4.3.1 等比数列的概念（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念（第2课时） 题型一：等比数列性质的计算 1．等比数列满足=3，则=（   ） A． B．3 C．6 D．9 2．已知等比数列，则（    ） A．14 B．32 C．16 D．54 3．已知数列是等比数列，若，则（    ） A．-2 B． C．2 D．4 4．已知在等比数列 中， ，则 . 5．在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，，等比数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 7．在等比数列中，若，则（    ） A．6 B．9 C． D． 题型二：等比数列性质的应用 1．在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 2．在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A． B．6 C．36 D． 3．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 4．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 5．已知正项等比数列，，则 ． 6．已知等比数列满足，则 . 7．已知等比数列前3项的积为27，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型三：巧设元求解等比数列 1．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为，中间两个数的和为，求这四个数. 2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，前三个数的和为，后三个数的和为，则这四个数分别为 . 3．四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数． 4．已知三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，这三个数构成的数列是 ． 5．三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列，求这三个数． 题型一：等比数列的单调性与最值问题 1．等比数列{an}的公比a1＝，则数列{an}是（     ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列 2．设，则数列是（    ） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 3．已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 4．设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知等比数列是递减数列，，，则的公比为 ． 6．在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 7．已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．是递减数列 D．存在最小值 8．已知等比数列{an}的公比q＞1，其前n项和为Sn．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为 ． 9．已知数列的前项和为，且为正整数． (1)证明：是等比数列； (2)当取到最小值时，求的值．(参考数据：) 题型二：等比数列知识解决实际问题 1．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思，今共有粮石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得石，则衰分比例为 . 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关…”其大意为：有一个人走252里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地，则此人后四天走的路程为（    ） A．里 B．192里 C．60里 D．90里 3．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲､乙､丙､丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲､乙､丙､丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲､丙所得之和为石，则“衰分比”为（    ） A． B． C． D． 4．某工厂今年年初贷款a万元,年利率为r(按复利计算),从今年末起,每年年末偿还固定数量金额,5年内还清,则每年应还金额为万元. A． B． C． D． 5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 A．人 B．人 C．人 D．人 6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 1．在等比数列中，若，则 . 2．设，若3是与的等比中项，则的最大值是 . 3．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 4．已知三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于 . 5．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．中国古代数学著作《九章算术》中的很多题目取材于现实生活，有很强的应用性和趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的：一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装400个栗子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一个，第二只猴子取走剩下的一半多一个，……所有猴子均按此规则依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，则这群猴子的只数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 等比数列的概念（第2课时） 题型一：等比数列性质的计算 1．等比数列满足=3，则=（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即得. 【详解】在等比数列中，由，得. 故选：D 2．已知等比数列，则（    ） A．14 B．32 C．16 D．54 【答案】B 【分析】由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【详解】由题意可知. 故选：B 3．已知数列是等比数列，若，则（    ） A．-2 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据等比数列下标的性质可得. 【详解】由题可知：. 故选：C 4．已知在等比数列 中， ，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列通项公式的基本量计算，结合等比数列的性质求值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，即，所以，即. 所以． 故答案为：9. 5．在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的项的性质化简求解. 【详解】在等比数列中，， 则 则. 故选：B. 6．在等差数列中，，等比数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质有，即可求出，再由等比数列的性质有即可求解. 【详解】由等差数列下标和性质知，， 则由等比数列下标和性质可知， 故选：A. 7．在等比数列中，若，则（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列性质直接求解即可. 【详解】因为，所以（负值舍去）， 所以. 故选：A. 题型二：等比数列性质的应用 1．在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的下标性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 所以，设等比数列的公比为， 由， 所以， 故选：C 2．在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A． B．6 C．36 D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理及等比数列的性质求解. 【详解】∵是方程的两个根， ∴， 由， ∴由. 故选：D. 3．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 【答案】B 【分析】为等比数列，得到，结合对数运算法则得到. 【详解】为等比数列，，故， 且， 故. 故选：B 4．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质及对数运算计算得解. 【详解】等比数列的各项均为正数，且， . 故选：C 5．已知正项等比数列，，则 ． 【答案】58 【分析】根据等比数列的性质求解． 【详解】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：58. 6．已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列下标和的性质可得，从而可求解. 【详解】由题意得，所以. 故答案为：. 7．已知等比数列前3项的积为27，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可得，即可根据基本不等式求解. 【详解】设等比数列的公比为，已知前项的积为，即. 因为，所以，解得. 所以，. 所以 . 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：D 题型三：巧设元求解等比数列 1．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为，中间两个数的和为，求这四个数. 【答案】、、、或、、、. 【分析】设这四个数为、、、，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可确定这四个数. 【详解】设前三个数分别为、、，则第四个数为. 由题意得，解得或. 当，时，这四个数为、、、； 当，时，这四个数为、、、. 【点睛】方法点睛：巧设等差数列、等比数列的方法： （1）若三个数成等差数列，常设为、、，若三个数成等比数列，常设为、、； （2）若四个数乘等比数列，可设为、、、；若四个正数成等比数列，可设为、、、. 2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，前三个数的和为，后三个数的和为，则这四个数分别为 . 【答案】、、、或、、、. 【分析】先利用等差中项的性质得出第二个数为，并设后两个数为，，利用后三个数之和为列方程求出的值，进而可求出四个数． 【详解】设前三个数记为、、，则，由题意可得，得， 设后三个数分别为、、，由题意可得，整理得， 解得或. 当时，则这四个数分别为、、、； 当时，则这四个数分别为、、、． 故答案为、、、或、、、． 3．四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数． 【答案】2，4，8，12或，，， 【分析】根据等比数列的特征和题意，而设四个数分别为、、、，列方程求解即可. 【详解】设四个数依次为、、、． 则，解得或． 故所求的四个位数依次为2，4，8，12或，，，． 4．已知三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，这三个数构成的数列是 ． 【答案】4，8，16或16，8，4 【分析】设这三个数分别为，，，利用乘积为512得出，再利用等比数列的性质可得，即可求出该数列. 【详解】设这三个数分别为，，， 因为，所以，解得， 又因为，，成等差数列，所以， 即，即，解得或． 当时，这三个数分别为4，8，16，当时，这三个数分别为16，8，4， 所以这三个数构成的数列是4，8，16或16，8，4． 故答案为：4，8，16或16，8，4 5．三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列，求这三个数． 【答案】或, 【详解】试题分析：根据等比数列的定义，巧设所求三个数为，，，则有，解此方程可得、的值，从而得到所求的三个数. 试题解析：设三数为或 则三数为或, 考点：1.等比数列中项公式；2.等差数列中项公式. 题型一：等比数列的单调性与最值问题 1．等比数列{an}的公比a1＝，则数列{an}是（     ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质判断可得； 【详解】解：由于公比，，所以数列是摆动数列． 故选：D 2．设，则数列是（    ） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 【答案】A 【解析】通过列举数列前项，可排除BCD，再通过等比数列的定义可得A. 【详解】解：由已知数列的前项为， 明显数列不是等差数列，也不是单调递增数列，也不是单调递减数列，排除BCD， 又当时，为常数， 故数列是等比数列. 故选：A. 3．已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的角标性质结合单调性得出公比. 【详解】由，解得或； 数列是由正数组成的递增数列，，且. 故选:：D 4．设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】充分性：设等比数列的公比为， 若， 情形一：当时，由得， 解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列； 情形二：当，由得， 解得或，     若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列； 必要性：反之，若为递增数列，则， 所以“对于任意的”是“为递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 5．已知等比数列是递减数列，，，则的公比为 ． 【答案】/0.5 【分析】设出数列的公比，将已知式利用通项展开，化简求得值，检验即得. 【详解】设等比数列的公比为，由可得，因，故得， 解得：或，因，且是递减数列，故，故. 故答案为：. 6．在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出等比数列的通项公式，解不等式，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 故，所以，且是递增数列. 由可得，可得，解得， 所以当时，，当时，， 所以当取得最小值时，. 故选：A. 7．已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．是递减数列 D．存在最小值 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质分别进行判断即可. 【详解】A：当时，，，成立，当时，，，不成立，A选项错误； B：成立，B选项正确； C：当时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，C选项错误； D：当时，存在最小值，当时，存在最大值，D选项错误； 故选：B. 8．已知等比数列{an}的公比q＞1，其前n项和为Sn．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为 ． 【答案】2＋3 【详解】分析：利用等比数列的前n项和公式可得：a1（1+q）（q2-1）=1，则，再利用基本不等式的性质即可得出． 详解：：∵S4=2S2+1， ∴S6的最小值为2＋3 故答案为2＋3 9．已知数列的前项和为，且为正整数． (1)证明：是等比数列； (2)当取到最小值时，求的值．(参考数据：) 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】(1)利用与的关系证明；(2)根据确定当为何值时，取到最小值. 【详解】（1）当时，因为， 所以 所以，所以， 即， 当时，解得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， （2）由（1）得， 所以， 由 ＝, 令即即，即， 令即即，即， 所以当时单调递减，当时单调递增， 且 , 所以当取到最小值时，的值为15. 题型二：等比数列知识解决实际问题 1．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思，今共有粮石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得石，则衰分比例为 . 【答案】 【分析】设衰分比例为，则，根据已知条件可得，即可求解. 【详解】设衰分比例为，则，则甲、乙、丙各分得，，石， 由题意可得：，即， 解得：或（舍）， 故答案为：. 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关…”其大意为：有一个人走252里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地，则此人后四天走的路程为（    ） A．里 B．192里 C．60里 D．90里 【答案】C 【分析】由题可得此人每天走的路程形成以为公比的等比数列，根据求出，即可得出所求. 【详解】由题可得此人每天走的路程形成以为公比的等比数列， 则可得，解得， 则此人后四天走的路程为里. 故选：C. 3．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲､乙､丙､丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲､乙､丙､丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲､丙所得之和为石，则“衰分比”为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可． 【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，， 又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”， 已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石， 则，， 解得：，， 故选：A 4．某工厂今年年初贷款a万元,年利率为r(按复利计算),从今年末起,每年年末偿还固定数量金额,5年内还清,则每年应还金额为万元. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】假设每年偿还x元,由题意可得,利用等比数列的前n项和公式即可得出. 【详解】假设每年偿还x元,由题意可得, 化为,解得. 故选:B. 5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】D 【分析】先由题意得出该问题是等比数列部分求和的问题，由求和公式即可解决. 【详解】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8， 所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有： , 故选D. 6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算每关收税金，由5关所收税金之和为1斤，列出方程，求出的值. 【详解】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤； 第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以， 即，解得. 故选：C. 1．在等比数列中，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用等比数列的性质可得答案. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 2．设，若3是与的等比中项，则的最大值是 . 【答案】1 【分析】利用等比中项的概念和基本不等式求解. 【详解】因为3是与的等比中项，所以，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当时取得等号， 所以的最大值是1， 故答案为:1. 3．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 【答案】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果. 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 4．已知三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于 . 【答案】28 【分析】依题意设原来的三个数依次为，，，由题意建立等式，即可求解 【详解】依题意设原来的三个数依次为，，. ∵， ∴. 又第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列， ∴， ∴，或， ∴原来的三个数为4，8，16或16，8，4. ∵， ∴原来的三个数的和等于28. 故答案为：28 5．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式，列方程求解. 【详解】由 得，所以，或（舍去）， 由，得，所以， 由，得，所以，即n的最小值为9； 故选：C. 6．中国古代数学著作《九章算术》中的很多题目取材于现实生活，有很强的应用性和趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的：一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装400个栗子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一个，第二只猴子取走剩下的一半多一个，……所有猴子均按此规则依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，则这群猴子的只数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】首先设共有只猴子，第只猴子取栗子的个数为，根据题意得到，从而得到，根据，得到，再根据求解即可. 【详解】设共有只猴子，第只猴子取栗子的个数为， 则第只猴子取栗子后，所剩栗子的个数为， 故，，故， 又， 所以，得， 由题意得 即，即，即 ， 易知当且仅当时，符合题意. 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $