4.3.1 等比数列的概念（第2课时）（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦等比数列性质与应用，以复利理财情境导入，衔接等差数列知识，通过等差与等比转换关系推导角标和性质，搭建类比猜想、小组探究的学习支架。 特色在于情境激发兴趣，性质推导逻辑严谨，结合生产合格率等实际问题培养数学建模素养，类比探究与分步引导提升学生逻辑推理能力，为教师提供系统教学思路与分层例题资源。

4.3.1 等比数列的概念（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本节课的教学内容为等比数列的性质与应用.在复习首项、公比等基本概念及通项公式后，核心是探究并证明等比数列的重要性质，特别是其“角标和性质”：若，则，并推导出等比中项公式.同时，通过例题深入探究了等差数列与等比数列之间的转换关系，即若是等差数列，则是等比数列；若是各项为正的等比数列，则是等差数列，此关系是证明角标和性质的关键桥梁.教学内容还包括利用这些性质简化运算（如求特定项的积）、解决实际问题（如复利计算与生产模型中的最值问题），并对等比数列的单调性进行了系统总结，结合公比q和首项a1的正负进行分类讨论.最后通过真题演练巩固性质应用，提升学生的逻辑推理与数学建模素养. 2.内容解析 本节课是在学生已掌握等比数列概念与通项公式基础上，进一步对其性质与应用展开的深化学习.内容编排遵循“性质探究—性质应用—实际建模”的逻辑主线，体现了从特殊到一般、从理论到实践的数学思想方法. 核心内容可分为三个层次： 第一，系统性探究等比数列的性质.教材以“已知等差→探究等比”的转化关系为逻辑起点，通过证明“若等差，则等比”这一桥梁，自然推导出等比数列的角标和性质（若 ，则 ），这是本节课的理论基石.性质探究过程蕴含了类比、转化与逻辑推理的数学思想. 第二，灵活应用性质解决数学问题.内容设置了利用角标和性质、等比中项性质进行简化计算的例题（如求特定项之积、对数运算），旨在培养学生观察结构、灵活运用性质进行数学运算的能力.同时，对等比数列单调性的系统总结（依据a1与q分类讨论），将数列与函数性质深度融合，巩固了“数列是特殊函数”的认知. 第三，构建模型解决实际问题.教学内容引入复利计算、产量增长与合格率变化等综合应用问题，引导学生从复杂情境中抽象出等比数列（或等差与等比结合的）模型，并利用性质研究其最值、变化趋势，从而做出判断与预测.此过程着重培养学生的数学建模、数据分析及解决实际问题的综合素养. 综上，本节课内容环环相扣，将性质推导、数学应用与实际建模有机结合，旨在提升学生的逻辑推理、数学运算和数学建模核心素养. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探究并掌握等比数列的角标和性质，并能灵活应用该性质简化计算与解决实际问题. 1.教学目标 （1）通过探究等比数列的性质的过程，让学生掌握等比数列的性质并可以熟练应用，培养学生的逻辑推理和数学运算核心素养. （2）通过利用等比数列解决实际生活中的问题的过程，培养学生的数学抽象、数学建模和数学运算核心素养. 2.目标解析 （1）本目标聚焦于等比数列性质的形成过程与应用能力.它强调学生应通过主动探究（如从等差、等比数列的转换关系出发），逻辑推导出如“角标和性质”等核心结论，而非机械记忆.掌握性质后，需能在各类计算题中（如求积、对数运算）灵活识别结构、选择并应用恰当性质进行高效、准确的运算，从而同步提升逻辑推理的严谨性与数学运算的熟练度. （2）本目标关注数学的应用价值与建模过程.它要求学生能将“等比数列”作为工具，去刻画和解决如复利、增长率等实际情境中的问题.关键在于培养学生从复杂文字描述中抽象出关键变量、识别等比关系（或等差与等比的综合关系）、建立数列模型的数学抽象能力.进而通过运算分析模型，对趋势、最值做出判断，最终回归实际问题给出合理解释或预测，完成从实际问题到数学模型再回归实践的完整建模过程. 学生已系统学习了等差数列的概念、通项公式、前n项和及其性质，对研究特殊数列的基本路径“事实→概念→性质→应用”有具体感受，初步具备了类比学习的经验.同时，学生已完成了等比数列第1课时的学习，理解了等比数列的定义，能熟练运用其通项公式求基本量，并初步建立了等比数列与指数函数之间的关联认知.这些构成了本节课探究新性质的坚实认知基础. 预估的教学困难: 性质推导的逻辑跨度大：从“等差与等比数列的转换关系”出发推导“角标和性质”，这一思维链条较长，逻辑较为间接.部分学生可能无法自主建立“取对数”或“取指数”这一关键桥梁，难以理解推导过程的合理性与自然性. 性质应用的灵活性与识别困难：虽然学生能记住角标和性质的形式，但在具体问题（尤其是项数较多、下标关系不明显的综合题）中，准确识别并应用该性质进行化简或构造方程，对学生观察和分析代数结构的能力提出了较高要求. 实际问题的模型抽象障碍：面对涉及增长率、合格率变化等背景的综合应用题，学生需要从文字中同时提取出等差和等比两种数列模型，并理解其乘积或组合构成的新数列.准确进行数学语言与符号语言的转换，以及后续对该“陌生”数列（非纯等差或等比）变化规律的分析（如单调性、最值），是学生普遍面临的挑战. 应对策略: 针对困难1，教师应搭建思维“脚手架”，引导学生回顾等差数列的类似性质及其证明思路，通过类比提出猜想.关键在于展现“取对数/指数”这一转化技巧是如何从定义和已有结论（等差、等比转换关系）中自然“生长”出来的，而非直接告知.可采用小组合作探究，让学生经历从猜想到验证的完整过程. 针对困难2，教学中应设计由浅入深的例题序列.从直接应用性质求值，到需要先变形创造条件再应用，再到在综合运算中作为关键一步.通过对比分析，帮助学生总结识别适用条件的特征，积累解题经验. 针对困难3，应强化“数学阅读”指导，带领学生逐句分析条件，列表枚举初始几项以直观感知规律，辅助抽象.对于复杂数列，明确“先求通项→分析规律（列表/图象）→严格证明（如用作商法判单调）”的通用分析路径，降低思维起点，将复杂问题分解为可操作的步骤. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：等比数列角标和性质的逻辑推导过程，以及在复杂实际问题中抽象、建立并分析综合数列模型的能力. 情境引入 理财计划的选择 小明现在手里有10万，想存入银行，银行有如右图所示两种理财计划， 思考：如果你是小明，如会选择哪一种？为什么？ 教师：这就需要用到等比数列的知识 设计意图：通过贴近生活的复利理财情境，激发学习兴趣，引出等比数列应用的必要性，明确本节课学以致用的目标导向. 教学建议：引导学生聚焦两种计划的计息方式差异，尝试列式计算短期（如前3年）本利和，初步感知等比增长的威力，并顺势提问“如果存n年呢”，自然过渡到等比数列的通项与性质探究. 例4. 用10000元购买某个理财产品一年． （1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）? （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到)? 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息， 本金 第1个月后的本利和 第2个月后的本利和 第3个月后的本利和 …… 第11个月后的本利和 第12个月后的本利和 …… 所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和，，，…构成等比数列． 预设：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列， 首项，公比，所以 所以，12个月后的利息为(元)． （2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是 ． 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元． 解不等式，得 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息． 例5 已知数列的首项． （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明． 证明：（1）由，，得的通项公式为 设，则 ． 又 ， 所以，是以27为首项，9为公比的等比数列． （2）由，，得 两边取以3为底的对数，得 所以 又 所以，是首项为1，公差为的等差数列 填空：若数列是各项均为正的等比数列，令，则数列为_______数列， 当，令，由等差数列性质有______________________； 即________________________________________________________________， 所以：____________________________. 预设：等差 思考: 上述结论如果去掉条件中的“各项均为正数”,是否仍然成立? 预设：依然成立，请同学们课后证明 等比数列的角标和性质：在等比数列中，当，时，成立, 在等比数列中，当，时，成立, 思考: 已知且， （1）如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？ （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列? 师生：学生独立完成后进行展示，学生互评，教师强调符号表达的规范，并形成如下解答过程： （1）设等差数列是的首项为，公差为，则， 所以，，即是以为首项，为公比的等比数列. （2）数列是各项均为正的等比数列，设其首项为，公比为， 则， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列. 结论：已知且， ①如果数列是等差数列，那么数列是等比数列； ②如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 设计意图：通过思考探究，将例2中等差数列与等比数列间联系的一种特殊情形的思考，推广到对差数列与等比数列间联系的一般情形的思考，着重渗透特殊与一般的数学思想，发展逻辑推理素养. 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内? 分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列． 思考：例3实际上是判断什么?请用数学式子予以表达. 师生：学生思考后回答：本题是判断当时，是否成立?教师引导学生认真阅读题目，解释的原因. 预设：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，．由题意，知， ，其中， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ． 追问：求解这个数学问题，我们的解题思路是什么? 师生：由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法． 由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1)． 表4.3-1 n 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 追问2：根据上表，你发现数列有何变化规律?你能否证明你发现的变化规律? 师生：观察发现，数列先递增，在第6项以后递减， 所以只要设法证明当时，递减，且即可． 由，得． 所以，当时，递减．又， 所以，当时，． 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 设计意图：对于由等差和等比数列通过运算组合出来的新数列，学生缺乏相关的方法储备，教师应充分启发引导学生通过“求通项—用电子表格求出若干项—发现规律—证明结论”的途径进行解决.通过本例的教学可以让学生体会到，对于数列问题，一般从它的通项出发进行研究，对于一个“陌生”数列(非等差或等比数列)的通项公式，往往可以从数值、图象上寻找规律，然后通过运算、论证获得解答. 题型一：利用等比数列的性质计算 例题：(1)已知为等比数列．等比数列满足，求； 预设：(1)在等比数列中，，，. (2)已知为等比数列．若，，求； 预设：(2)由等比中项，，，， ，即，，. (3) 已知为等比数列，若，，求的值． 预设：(3)由等比数列的性质，， . 方法总结：等比数列的性质 1.若数列，是项数相同的等比数列，则也是等比数列. 特别地，若是等比数列，是不等于0的常数，则也是等比数列. 2.在等比数列中，若，则. 3.等比数列是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等且等于首末两项的积. 4.在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为. 5.在等比数列中，当成等差数列时，成等比数列. 6.已知且，①如果数列是等差数列，那么数列是等比数列； ②如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 题型二：巧设元求解等比数列 例题. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 预设：解法1：设这四个数依次为，a，，， 由条件得解得或 所以当，时，所求的四个数分别为0，4，8，16； 当，时，所求的四个数分别为15，9，3，1． 故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1． 解法2：设这四个数依次为，，a，，由条件得解得或 当，时，所求的四个数分别为0，4，8，16； 当，时，所求的四个数分别为15，9，3，1． 故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1． 规律方法 几个数成等比数列的设法 1.三个数成等比数列设为. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： 2.四个符号相同的数成等比数列可设为： 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： 3.四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为： 题型三：等比数列的单调性与最值问题 例题：(1)设数列的公比为,则“且”是“是递减数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 预设：由等比数列的通项公式可得，， 当且时，则，且单调递减， 则是递减数列，故充分性满足； 当是递减数列，可得或，故必要性不满足； 所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.故选：A (2)设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 预设：设,则， 当，2时，；当时，，即， 又，，，，， 故，，当时，，， 综上，当或时，取得最大值． 方法规律：等比数列的单调性与判断单调性的方法． 1. 等比数列的单调性如下表： 的范围 等比数列的单调性 单调递减 不变 单调递增 单调递增 不变 单调递减 摆动数列 2.结合数列单调性定义，从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，作差或作商（作商需满足().）判断. 若满足，则是递增数列；若满足，则是递减数列；若满足，则是常数列. 题型四：等比数列知识解决实际问题 例题：某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月提高． (1)求第n个月消毒剂的产量； (2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内? 预设：（1）设今年第n个月生产了升消毒剂，则 ， ，. （2）设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为升， 由题意，，. 则，由，得到，故当时，， 而， ， 故从第13个月起，不合格的量将始终小于100升. 1．（25-26高三上·黑龙江·期中）等比数列满足，则 预设：.故答案为：9 2．（24-25高二下·云南昭通·期末）在等比数列中，若，则（     ） A．3 B． C．2 D． 预设：. 故选：C 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考） 在等比数列中，是方程的两根，则等于（     ） A． B． C．或 D． 预设：是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 4．（25-26高三上·湖北武汉·月考） 已知等比数列满足，则 . 预设：设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习） 对于正项等比数列，“”是 “数列是单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 预设：因为为正项等比数列，设其公比为， 若，则，所以，则或（舍去）， 所以为单调递增数列，即由可以推出为单调递增数列； 若为单调递增数列，则，所以是为单调递增数列的充分必要条件. 故选：C. 6．（24-25高二上·山西吕梁·期末） 数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 预设：因为，所以数列是递减数列， ，，所以 所以时，的前n项积越来越大 ，当时，的前n项积越来越小 ， 所以当数列的前项积最大时的值为4． 故选：C． 1．“下标和”性质： 在等比数列中，若，则 ； 特别地，时， ； 当时， 【答案】 2.若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 【答案】 3．若是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么与也都是等比数列，公比分别为 和 ． 【答案】 4．“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为______； （2）若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为______，公比为______； （3）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 ____________ 【答案】 巩固作业：教科书第34页练习第1、2、3、4、5题 4.3.1 等比数列的概念（第2课时） 本节课的教学反思如下：本课时旨在引导学生探究并应用等比数列的性质.从复利理财情境导入，学生的兴趣被有效激发，但部分学生对年利率与计息周期的关联理解不深.在探究“角标和性质”时，通过类比等差数列，多数学生能完成猜想，但严谨的代数证明环节成为思维难点，尤其是下标运算的逻辑转换过程需更多示范与练习.将性质应用于解决实际问题（如产品合格率问题）时，学生能建立模型，但对等比与等差结合的复杂数列进行单调性分析的能力不足，体现了函数思想在数列研究中的迁移尚不熟练.整体而言，学生的逻辑推理和数学建模素养在活动中得到发展，但抽象性质向具体应用的跨越仍需搭建更细致的思维阶梯.后续教学中应增加分步引导的变式训练，强化从识别规律到规范表达的完整过程，并利用信息技术辅助分析数列变化趋势，以加深对知识本质的理解. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $