运算和逻辑推理能力。 学生已系统学习过等差数列，掌握了研究特殊数列的“事实→概念→性质→应用”一般路径，并具备一定的从实际问题中抽象数列模型的能力。对等比数列的概念、通项公式及其与指数函数的关系已有认知，这为类比等差数列求和的研究提供了知识基础。然而，在教学推进中可能遇到以下困难： 认知冲突与方法迁移的困难：学生虽熟悉等差数列求和的“倒序相加法”，但“错位相减法”在思维上存在较大差异。学生可能感到该方法“巧妙但想不到”，难以自然地将其视为一种解决“同构项相减消元”的策略，而非一个需要记忆的技巧。 对q=1情形的忽视：在公式推导和后续应用中，学生极易忽略公比q=1这一特殊情形，导致公式使用不完整，缺乏分类讨论的意识。 公式推导过程的代数变形困难：在错位相减后的合并整理环节，涉及(1-q)Sn=a1(1-q^n)的得出，部分学生可能对提取公因式、合并同类项等代数运算存在障碍。 从情境到模型的抽象困难：部分学生可能难以将棋盘麦粒等问题快速、准确地识别并转化为求特定等比数列前n项和的数学问题。 解决策略：为解决上述困难，教学中应①强化从“如何消去中间项”这一核心问题出发，引导学生观察式子结构，通过乘公比构造“错位”，自主发现相减消元的思路，强调推导过程的合理性而非记忆结论。②在公式得出后，立即设问“当q=1时公式是否适用？”，引导学生回归定义验证，并举简单实例（如常数列）强化分类讨论意识。③在推导过程中，教师可放慢步骤，或请学生板演，确保代数变形的每一步清晰无误。④对于应用问题，引导学生先列出前几项，识别等比关系，再用数学语言进行表述。 综合以上分析，本节课的核心困难在于思维方法的突破与严谨习惯的养成。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解并掌握错位相减法的推导思路，并能在公式应用中自觉进行公比q的分类讨论。 情境引入 父母的“指数级”爱 在你出生那年，父母为你开设了一个特别的成长储蓄账户。他们约定： 在你 1岁生日 那天，存入 1元；2岁生日 存入 2元；3岁生日 存入 4元；4岁生日 存入 8元； …… 一直持续到你18岁成年,作为成人礼送给你做礼物. 思考：在你18岁那年生日时，父母为你共储存的了多少钱的成人礼红包呢？ 设计意图：设计意图：通过贴近学生生活的“储蓄红包”情境，激发学习兴趣，直观感知等比数列求和的必要性，为公式推导提供现实动机。 教学建议：引导学生将存款计划用数列表示，即写出首项a1=1，公比q=2，项数n=18，明确求S18。教师可通过提问“直接相加方便吗？”引发认知冲突，自然过渡到探索求和公式。 思考：易知每年存款金额是一个等比数列，如何求这个等比数列前18项的和呢? 预设：设 —— ① 追问：观察①式的右边每一项的特征，思考它们之间的联系，有什么办法它们之间的不同呢？ 预设：①式的右边每一项都是前一项的2倍，每一项都乘2,就变成了它的后一项， 即： —— ② 追问：比较①②式，你有什么发现，能否求得①的和？ 预设： —— ① —— ② ①②两式的右边有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，即得： 所以，，此方法叫做：错位相减法. 思考：类比以上方法，能否将其推广至一般等比数列的前n项和的求解吗? 师生：设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是 ． 上式可以写成： ． ③ 若在③式两边同以，得到： ④ ③④两式的右边有很多相同的项，用③的两边分别减去④的两边，就可以消去这些相同的项，可得 ，即 ⑤ 所以，当时， ⑥ 因为，所以公式⑥还可以写成 ⑦ 追问：当时，等比数列的前项和等于多少? 师生：当时，. 综上，首项为，公比为的等比数列的前n项和的公式为： ⑧ 等比数列前n项和公式： 思考：一般地，使用等比数列求和公式时需注意什么？ 预设：(1)一定不要忽略的情况； (2)知道首项，公比和项数,可以用求其前项和；知道首项，末项和公比可以用求其前n项和； (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：首项，公比，末项，项数，前项和，知道其中任意三个量，可求其余两个量. 设计意图：等比数列前n项和公式的推导是本节课的重难点，而如何避免“强行”得到错位相减法是教学中需要认真思考的问题.要引导学生从特殊到一般，体会两个方面的思维：一是推导公式要从“无限”项到“有限”项，消项的思想必须贯穿在探究中；二是当“倒序相加法”等已知方法无法迁移使用时，要抓住等比数列的定义和前n项和公式的特点进行探究.本设计意在让学生通过经历整个推导过程，充分感悟由“多”到“少”,由“无限”到“有限”，特殊到一般的数学思想，进一步体会数学的简洁和严谨。 牛刀小试 练1：观察数列：，，，，…，，…，该数列的前n项和为多少呢？ 预设：观察数列：，，，，…，，…，可知该数列为首项为，公比为的等比数列， 故数列的前n项和. 练2：已知数列满足，，则的前10项和等于 A． B． C． D． 预设：设由题设可知数列是公比为,首项是4的等比数列. 故其前10项和为，故选：C 练3： 已知正项等比数列的前n项和为，且． 证明：数列是等比数列； 预设：设正项等比数列的公比为， ∵，∴，解得， ∴，∴，， 又，有，∴数列是首项为公比为的等比数列. 思考：我们知道，当公差不为零时，等差数列前n项和公式是一个特殊的二次函数，请问等比数列前n项和公式跟什么函数有关联? 师生：学生思考后小组交流，由小组代表展示结论. 当时，是关于n的一次函数； 当时，是一个特殊的指数型函数. 追问：探究等比数列的前n项和公式，还有其他法吗? 师生活动：本问题留作课后拓展问题，课后完成. 例7. 已知数列是等比数列． （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求． 预设：（1）因为，，所以 ． （2）由，，可得 ． 即 ． 又由，得 ． 所以 ． （3）把，，，代入，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 设计意图：通过例题的解答和讲解，让学生熟练公式的运用，重视公式的选择，进一步提高学生运用知识解决问题的能力.另外，要让学生明确若知道等比数列的五个基本量(，，，，)中的任意三个就能求出另外两个. 例8 已知等比数列的首项为，前项和为．若，求公比． 预设：若，则 ． 所以 ． 当时，由，得 ． 整理，得 ． 即 ． 所以 ． 解法二： ， 所以，所以． 设计意图：相比较于例1,例2的解答中涉及对公比取值的讨论，学生容易忽视的情形.此环节设置例题和变式主要是通过题目的对比，引导学生注意对的取值情况进行分类讨论。 例9 已知等比数列的公比，前项和为．证明：，，成等比数列，并求这个数列的公比． 证明：当时，，，， 所以，，成等比数列，公比为1． 当时，， ， 所以． 因为为常数，所以，，成等比数列，公比为． 思考：同学们想一想为什么题目条件中强调“公比”? 预设：当时，可能出现的问题. 例如，通项公式为的数列，当n为偶数时，导致结论不成立. 等比数列片段和性质： 等差数列：一般地，为等差数列的前n项和，则成等差数列，公差为. 类比： 等比数列的公比，前项和为，则，，成等比数列，公比为． 题型一：公式法求等比数列的和 例题（1）等比数列中，首项，公比，那么它的前4项和的值为（     ） A． B． C． D． 预设：由等比数列的前项和公式得：.故选：A. （2）求和： 预设：记 当时，； 当时，； 当且时, 综上，. 归纳总结：含字母的等比数列求和问题 等比数列前n项和公式 前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当和 时是不同的公式形式，不可忽略的情况. 题型二：等比数列基本量的计算：知三求二 例题. 在等比数列中，(1)，，求； (2)，，求； (3)，，求； (4)，，求． 预设：（1），，故 （2），又，故，故， （3）由，可得，即，解得或. （4），故，即 题型三：等比数列片段和性质及应用 例题：已知等比数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 预设：等比数列的前项和为，则成等比数列， 设，则，，，， 所以. 故选：D 题型四：错位相减法求和问题 例题：已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和． 预设：(1)由，得， 又，是以1为首项，3为公比的等比数列， ，，即数列的通项公式为. (2) 由(1)知，，则，① 得，② ①-②得， 故． 归纳总结：错位相减法的适用条件与方法 一般地，若数列为等差数列，为等比数列且公比为,求的前项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和，即错位相减法. 在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出或的表达式； 在运用错位相减法求数列的前项和时要注意四点：①乘数(式)的选择；②对的讨论；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；④相消项中构成数列的项数. 题型五：等比数列求和公式解决实际问题 例题：中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂 盏灯笼． 预设：依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，公比，前9项和为1533， 于是得，解得， 所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼. 故答案为：3 1．（25-26高三上·北京西城·期中） 已知数列为等比数列，，，则首项 ；的前5项和 . 预设：设数列的公比为，则. 所以. 所以. 故答案为：①1 ②11. 2．（25-26高三上·上海·期中） 已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 预设：设等比数列的公比为，因为， 当时，则，所以，则，不符合题意； 当时，则，，所以， 所以，即，所以，解得或（舍去）；综上可得. 故答案为： 3．（25-26高二上·福建漳州·期中） 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（     ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 预设：由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C 4．（25-26高三上·上海·期中）记为数列的前项和，若，则 ． 预设：当时，，解得； 当时，由，则， 所以， 即，则数列是以，公比为的等比数列，所以. 故答案为： 5．（25-26高二上·福建龙岩·期中） 已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．49 B．63 C．84 D．105 预设：由题意可知，成等比数列，所以，解得.故选：A 6．（25-26高三上·广东·期中） 已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 预设：（1）因为，，又， 所以，解得， 所以； （2）因为，即，所以， 所以， 所以，则， 所以 ，所以. 1．等比数列的前项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 _______________ _______________ 推导等比数列的前项和公式的方法叫：________________ 注：用等比数列前项和公式求和，一定要对该数列的公比 ，进行分类讨论; 【答案】 2．等比数列前项和公式的函数特征 (1)当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的 (2)当公比时，因为，所以是的 . 即 【答案】 3．等比数列的性质 已知为等比数列，公比为，为其前项和. （1）若，则 ； （2）当时，， ，为等比数列； （3）若等比数列共项，记为奇数项和，为偶数项和，则 ； 【答案】 巩固作业：教科书第37页练习第2、4、5题. 拓展作业：探究等比数列的前n项和公式的其他求法. 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时） 一、问题情境 储蓄账户：1, 2, 4, 8, … → a₁=1, q=2, n=18，求 S₁₈ = ? 二、公式推导（错位相减法） 设 …… ① …… ② ① - ②： 当时， 当时， 三、公式应用（知三求二） 已知 a₁, q, n, an, Sn 中任意三个，可求其余两个。 例题：（此处留空书写关键步骤） 四、思想方法 错位相减法、方程思想、分类讨论（q=1与q≠1） 本节课基本达成了预设目标，学生通过“储蓄红包”的情境有效感知了等比数列求和的必要性。在公式推导环节，多数学生能跟随教师引导，理解“错位相减”的构造逻辑，体会到其“消项”的核心思想，逻辑推理能力得到锻炼。然而，教学中也反映出一些问题：部分学生在进行“qSn”与“Sn”的代数相减时，对项的对应关系处理不够熟练，存在计算失误；更普遍的是，在后续例题练习中，仍有相当数量的学生忽略对公比q=1的讨论，说明分类讨论的思想尚未真正内化为解题习惯。 此外，将实际问题抽象为等比数列模型的过程，对基础薄弱的学生仍具挑战性。反思认为，后续教学需在两个方面加强：一是在公式推导后，应设计更充分的板演与辨析环节，巩固代数变形技能；二是在整个应用阶段，需反复通过设问“q是否可能为1？”来强化分类意识，并设计对比性练习，帮助学生从“知道”过渡到“会用”。整体上，本节课作为公式教学的起始，重在建立正确推导过程和初步应用框架，为后续灵活运用奠定了必要但需巩固的基础。 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $