4.3.1 等比数列的概念（第2课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦等比数列性质及应用，以“理财计划选择”实际情境导入，通过例5建立与等差数列的转化联系，设置填空、思考等学习支架引导学生探究角标和等性质。 特色在于情境化问题驱动与逻辑推理培养，实际案例助力数学建模，性质探究通过追问与表格分析发展数学思维，题型涵盖性质计算、实际应用等，结合真题提升数学运算能力，有效落实核心素养。

4.3.1 等比数列的概念（第2课时） 导学案 （1）通过探究等比数列的性质的过程，让学生掌握等比数列的性质并可以熟练应用，培养学生的逻辑推理和数学运算核心素养. （2）通过利用等比数列解决实际生活中的问题的过程，培养学生的数学抽象、数学建模和数学运算核心素养. 情境引入 理财计划的选择 小明现在手里有10万，想存入银行，银行有如右图所示两种理财计划， 思考：如果你是小明，如会选择哪一种？为什么？ 例4. 用10000元购买某个理财产品一年． （1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）? （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到)? 例5 已知数列的首项． （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 填空：若数列是各项均为正的等比数列，令，则数列为_______数列， 当，令，由等差数列性质有______________________； 即________________________________________________________________， 所以：____________________________. 思考: 上述结论如果去掉条件中的“各项均为正数”,是否仍然成立? 等比数列的角标和性质： 在等比数列中，当，时， 成立, 思考: 已知且， （1）如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？ （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列? 结论：已知且， ①如果数列是 数列，那么数列是 数列； ②如果数列是各项均为正的 数列，那么数列是 数列. 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内? 追问：求解这个数学问题，我们的解题思路是什么? 分析：由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法． 由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1)． 表4.3-1 n 1 2 3 4 5 6 7 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 追问2：根据上表，你发现数列有何变化规律?你能否证明你发现的变化规律? 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减， 所以只要设法证明当时，递减，且即可． 由，得． 所以，当时，递减．又， 所以，当时，． 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 题型一：利用等比数列的性质计算 例题：(1)已知为等比数列．等比数列满足，求； (2)已知为等比数列．若，，求； (3) 已知为等比数列，若，，求的值． 方法总结：等比数列的性质 1.若数列，是项数相同的等比数列，则也是 数列. 特别地，若是等比数列，是不等于0的常数，则也是 数列. 2.在等比数列中，若，则 . 3.等比数列是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积 且等于首末两项的积. 4.在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为 . 5.在等比数列中，当成等差数列时，成 数列. 6.已知且，①如果数列是等差数列，那么数列是 数列； ②如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是 数列. 题型二：巧设元求解等比数列 例题. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 规律方法 几个数成等比数列的设法 1.三个数成等比数列设为 . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： 2.四个符号相同的数成等比数列可设为： 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： 3.四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为： 题型三：等比数列的单调性与最值问题 例题：(1)设数列的公比为,则“且”是“是递减数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 方法规律：等比数列的单调性与判断单调性的方法． 1. 等比数列的单调性如下表： 的范围 等比数列的单调性 不变 不变 2.结合数列单调性定义，从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系， 或 （作商需满足().）判断. 若满足，则是 数列；若满足，则是 数列；若满足，则是常数列. 题型四：等比数列知识解决实际问题 例题：某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月提高． (1)求第n个月消毒剂的产量； (2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内? 1．（25-26高三上·黑龙江·期中）等比数列满足，则 2．（24-25高二下·云南昭通·期末）在等比数列中，若，则（     ） A．3 B． C．2 D． 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考） 在等比数列中，是方程的两根，则等于（     ） A． B． C．或 D． 4．（25-26高三上·湖北武汉·月考） 已知等比数列满足，则 . 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习） 对于正项等比数列，“”是 “数列是单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 6．（24-25高二上·山西吕梁·期末） 数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．“下标和”性质： 在等比数列中，若，则 ； 特别地，时， ； 当时， 2.若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 3．若是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么与也都是等比数列，公比分别为 和 ． 4．“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为______； （2）若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为______，公比为______； （3）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 ____________ 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 等比数列的概念（第2课时） 导学案 （1）通过探究等比数列的性质的过程，让学生掌握等比数列的性质并可以熟练应用，培养学生的逻辑推理和数学运算核心素养. （2）通过利用等比数列解决实际生活中的问题的过程，培养学生的数学抽象、数学建模和数学运算核心素养. 情境引入 理财计划的选择 小明现在手里有10万，想存入银行，银行有如右图所示两种理财计划， 思考：如果你是小明，如会选择哪一种？为什么？ 例4. 用10000元购买某个理财产品一年． （1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）? （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到)? 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息， 本金 第1个月后的本利和 第2个月后的本利和 第3个月后的本利和 …… 第11个月后的本利和 第12个月后的本利和 …… 所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和，，，…构成等比数列． 预设：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列， 首项，公比，所以 所以，12个月后的利息为(元)． （2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是 ． 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元． 解不等式，得 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息． 例5 已知数列的首项． （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明． 证明：（1）由，，得的通项公式为 设，则 ． 又 ， 所以，是以27为首项，9为公比的等比数列． （2）由，，得 两边取以3为底的对数，得 所以 又 所以，是首项为1，公差为的等差数列 填空：若数列是各项均为正的等比数列，令，则数列为_______数列， 当，令，由等差数列性质有______________________； 即________________________________________________________________， 所以：____________________________. 预设：等差 思考: 上述结论如果去掉条件中的“各项均为正数”,是否仍然成立? 预设：依然成立，请同学们课后证明 等比数列的角标和性质：在等比数列中，当，时，成立, 在等比数列中，当，时，成立, 思考: 已知且， （1）如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？ （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列? 预设：（1）设等差数列是的首项为，公差为，则， 所以，，即是以为首项，为公比的等比数列. （2）数列是各项均为正的等比数列，设其首项为，公比为， 则， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列. 结论：已知且， ①如果数列是等差数列，那么数列是等比数列； ②如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内? 分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列． 思考：例3实际上是判断什么?请用数学式子予以表达. 师生：学生思考后回答：本题是判断当时，是否成立?教师引导学生认真阅读题目，解释的原因. 预设：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，．由题意，知， ，其中， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ． 追问：求解这个数学问题，我们的解题思路是什么? 分析：由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法． 由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1)． 表4.3-1 n 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 追问2：根据上表，你发现数列有何变化规律?你能否证明你发现的变化规律? 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减， 所以只要设法证明当时，递减，且即可． 由，得． 所以，当时，递减．又， 所以，当时，． 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 题型一：利用等比数列的性质计算 例题：(1)已知为等比数列．等比数列满足，求； 预设：(1)在等比数列中，，，. (2)已知为等比数列．若，，求； 预设：(2)由等比中项，，，， ，即，，. (3) 已知为等比数列，若，，求的值． 预设：(3)由等比数列的性质，， . 方法总结：等比数列的性质 1.若数列，是项数相同的等比数列，则也是等比数列. 特别地，若是等比数列，是不等于0的常数，则也是等比数列. 2.在等比数列中，若，则. 3.等比数列是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等且等于首末两项的积. 4.在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为. 5.在等比数列中，当成等差数列时，成等比数列. 6.已知且，①如果数列是等差数列，那么数列是等比数列； ②如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 题型二：巧设元求解等比数列 例题. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 预设：解法1：设这四个数依次为，a，，， 由条件得解得或 所以当，时，所求的四个数分别为0，4，8，16； 当，时，所求的四个数分别为15，9，3，1． 故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1． 解法2：设这四个数依次为，，a，，由条件得解得或 当，时，所求的四个数分别为0，4，8，16； 当，时，所求的四个数分别为15，9，3，1． 故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1． 规律方法 几个数成等比数列的设法 1.三个数成等比数列设为. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： 2.四个符号相同的数成等比数列可设为： 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： 3.四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为： 题型三：等比数列的单调性与最值问题 例题：(1)设数列的公比为,则“且”是“是递减数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 预设：由等比数列的通项公式可得，， 当且时，则，且单调递减， 则是递减数列，故充分性满足； 当是递减数列，可得或，故必要性不满足； 所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.故选：A (2)设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 预设：设,则， 当，2时，；当时，，即， 又，，，，， 故，，当时，，， 综上，当或时，取得最大值． 方法规律：等比数列的单调性与判断单调性的方法． 1. 等比数列的单调性如下表： 的范围 等比数列的单调性 单调递减 不变 单调递增 单调递增 不变 单调递减 摆动数列 2.结合数列单调性定义，从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，作差或作商（作商需满足().）判断. 若满足，则是递增数列；若满足，则是递减数列；若满足，则是常数列. 题型四：等比数列知识解决实际问题 例题：某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月提高． (1)求第n个月消毒剂的产量； (2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内? 预设：（1）设今年第n个月生产了升消毒剂，则 ， ，. （2）设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为升， 由题意，，. 则，由，得到，故当时，， 而， ， 故从第13个月起，不合格的量将始终小于100升. 1．（25-26高三上·黑龙江·期中）等比数列满足，则 预设：.故答案为：9 2．（24-25高二下·云南昭通·期末）在等比数列中，若，则（     ） A．3 B． C．2 D． 预设：. 故选：C 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考） 在等比数列中，是方程的两根，则等于（     ） A． B． C．或 D． 预设：是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 4．（25-26高三上·湖北武汉·月考） 已知等比数列满足，则 . 预设：设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习） 对于正项等比数列，“”是 “数列是单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 预设：因为为正项等比数列，设其公比为， 若，则，所以，则或（舍去）， 所以为单调递增数列，即由可以推出为单调递增数列； 若为单调递增数列，则，所以是为单调递增数列的充分必要条件. 故选：C. 6．（24-25高二上·山西吕梁·期末） 数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 预设：因为，所以数列是递减数列， ，，所以 所以时，的前n项积越来越大 ，当时，的前n项积越来越小 ， 所以当数列的前项积最大时的值为4． 故选：C． 1．“下标和”性质： 在等比数列中，若，则 ； 特别地，时， ； 当时， 【答案】 2.若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 【答案】 3．若是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么与也都是等比数列，公比分别为 和 ． 【答案】 4．“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为______； （2）若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为______，公比为______； （3）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 ____________ 【答案】 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $