4.3.2 等比数列的前n项和（第1课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦“等比数列的前n项和公式（第1课时）”，以“父母的‘指数级’爱”储蓄情境导入，从1到18岁存款的等比数列求和问题切入，引导学生观察项的特征与联系，通过追问与类比，从特殊推广至一般，推导公式，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接等比数列定义与求和应用。 导学案以情境化设计激发学生用数学眼光观察现实世界，通过“错位相减法”推导过程培养逻辑推理（数学思维），公式应用强调分类讨论与方程思想，题型涵盖基础（牛刀小试）、综合（重点题型）及真题感知，助力学生掌握“知三求二”等方法，提升数学运算素养，课堂笔记模块系统梳理公式与性质，便于学生构建知识体系，适合教师引导自主探究与合作学习。

4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时） 导学案 （1）经历等比数列的前n项和公式的推导过程，让学生理解“错位相减法”,提升学生的逻辑推理核心素养. （2）通过对等比数列的前n项和公式的运用，进一步理解方程思想、分类讨论思想及转化思想，培养学生的观察、归纳、反思能力，提升学生的数学运算与逻辑推理核心素养。 情境引入 父母的“指数级”爱 在你出生那年，父母为你开设了一个特别的成长储蓄账户。他们约定： 在你 1岁生日 那天，存入 1元；2岁生日 存入 2元；3岁生日 存入 4元；4岁生日 存入 8元； …… 一直持续到你18岁成年,作为成人礼送给你做礼物. 思考：在你18岁那年生日时，父母为你共储存的了多少钱的成人礼红包呢？ 思考：易知每年存款金额是一个等比数列，如何求这个等比数列前18项的和呢? 追问：观察①式的右边每一项的特征，思考它们之间的联系，有什么办法它们之间的不同呢？ 追问：比较①②式，你有什么发现，能否求得①的和？ 思考：类比以上方法，能否将其推广至一般等比数列的前n项和的求解吗? 追问：当时，等比数列的前项和等于多少? 等比数列前n项和公式： 思考：一般地，使用等比数列求和公式时需注意什么？ 牛刀小试 练1：观察数列：，，，，…，，…，该数列的前n项和为多少呢？ 练2：已知数列满足，，则的前10项和等于 A． B． C． D． 练3： 已知正项等比数列的前n项和为，且． 证明：数列是等比数列； 思考：我们知道，当公差不为零时，等差数列前n项和公式是一个特殊的二次函数，请问等比数列前n项和公式跟什么函数有关联? 追问：探究等比数列的前n项和公式，还有其他法吗? 例7. 已知数列是等比数列． （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求． 例8 已知等比数列的首项为，前项和为．若，求公比． 例9 已知等比数列的公比，前项和为．证明：，，成等比数列，并求这个数列的公比． 思考：同学们想一想为什么题目条件中强调“公比”? 等比数列片段和性质： 等差数列：一般地，为等差数列的前n项和，则成 数列，公差为 . 类比： 等比数列的公比，前项和为，则，，成 数列，公比为 ． 题型一：公式法求等比数列的和 例题（1）等比数列中，首项，公比，那么它的前4项和的值为（     ） A． B． C． D． （2）求和： 归纳总结：含字母的等比数列求和问题 等比数列前n项和公式 前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当和 时是不同的公式形式，不可忽略的情况. 题型二：等比数列基本量的计算：知三求二 例题. 在等比数列中，(1)，，求； (2)，，求； (3)，，求； (4)，，求． 题型三：等比数列片段和性质及应用 例题：已知等比数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 题型四：错位相减法求和问题 例题：已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和． 归纳总结：错位相减法的适用条件与方法 一般地，若数列为等差数列，为等比数列且公比为,求的前项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和，即错位相减法. 在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出或的表达式； 在运用错位相减法求数列的前项和时要注意四点：①乘数(式)的选择；②对的讨论；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；④相消项中构成数列的项数. 题型五：等比数列求和公式解决实际问题 例题：中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂 盏灯笼． 1．（25-26高三上·北京西城·期中） 已知数列为等比数列，，，则首项 ；的前5项和 . 2．（25-26高三上·上海·期中） 已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 3．（25-26高二上·福建漳州·期中） 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（     ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 4．（25-26高三上·上海·期中）记为数列的前项和，若，则 ． 5．（25-26高二上·福建龙岩·期中） 已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．49 B．63 C．84 D．105 6．（25-26高三上·广东·期中） 已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 1．等比数列的前项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 _______________ _______________ 推导等比数列的前项和公式的方法叫：________________ 注：用等比数列前项和公式求和，一定要对该数列的公比 ，进行分类讨论; 2．等比数列前项和公式的函数特征 (1)当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的 (2)当公比时，因为，所以是的 . 即 3．等比数列的性质 已知为等比数列，公比为，为其前项和. （1）若，则 ； （2）当时，， ，为等比数列； （3）若等比数列共项，记为奇数项和，为偶数项和，则 ； 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时） 导学案 （1）经历等比数列的前n项和公式的推导过程，让学生理解“错位相减法”,提升学生的逻辑推理核心素养. （2）通过对等比数列的前n项和公式的运用，进一步理解方程思想、分类讨论思想及转化思想，培养学生的观察、归纳、反思能力，提升学生的数学运算与逻辑推理核心素养。 情境引入 父母的“指数级”爱 在你出生那年，父母为你开设了一个特别的成长储蓄账户。他们约定： 在你 1岁生日 那天，存入 1元；2岁生日 存入 2元；3岁生日 存入 4元；4岁生日 存入 8元； …… 一直持续到你18岁成年,作为成人礼送给你做礼物. 思考：在你18岁那年生日时，父母为你共储存的了多少钱的成人礼红包呢？ 思考：易知每年存款金额是一个等比数列，如何求这个等比数列前18项的和呢? 预设：设 —— ① 追问：观察①式的右边每一项的特征，思考它们之间的联系，有什么办法它们之间的不同呢？ 预设：①式的右边每一项都是前一项的2倍，每一项都乘2,就变成了它的后一项， 即： —— ② 追问：比较①②式，你有什么发现，能否求得①的和？ 预设： —— ① —— ② ①②两式的右边有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，即得： 所以，，此方法叫做：错位相减法. 思考：类比以上方法，能否将其推广至一般等比数列的前n项和的求解吗? 师生：设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是 ． 上式可以写成： ． ③ 若在③式两边同以，得到： ④ ③④两式的右边有很多相同的项，用③的两边分别减去④的两边，就可以消去这些相同的项，可得 ，即 ⑤ 所以，当时， ⑥ 因为，所以公式⑥还可以写成 ⑦ 追问：当时，等比数列的前项和等于多少? 师生：当时，. 综上，首项为，公比为的等比数列的前n项和的公式为： ⑧ 等比数列前n项和公式： 思考：一般地，使用等比数列求和公式时需注意什么？ 预设：(1)一定不要忽略的情况； (2)知道首项，公比和项数,可以用求其前项和；知道首项，末项和公比可以用求其前n项和； (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：首项，公比，末项，项数，前项和，知道其中任意三个量，可求其余两个量. 牛刀小试 练1：观察数列：，，，，…，，…，该数列的前n项和为多少呢？ 预设：观察数列：，，，，…，，…，可知该数列为首项为，公比为的等比数列， 故数列的前n项和. 练2：已知数列满足，，则的前10项和等于 A． B． C． D． 预设：设由题设可知数列是公比为,首项是4的等比数列. 故其前10项和为，故选：C 练3： 已知正项等比数列的前n项和为，且． 证明：数列是等比数列； 预设：设正项等比数列的公比为， ∵，∴，解得， ∴，∴，， 又，有，∴数列是首项为公比为的等比数列. 思考：我们知道，当公差不为零时，等差数列前n项和公式是一个特殊的二次函数，请问等比数列前n项和公式跟什么函数有关联? 师生：学生思考后小组交流，由小组代表展示结论. 当时，是关于n的一次函数； 当时，是一个特殊的指数型函数. 追问：探究等比数列的前n项和公式，还有其他法吗? 师生活动：本问题留作课后拓展问题，课后完成. 例7. 已知数列是等比数列． （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求． 预设：（1）因为，，所以 ． （2）由，，可得 ． 即 ． 又由，得 ． 所以 ． （3）把，，，代入，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 例8 已知等比数列的首项为，前项和为．若，求公比． 预设：若，则 ． 所以 ． 当时，由，得 ． 整理，得 ． 即 ． 所以 ． 解法二： ， 所以，所以． 例9 已知等比数列的公比，前项和为．证明：，，成等比数列，并求这个数列的公比． 证明：当时，，，， 所以，，成等比数列，公比为1． 当时，， ， 所以． 因为为常数，所以，，成等比数列，公比为． 思考：同学们想一想为什么题目条件中强调“公比”? 预设：当时，可能出现的问题. 例如，通项公式为的数列，当n为偶数时，导致结论不成立. 等比数列片段和性质： 等差数列：一般地，为等差数列的前n项和，则成等差数列，公差为. 类比： 等比数列的公比，前项和为，则，，成等比数列，公比为． 题型一：公式法求等比数列的和 例题（1）等比数列中，首项，公比，那么它的前4项和的值为（     ） A． B． C． D． 预设：由等比数列的前项和公式得：.故选：A. （2）求和： 预设：记 当时，； 当时，； 当且时, 综上，. 归纳总结：含字母的等比数列求和问题 等比数列前n项和公式 前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当和 时是不同的公式形式，不可忽略的情况. 题型二：等比数列基本量的计算：知三求二 例题. 在等比数列中，(1)，，求； (2)，，求； (3)，，求； (4)，，求． 预设：（1），，故 （2），又，故，故， （3）由，可得，即，解得或. （4），故，即 题型三：等比数列片段和性质及应用 例题：已知等比数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 预设：等比数列的前项和为，则成等比数列， 设，则，，，， 所以. 故选：D 题型四：错位相减法求和问题 例题：已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和． 预设：(1)由，得， 又，是以1为首项，3为公比的等比数列， ，，即数列的通项公式为. (2) 由(1)知，，则，① 得，② ①-②得， 故． 归纳总结：错位相减法的适用条件与方法 一般地，若数列为等差数列，为等比数列且公比为,求的前项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和，即错位相减法. 在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出或的表达式； 在运用错位相减法求数列的前项和时要注意四点：①乘数(式)的选择；②对的讨论；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；④相消项中构成数列的项数. 题型五：等比数列求和公式解决实际问题 例题：中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂 盏灯笼． 预设：依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，公比，前9项和为1533， 于是得，解得， 所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼. 故答案为：3 1．（25-26高三上·北京西城·期中） 已知数列为等比数列，，，则首项 ；的前5项和 . 预设：设数列的公比为，则. 所以. 所以. 故答案为：①1 ②11. 2．（25-26高三上·上海·期中） 已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 预设：设等比数列的公比为，因为， 当时，则，所以，则，不符合题意； 当时，则，，所以， 所以，即，所以，解得或（舍去）；综上可得. 故答案为： 3．（25-26高二上·福建漳州·期中） 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（     ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 预设：由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C 4．（25-26高三上·上海·期中）记为数列的前项和，若，则 ． 预设：当时，，解得； 当时，由，则， 所以， 即，则数列是以，公比为的等比数列，所以. 故答案为： 5．（25-26高二上·福建龙岩·期中） 已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．49 B．63 C．84 D．105 预设：由题意可知，成等比数列，所以，解得.故选：A 6．（25-26高三上·广东·期中） 已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 预设：（1）因为，，又， 所以，解得， 所以； （2）因为，即，所以， 所以， 所以，则， 所以 ，所以. 1．等比数列的前项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 _______________ _______________ 推导等比数列的前项和公式的方法叫：________________ 注：用等比数列前项和公式求和，一定要对该数列的公比 ，进行分类讨论; 【答案】 2．等比数列前项和公式的函数特征 (1)当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的 (2)当公比时，因为，所以是的 . 即 【答案】 3．等比数列的性质 已知为等比数列，公比为，为其前项和. （1）若，则 ； （2）当时，， ，为等比数列； （3）若等比数列共项，记为奇数项和，为偶数项和，则 ； 【答案】 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $