4.3.2 等比数列的前n项和（第1课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时） 题型一：前n项和公式基本量的计算 1．等比数列的前项和为，若，则的公比 ． 2．设等比数列的前项和为，若，，求. 3．已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 4．已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比 . 5．等比数列的前项和为，若，则公比 ． 6．（多选）已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 题型二：公式法求等比数列的和 1．已知为等比数列，，，那么的公比为 ，数列的前5项和为 . 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，6a1＋a3＝30，则Sn＝ ． 3．设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 5．记正项严格递增等比数列的前项和为，且满足，，则 . 6．求值： ． 题型三：等比数列片段和性质及应用 1．已知等比数列的前项和为，若，则 . 2．在等比数列中，，，则 ． 3．已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 4．已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 5．已知等比数列的前项和为，若，，则 . 6．记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 7．记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 8．已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 题型一：错位相减法求和问题 1．已知数列中，，则数列的前9项和为 ． 2．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． (1)求，的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求． 4．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，求证：． 5．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 6．已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 题型二：等比数列求和公式解决实际问题 1．算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 2．洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 3．李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 4．高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元） 参考数据：，， A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6 5．如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（   ） A． B． C． D．8 6．云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 1．设等比数列的前项和为，若公比，则 . 2． ＝ 3．（多选）已知递增等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．是公差为1等差数列 D．是等比数列 4．（多选）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则 B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则 D．若数列为等比数列，且，则 5． ． 6．复印纸张按照幅面的规格分为系列，系列，系列，其中系列的幅面规格分为，所有规格的纸张的长度和幅宽的比例关系都为．将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，如此对开至规格．现有 纸各一张，若纸的幅宽为，则这张纸的面积之和为（    ） A． B． C． D． 7．数列的前项和为，且，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）设数列满足，其前项和为，证明：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时） 题型一：前n项和公式基本量的计算 1．等比数列的前项和为，若，则的公比 ． 【答案】或 【分析】根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】当时，显然成立， 当时， ，（舍去）， 故答案为：或 2．设等比数列的前项和为，若，，求. 【答案】 【分析】设等比数列的公比为,根据条件先判断，再利用等比数列的通项与求和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为, 由可知,则得, 化简得,因，则, 故. 3．已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，分和两种情况讨论，根据等比数列求和公式得到方程，解得即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 当时，则，所以，则，不符合题意； 当时，则，，所以， 所以，即，所以，解得或（舍去）； 综上可得. 故答案为： 4．已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比 . 【答案】/ 【分析】利用，结合已知列方程求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 即，解得. 故答案为： 5．等比数列的前项和为，若，则公比 ． 【答案】或1 【分析】将题设化为，解此方程即可. 【详解】因为，所以， 即，即，又因为， 所以，，解得或. 故答案为：或1 6．（多选）已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出公比及首项，进而求出通项，再逐项判断得解. 【详解】设等比数列的公比为，由 得，解得，由，解得， 对于A，，数列是单调递增数列，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 题型二：公式法求等比数列的和 1．已知为等比数列，，，那么的公比为 ，数列的前5项和为 . 【答案】 /0.5 31 【分析】利用等比数列的通项公式，列出方程求得数列的公比，再由数列构成首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的求和公式即可求出． 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 可得，解得， 又由，且，所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 则数列的前项和为． 故答案为：；31 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，6a1＋a3＝30，则Sn＝ ． 【答案】或 【分析】根据条件建立方程组求出，，即可求出前项和. 【详解】设等比数列{an}的公比为，则，解得：，或， 当时，， 当时，， 故答案为：或， 3．设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，直接求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 故选：C. 4．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，则，代入计算即可得到，继而得到. 【详解】数列满足，则， ， 则 ， 故选：A. 5．记正项严格递增等比数列的前项和为，且满足，，则 . 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列项的基本量运算求出的值，根据等比数列的求和公式化简计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，因，， 可得：，由②可知，故可得：（*）， 将其代入①，化简得，解得或 分别代入（*），可得或， 因为正项严格递增等比数列，故，即， 则，故. 故答案为：. 6．求值： ． 【答案】 【解析】该式可拆为一个等差数列的和与一个等比数列的和，分别利用等差、等比的求和公式，即可求出结果． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题主要考查分组转化法求数列的和，同时考查等差、等比数列的前项和公式．若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和． 题型三：等比数列片段和性质及应用 1．已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的片段和的性质可得也成等比数列，借助于等比中项列式求解即得. 【详解】等比数列中，， 因也成等比数列，则， 即，解得：. 故答案为: . 2．在等比数列中，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据等比数列性质利用整体的比值求出公比满足，即可计算出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，即得； 因此. 故答案为： 3．已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 4．已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【详解】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D 5．已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【答案】21 【分析】根据等比数列的性质进行计算求值. 【详解】因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：21 6．记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质可得. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 因，则，故，解得. 故选：B 7．记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比. 【详解】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 8．已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质以及片段和，求出等比数列公比由前项和公式即可得解. 【详解】等比数列的公比为， 因为，且， ，，故， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得， 故选：B. 题型一：错位相减法求和问题 1．已知数列中，，则数列的前9项和为 ． 【答案】 【解析】由，得到，两式相减整理计算即可得答案. 【详解】解：数列的前9项和 ， ， 两式相减得， . 故答案为：. 2．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用递推式得出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出，进而求解即可. （2）利用错位相减法求解数列前项和即可. 【详解】（1）由，得， 又， 是以1为首项，3为公比的等比数列， ，， 即数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 则，① 得，② ①－②得 ， 故． 3．已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． (1)求，的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)利用累乘法可求的通项公式，再利用等差数列的定义求的通项公式；(2)利用错位相减法求和. 【详解】（1）证明：∵，∴，∴， ∴， 当时，上式成立，∴ 又因为，， 所以， 所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列， 所以， 所以． （2）由（1），， 所以，① ，② 所以①②得， 所以． 4．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明. 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 又因为数列的公比为2，所以， 即，解得，所以． （2）由（1）知，则， 所以，    ① ，    ② ①②得 ． 所以． 又因为， 所以是递增数列，所以，所以． 5．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据构造法得出数列是首项为1，公比为的等比数列即可；（2）根据错位相减求前前项和即可. 【详解】（1）由题知，， 因为， 所以， 所以 因为， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 所以. （2）由（1）得， 所以  ①，   ②， 由①②错位相减得： 所以. 6．已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由的前项和即可求出等比数列的通项公式，由和即可求出等差数列的通项公式. （2）利用错位相减法即可求得数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由已知可得，，则， 即． ∵，∴， 又∵， ∴，解得，即． （2）由（1）知， 令①， ①式两边同乘得：②， 错位相减得 则． 题型二：等比数列求和公式解决实际问题 1．算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意转化为等比数列基本量的计算问题. 【详解】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C 2．洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【分析】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C 3．李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为等比数列的前项和求解. 【详解】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 4．高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元） 参考数据：，， A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6 【答案】C 【分析】本题是复利计息问题，逐年分析寻找规律，然后根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意，2025年存的2000元共存了10年，本息和为万元， 2026年存的2000元共存了9年，本息和为万元， 2034年存的2000元共存了1年，本息和为万元， 所以到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元， 故选：C. 5．如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，结合等比数列的定义、性质、前项和公式进行求解即可. 【详解】因为正方形的边长为， 所以正方形的对角线为， 所以第二个正方形的边长为， 所以第二个正方形的对角线为， 所以第三个正方形的边长为， 所以这些正方形的边长为为首项，为公比的等比数列， 所以这些正方形的面积为为首项，为公比的等比数列 因此前6个正方形面积和为， 故选：C 6．云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 1．设等比数列的前项和为，若公比，则 . 【答案】64 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质得. 故答案为：64. 2． ＝ 【答案】 【分析】根据等差数列前项和公式和等比数列前项和公式，利用分组求和即可求解. 【详解】由题意有： ， 故答案为：. 3．（多选）已知递增等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．是公差为1等差数列 D．是等比数列 【答案】BD 【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式，进行基本量的计算，可判断AB的真假；利用等差、等比数列的定义，判断数列是否为等差、等比数列，可判断CD的真假. 【详解】设的公比为，数列递增，，所以， 因为，所以，解得或（舍去）， 因为，所以，，A错误； ，，B正确； ，所以数列是等差数列，且公差为，C错误； ，又， 所以是首项为3，公比为的等比数列，D正确. 故选：BD 4．（多选）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则 B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则 D．若数列为等比数列，且，则 【答案】AC 【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A；先求出，再当时求出，判断当时有，判断B；根据等比数列的性质计算求值判断C；由题意得，可判断D. 【详解】对于A，由，正确； 对于B，数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，，错误； 对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以，正确； 对于D，由，，则，所以， 若时，由，可得， 所以，与已知条件矛盾，所以，错误. 故选：AC 5． ． 【答案】 【分析】变形得，再分组求和，结合等比数列求和公式得到答案. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 6．复印纸张按照幅面的规格分为系列，系列，系列，其中系列的幅面规格分为，所有规格的纸张的长度和幅宽的比例关系都为．将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，如此对开至规格．现有 纸各一张，若纸的幅宽为，则这张纸的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等比数列的通项公式及前n项和公式列式计算即可. 【详解】因为纸的幅宽为，则的长宽分别为，由题意可得的长宽分别为， 的长宽分别为，…， 因此，…， 则纸的面积构成以为首项，为公比的等比数列， 所以这10张纸的面积之和为. 故选：C. 7．数列的前项和为，且，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）设数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）当时，.检验，当时符合，即可得解； （2）当时，根据，即可得证； （3）利用错位相减法可得：，即可得证. 【详解】（1）当时，. 当时，. 检验，当时符合. 所以. （2）当时，， 而， 所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3. （3）由（1）（2）得， ， 所以 ① ② 由①-②得 ， 所以. 因为， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $