专题07 典型题专练（期末真题汇编，黑龙江专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题07 典型题专练 7大高频考点概览 考点01 求分式有无意义的条件 考点02 科学记数法 考点03 多解问题 考点04 多结论判断题 考点05 最值问题 考点06 含参数的分式方程问题 考点07 找规律问题 地 城 考点01 求分式有无意义的条件 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义 ∴， 解得， 故选：D． 2．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考·期末)关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程，再根据分式方程有解并解为正数得到关于m的不等式，然后求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得， 解得， ∵原分式方程的解为正数， ∴， 解得且， 故选：D． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，根据分式方程有解并解为正数建立不等式求解是解答的关键． 二、填空题 3．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市通河县·期末)若分式有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解． 【详解】解：由题意得：x+3≠0， 解得：x≠-3. 故答案为x≠-3． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于零． 4．(23-24八上·黑龙江绥化第八中学校·期末)若分式无意义，则x的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件：分母为0，据此列方程即可作答． 【详解】根据题意有：， 解得：， 故答案为：． 5．(23-24八上·黑龙江齐齐哈尔3校联考·期末)如果分式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件．根据“要使分式有意义，则分母不能为”，即可求解． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 6．(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数的自变量取值，根据分式分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 解得：， 故答案为：． 7．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市林口县·期末)若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 分式的值为负数， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键． 8．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)要使式子有意义，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据分母不等于0，指数幂的底数不等于0列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和零指数幂，熟练掌握分式的分母不等于0，零指数幂的底数不等于0是解题的关键． 9．(23-24八上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)若分式有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件为分母不为零，列不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 10．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)要使分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义的性质列出不等式解答即可，熟练掌握分母不等于0，分式有意义的性质是解题的关键． 【详解】解：分式有意义，分母不等于0， ， 解得：． 故答案为：． 11．(23-24八上·黑龙江哈尔滨呼兰区第四中学·期末)若使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得： 故答案为：． 12．(24-25八上·黑龙江统考·期末)分式有意义，满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义得出，然后求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 13．(24-25八上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)分式有意义，x满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件可得，解该不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 14．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔昂昂溪区·期末)分式有意义，满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件可得，解该不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 15．(24-25八上·黑龙江省七台河市·期末)若分式有意义，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 地 城 考点02 科学记数法 一、填空题 1．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市松北区·期末)雾霾已经成为现在在生活中不得不面对的重要问题，PM2.5是大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 ． 【答案】2.5×10－6 【详解】0.000 002 5=2.5×10-6， 故答案是：2.5×10－6. 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市海林市·期末)2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术，下载一个的短视频大约只需要秒，将数字用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法即可求解． 【详解】将数字用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，与较大数的科学记数法不同的是其所用的是负整数指数幂，熟记定义是解题的关键． 3．(23-24八上·黑龙江省绥化市第八中学校·期末) “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示该数据为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 4．(23-24八上·黑龙江省鸡西市虎林市·期末)纳米是一种长度单位，1纳米米，冠状病毒的直径约为120纳米，将120纳米用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法的运用，负指数的运用，同底数幂的运算，科学记数法的表示为，确定的值的方法是：原数变为时，小数点移动的位数与的绝对值相同．当小数点向右移动时，为负数；当小数点向左移动时，为正数；最后根据同底数幂的运算法则即可求解． 【详解】解：纳米=， 故答案为：． 5．(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解： 故答案为：． 6．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期末)某种秋冬流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】= 故答案为：. 【点睛】本题考查了科学记数法的表示形式，确定n的值是解题的关键. 7．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)科学家测得肥皂泡的厚度约为0.0000007米，0.0000007用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 8．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市通河县·期末)0.000035用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】根据科学记数法（，n为整数），即可得出正确答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法记小数，熟练掌握科学记数法是本题的关键． 9．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，主要表现为咳嗽、发热. 支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物中的最小者，大小约为0.0000002米，将0.0000002米用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将0.0000002米用科学记数法表示为米， 故答案为：． 10．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市宁安市·期末)生物学家发现某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 【详解】∵， 故答案为：． 11．(23-24八上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)我国神舟载人飞船与天和核心舱对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的知识，科学记数法一般形式为，其中，确定和的值是解题关键．绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为：． 12．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区·期末)一个氧原子的直径为0.000000000148m，用科学记数法表示为 m． 【答案】1.48×10﹣10． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于0.000000000148有10个0，所以可以确定n=﹣10． 【详解】解：0.000 000 000 148=1.48×10﹣10． 故答案为1.48×10﹣10． 【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定n值是关键． 13．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为.数字0.00092用科学记数法表示是 ． 【答案】9.2×10﹣4． 【分析】根据科学记数法的正确表示为,由题意可得0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣4. 【详解】根据科学记数法的正确表示形式可得: 0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣4. 故答案为: 9.2×10﹣4. 【点睛】本题主要考查科学记数法的正确表现形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的正确表现形式. 地 城 考点03 多解问题 一、填空题 1．(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝ 时，△AOP为等腰三角形． 【答案】30°或75°或120° 【分析】分三种情况当点O，点A，点P为等腰三角形顶角，利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°， 当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°， 当点P为顶点时，∠A=30°， 故答案为30°或75°或120°． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和，分类讨论思想，对于等腰三角形求角度，分类考虑点O，点A，点P为等腰三角形顶角是解题关键． 2．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考·期末)在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 度. 【答案】或 【分析】当为直角三角形时，有两种情况或，依据三角形内角和定理，结合具体图形分类讨论求解即可. 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当时， ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴， ∴， 综上，则的度数为或； 故答案为或； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及数学的分类讨论思想，能够正确进行分类是解题的关键. 3．(23-24八上·黑龙江省绥化市庆安县·期末)已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的第三边长度为 ． 【答案】或/8或6 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 第一种情况：等腰三角形的三边长分别为、和， ∵，化简得，，满足等腰三角形三边关系， ∴等腰三角形的第三边长为； 第二情况：等腰三角形的三边长分别为、和， ∵，化简得，，满足等腰三角形三边关系， ∴等腰三角形的第三边长为； 综上所述，等腰三角形的第三边长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 4．(23-24八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是，则底角的度数是 ． 【答案】或 【分析】根据题意分等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况，分别根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，， ∴， ∴ ∴三角形的底角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴三角形的顶角为， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 5．(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)已知中，，，边上的高所在的直线交于H，则 度． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．分两种情况考虑：①是锐角三角形时，先根据高线的定义求出，，然后根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：①如图1，是锐角三角形时， 、是的高线， ，， 在中，， ， ； ②是钝角三角形时，、是的高线， ，， ， ， 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 6．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 7．(24-25八上·黑龙江·调研)在等边中，点D在的延长线上，，，点E在直线上，连接．当时，的长为 ． 【答案】2或8/8或2 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 先作的高，再根据等腰三角形的性质得，然后根据勾股定理得，即可求出，接下来证明，可得，最后分类讨论，当点E在线段的延长线上，当点E在线段的延长线上，再结合图形分别求出即可． 【详解】解：在等边中，， 的高，则，． 根据勾股定理得， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 当点E在线段的延长线上，如图， ∴； 当点E在线段的延长线上，如图， ∴． 综上所述，的长为2或8． 故答案为：2或8 8．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为 ． 【答案】130°或90°． 【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=40°， ∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形， ∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°， ∴∠ADC=130°， 当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°， 故答案为130°或90°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答． 9．(23-24八上·黑龙江佳木斯抚远抚远·期末)在直角三角形中，，，直线过点，，，垂足分别为，，，，则的长是 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，同角的余角相等等知识．熟练掌握并运用相关的定理与性质是解此题的关键．分两种情况讨论：再根据已知条件证明，然后得，即可求出． 【详解】解：如图，当在直线的异侧时， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 当在直线的同侧时，如图， 同理可得：， ， ． 故答案为：2或4． 10．(23-24八上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知、，在第一象限内有一点，使是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．分别从当，时，当，时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点的坐标． 【详解】如图①， 当，时， 过点作轴于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为； 如图②， 当，时， 过点作轴于点， 同理可证得：， ，， ， 点的坐标为； 综上所述点，点的坐标为或． 11．(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)在中，，点在线段上，点在射线上，连接与射线相交于点，且是中点，则 ． 【答案】或 【分析】据题意画出两个图形分两种情况，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在线段上，点在射线上，两种情况求解； ①如图1，点在线段上， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴． ②如图2，点在射线上， 同理①可求，， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质等知识．分类讨论是解题的关键． 12．(23-24八上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)已知，其中，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，然后再以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，则的度数为 度． 【答案】或/或 【分析】本题考查了基本作图，掌握据线段的垂直平分线是解题的关键．先根据题意画出图形，再根据线段的垂直平分线求解． 【详解】解：由作图得：垂直平分， 垂直平分， 四边形是菱形， ， ， ， ，， 故答案为：150或30． 13．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，点C不在坐标轴上，且以B、O、C为顶点的三角形与以A、B、O为顶点的三角形全等，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件可知为两三角形的公共边，且为直角三角形，当和全等时，则可知为直角三角形，且有或，结合题意可得出点的坐标．解题的关键是由条件得到或． 【详解】解：点，， ，且为直角三角形， 当和全等时，则可知为直角三角形，且有公共边， 或， 当时，则点坐标为，由于点C不在坐标轴上，则该情况不符合题意； 当时，则，且， 点坐标为或； 综上可知点的坐为或， 故答案为：或． 14．(23-24八上·黑龙江牡丹江·期末)等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义，分类讨论：为锐角三角形时，①当是等腰底边上的高时，②当是等腰腰上的高时，当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：依题意有以下两种情况： （1）为锐角三角形时， 此时又有两种情况： ①当是等腰底边上的高时，如图1所示： 为等腰三角形底边上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ； ②当是等腰腰上的高时，如图2所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ． （2）当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，如图3所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ， ． 综上所述：等腰三角形底角的度数为或或． 故答案为：或或． 地 城 考点04 多结论判断题 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考·期末)如图，在中．，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上：③；④；⑤，其中正确的有（    ）． A．①②③⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义、等角对等边、线段的垂直平分线的判定及含30°角的直角三角形的性质，勾股定理逐个选项分析即可． 【详解】解：∵平分交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定定理、勾股定理，等腰三角形的判定与性质定理、含30°角的直角三角形的性质定理等知识点，属于中档题． 2．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)如图，是等边三角形，F是的中点，G是上一点，点D在延长线上，交于点H，平分交于点E，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用所学知识解决问题，根据以上知识点代入求解即可． 【详解】解：是等边三角形，， ， ， ， ， ， ，，①正确； ， ， ， ，②正确； ， 是等边三角形， ③正确； 设，则 ，④错误． 综上所述正确个数是3个， 故选：B． 3．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论： ①的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中正确结论的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴ ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴ ∴，故②正确 ∵ ， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)如图．在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②④． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，，即， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵，分别平分，∠ACB， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴，故②正确； 故选D 5．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)如图，已知，，，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（ ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握角度之间的代换是解题的关键． 根据得则有和，再利用角度相等即可求得正确，但无法求得正确与否． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 则，故②正确； ， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 因为无法判断，所以④选项不正确． 故选：A． 6．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市海林市·期末)如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解：为的角平分线， ， 在和中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过作，交的延长线于点，   ，  平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键． 7．(23-24八上·黑龙江哈尔滨道里区·期末)如图，，，点A在上，，的平分线交于M，交于P，连接交于点N，以下四个结论：①；②；③四边形的面积是面积的一半；④．一定正确的有（   ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角的判定和性质．利用证明，推出，，可证明①正确；延长交的延长线于点，证明，推出，，可证明②正确；连接，证明，推出，可证明③正确；连接，证明，推出，据此可证明④正确． 【详解】解：， ， ， 在和中 ， ， ，， ，故①正确； 延长交的延长线于点，    ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故②正确； 连接，    ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故④正确； 综上，四个结论都是正确的， 故选：D． 8．(23-24八上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)如图，已知中，，，的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F（点E不与A、B重合），，过点F作于点H，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④当时，．上述结论中始终正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质．寻找条件证明，根据全等三角形的性质对①②③的结论逐一判断；延长交的延长线于点，利用等腰三角形的性质和判定以及三角形内角和定理证明，，，，据此求解即可． 【详解】解：如图，   ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则 ， ∴，故③正确； ④延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，∴④正确； ∴正确结论为①②③④． 故选：A． 9．(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)如图，等腰中，，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③平分；④，其中正确结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题根据等腰直角三角形性质和平分，得出，利用为的中点，得出，结合直角三角形两锐角互余，推出，证明，即可得出结论①，再证明，即可得出结论④，利用，、、、四点共圆，结合圆周角定理，即可得出结论③，最后利用三角形外角证明，即可得出结论②． 【详解】解：，，， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 为的中点， ， ，， 在和中， ， ， ①正确． 在和中 ， ， ， ． ④正确． ， 、、、四点共圆， ， ， ， 平分， ③正确． ， ， ， ②正确． 综上所述，正确的有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判断，三角形外角，全等三角形的性质和判定、四点共圆，圆周角定理及推论，熟练掌握相关知识即可解题． 10．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)如图、已知是等边三角形，在外有一点D，，且，点E为上一点，点F为上一点，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，平行线的判定，线段的垂直平分线的判定和性质，延长到T，使得，连接，构造半角模型，证明②；利用线段垂直平分线的判定和性质，可证③；无法证明 ，也就无法证明，从判断①④错误，解答即可． 【详解】延长到T，使得，连接 ∵是等边三角形， ∴， ， ∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故②正确． 连接，交于点Q， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 无法证明，也就无法证明，从判断①④错误， 故选C． 二、填空题 11．(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)如图，平分，，，垂足分别是A，B．下列结论：①，②射线是对称轴，③平分，④中一定成立的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再结合四边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：平分，，， ，故①正确； 直线是对称轴，故②错误； 在和中， ， ， ，即平分，故③正确； ∵，，， ∴， ∴；故④正确； 故答案为：①③④． 12．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)如图，已知点C是平分线上的点，点分别在上，连接．如果要得到，添加以下条件中的某一个即可：①；②；③；④．请你写出所有可能的结果的序号： ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，全等三角形的判定定理有：，，，和，据此逐一分析即可求解． 【详解】①中给的条件是边边角，全等三角形判定中没有这个定理； ②，符合，可得两三角形全等，从而得到； ③，符合，可得两三角形全等，从而得到； ④；符合，可得两三角形全等，从而得到； 故答案为：②③④． 13．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点E，于点，现有下列结论： ①； ②平分； ③； ④； 其中正确的有 (请将正确结论的序号填写在横线上)． 【答案】①③ 【分析】由四边形内角和定理可求出；若DM平分∠EDF，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC为等边三角形，条件不足，不能确定，故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=AD，DF=AD，从而可证明③正确；连接BD、DC，然后证明△EBD≌△CFD，从而得到BE=FC，从而可得AB+AC=2AE，故可判断④． 【详解】解：如图所示：连接BD、DC． （1）∵，， ∴∠AED=∠AFD=90°， ∵∠EAF=60°，∠EAF+∠AED+∠AFD+∠EDF=360° ∴∠EDF=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD=360°-60°-90°-90°=120°， 故①正确； ②由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°． 假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°， 又∵∠E=∠BMD=90°， ∴∠EBM=120°． ∴∠ABC=60°． ∵∠ABC是否等于60°不知道， ∴不能判定MD平分∠EDF，故②错误； ③∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠FAD=30°． ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°． ∵∠AED=90°，∠EAD=30°， ∴ED=AD． 同理：DF=AD． ∴DE+DF=AD．故③正确． ④∵DM是BC的垂直平分线， ∴DB=DC． 在Rt△BED和Rt△CFD中 ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD． ∴BE=FC． ∴AB+AC=AE-BE+AF+FC 又∵AE=AF，BE=FC， ∴AB+AC=2AE．故④错误． 因此正确的结论是：①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及四边形的内角和等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 14．(23-24八上·黑龙江牡丹江宁安·期末)如图，的外角，的平分线，交于点P，于点E，于点F，下列结论：①平分；②；③；④，其中结论正确的为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的性质和逆定理，全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质得到，进而可判断①；证明出，得到，同理得到，进而可判断②；根据角平分线的概念得到，然后由和不一定相等得到和不一定相等可判断③；根据得到，同理得到，进而可判断④． 【详解】解：过点作于点，如图： ，分别是，的平分线，，， ，， ， 点在的角平分线上， 平分，故①正确； ，，， ，， ，分别是，的平分线， ，， 在和中， ， ， ， 同理得：， ， ， ，故②正确； ∵平分 ∴ ∵和不一定相等 ∴和不一定相等 ∴不一定等于，故③错误； ∵ ∴， 同理可证明出 ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 15．(23-24八上·黑龙江牡丹江·期末)如图，在中，，点D在边上，点F在边上，过点D作，垂足是E，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点D作，交边于点M，若M是的中点，，则．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据已知，选择适当的方法，逐一计算判断即可． 【详解】解：①在中，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故结论①正确； ②设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确； ③不妨假设是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据已知条件，无法判定是等边三角形， ∴假设是错误的． 故结论③不正确． ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 地 城 考点05 最值问题 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江哈尔滨道里区·期末)点A，B的坐标分别为，，点P在x轴上，的值最小时，点P的坐标为(   )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查最短路线问题，得到点A关于x轴的对称点的坐标，可得到直线的解析式，求得与x轴的交点即为所求点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为 ， 解得 ∴ ∴P的坐标为． 故选：C． 2．(23-24八上·黑龙江省绥化市庆安县·期末)如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过作，根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】解∶∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 过作于点，      ∵，平分， ∴， ∵点是射线上的动点， ∴的最小值为3， 故选：C． 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（    ） A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】B 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N， 则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠BAD＝120°， ∴∠HAA′＝60°， ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN， ∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°． 故选：B． 4．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为(    )        A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先根据两点之间线段最短，，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：连接，,      由作图得：是的垂直平分线， ， ， ，为的中点， ， 的面积为，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 5．(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点M，N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质等知识点，找到周长取到最小值时P点所在的位置是解题的关键．连接与交于点P，则此时周长取到最小值，则根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，M，N， ∴A，C关于对称， 连接与交于点P，则此时的周长取到最小值， ∵，点D是的中点， ∴， ∵垂直平分，点P是上的点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 6．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)如图，在平面直角坐标系中有一个等腰如图放置，，，点，，在x轴上找一点P，使最短，则点P坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质．作轴，垂足为，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，此时最短，最小值为的长，证明，求得，再求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】解；作轴，垂足为，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，此时最短，最小值为的长， ∵，∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴点P坐标为， 故选：C． 7．(24-25八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．10 【答案】C 【分析】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到． 【详解】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为，    延长两线交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，垂线段最短原理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键． 二、填空题 8．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市海林市·期末)如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短距离的计算，根据题意，连接，由三角形的面积可得，连接，当的值最小时，的周长最小，当点三点共线时，的值最小，最小值为，即，由此即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点为边的中点， ∴，， ∵底边长为，面积是， ∴， 解得，， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当的值最小时，的周长最小， 在中，， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为，即， ∴的周长为， 故答案为：11 ． 9．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市宁安市·期末)如图，等腰三角形的底边长为6，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于E、F点．若点O为边的中点，点M为线段上的一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】9 【分析】如图所示，连接，先根据三线合一定理得到，进而根据三角形面积公式求出，由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式得到的周长，则当A、O、M三点共线时，的值最小，即的周长最小，最小值为． 【详解】解：如图所示，连接， ∵等腰三角形的底边长为6，点O为边的中点， ∴， ∵等腰三角形面积是18， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴当A、O、M三点共线时，的值最小，即的周长最小，最小值为， 故答案为：9．    【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，正确作出辅助线是解题的关键． 10．(23-24八上·黑龙江佳木斯抚远抚远·期末)如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：8． 11．(23-24八上·黑龙江牡丹江·期末)如图，在中，，，点，分别在边，上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接、、，作于点，由，，求得，，则，所以，由，，且，得，即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、、，作于点， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，且， ∴， 即， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．(24-25八上·黑龙江七台河·期末)如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】作B点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接，，交于点P、Q，过作轴于D，过点作轴于E，的值最小为，由已知可证为等边三角形， 由B，G坐标和与的对称可得，，证明，可得轴，由，得四边形是平行四边形，得,证明是等边三角形，得，得即得的最小值是7． 【详解】解：作B点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接，，交于点P、Q，过作轴于D，过点作轴于E． 则，，，． 与关于y轴对称， ∴． ， 为等边三角形． ∴． ，， ，． ，． ∵， ∴． 同理，． ∴． ∴． ∴． ∴轴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵轴． ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∵， 的最小值是7． 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握平面内点的坐标特点、轴对称性质，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，平行四边形判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 地 城 考点06 含参数的分式方程问题 一、单选题 五、06单选题 1．(23-24八上·黑龙江省双鸭山市部分学校·期末)若关于x的分式方程有增根，则a的值为（   ） A．−3 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】去分母化分式方程为整式方程，将增根x=2代入整式方程即可求得． 【详解】解：， 去分母，得：． ∵分式方程有增根， ∴增根为x=2， 将x=2代入整式方程，得：， 得：． 解得 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 2．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市第四中学·期末)若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴，，即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键． 3．(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的解的含义，先解方程得到，再由方程的解为正数，得到，再由，可得，从而可求a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：A． 4．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市宁安市·期末)若分式方程无解，则m的值为（     ） A．－1 B．－3 C．0 D．－2 【答案】B 【详解】试题解析：去分母得：3x=m+2（x+1）， 解得：x=m+2． m+2+1=0， 解得：m=-3． 故选B． 5．(24-25八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况． 先根据不等式组有解，得m的取值，利用分式方程有非负整数解，找出符合条件的m值，并相加得出结果． 【详解】解：由，解得：， ， 不等式组有解， ， ， ， 解得：， 关于的分式方程有非负整数解， 且， 且， 且， 所有的值为，的和为， 故选：D． 二、填空题 6．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市呼兰区第四中学·期末)若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】1. 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】方程两边都乘x﹣3， 得x﹣3m＝2m（x﹣3） ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0， 解得x＝3， 当x＝3时，m＝1 故m的值是1， 故答案为1. 【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 7．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族·期末)若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a>-2且a≠1 【分析】先把a看成常数，解出x，根据分式方程有负数解，得到一个关于a的不等式，即可求出a的取值范围. 【详解】去分母得：1-(x+3)=a 解得：x=-a-2 ∵分式方程有负数解 ∴-a-2<0且-a-2≠-3 解得：a>-2且a≠1 ∴实数a的取值范围是a>-2且a≠1. 【点睛】本题考查的是分式方程的解. 8．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是 . 【答案】且 【分析】先解分式方程，利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， ∵x为非负数， ∴，解得， ∵， ∴，即， ∴m的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用表示出的值是解题的关键． 9．(23-24八上·黑龙江牡丹江海林·期末)若关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围． 【详解】解：分式方程去分母得：，即， 根据分式方程解为负数，得到，且， 解得：且， 故答案为：且． 10．(23-24八上·黑龙江牡丹江·期末)关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算分式方程得出且，结合解是非负数，列式，即可作答． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴m的取值范围是且 故答案为：且 11．(24-25八上·黑龙江七台河·期末)若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】1或 【分析】将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况确定a的值． 本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键． 【详解】解：， 原方程去分母，得：， ， 当，即时，原分式方程无解， ， 解得：， 当时，无解，即原分式方程无解， ， 综上，a的值为或1， 故答案为：或 12．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期末)已知关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的增根．先将分式方程去分母转化为整式方程，然后根据分式方程有增根求出x的值，再把x的值代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴，则， 把代入得 ， 解得：， 故答案为：． 13．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)关于的方程无解，则 ． 【答案】5 【详解】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 根据题意可得，然后把代入整式方程中，进行计算即可解答． 【解答】解：∵， ∴， 解得：， ∵方程无解， ∴， 把代入中得：， 解得：， 故答案为：5． 14．(23-24八上·黑龙江绥化明水县·期末)已知关于的分式方程无解，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要查了分式方程无解问题．先去分母把分式方程化为整式方程，再解出，再由分式方程无解，可得，即可求解． 【详解】解：方程去分母，得： ， 解得：， ∵分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：1． 15．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为 ． 【答案】k<6且k≠3 【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零． 【详解】解：， 方程两边都乘以（x-3），得 x=2（x-3）+k， 解得x=6-k≠3， 关于x的方程程有一个正数解， ∴x=6-k＞0， k＜6，且k≠3， ∴k的取值范围是k＜6且k≠3． 故答案为k＜6且k≠3． 【点睛】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键． 16．(24-25八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查分式方程无解计算，去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求a的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 化系数为1：， ∵分式方程无解， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 17．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故答案为：1或． 地 城 考点07 找规律问题 一、填空题 1．(23-24八上·黑龙江佳木斯抚远抚远·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，则点的纵坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，点坐标的规律的计算是解题的关键． 根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质可得点，点的纵坐标的规律，由此即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴在中，，，则，， ∴，则点的纵坐标为， 同理，， ， … ∴， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 2．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质和平行线的性质可得出∥∥…，然后由和等腰三角形的判定得出=1，，，，…，由此找到规律即可解答． 【详解】∵、、均为等边三角形， ∴∠B1A1A2=∠B2A2A3=∠B3A3A4=60， A1B1=A1A2，B2A2=A2A3，B3A3=A3A4， ∴∥∥， ∵， ∴∠OB1A1=∠OB2A2=∠OB3A3=30º， ∴A1B1=OA1=1，B2A2=OA2=2OA1，A3B3=OA3=2OA2， 即， ， ， 由此类推： ， ， … ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、数字规律类探索，根据已知能得出=1，，，，…，进而找到规律是解答的关键． 3．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市讷河市·期末)如图，已知中，，，，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……，如此作下去，则第n条线段的长为 ． 【答案】或 【分析】由题意依据垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的一半得出，，进而总结规律即可得出第n条线段的长. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ 垂直平分AC， ∴, ∴, ∴, 同理, ， 可得第n条线段的长为：或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查图形规律，熟练掌握垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的一半是解题的关键. 4．(23-24八上·黑龙江省绥化市第八中学校·期末)如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决本题的关键．利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用表示出、并找出规律，再利用规律得到结论． 【详解】解：和的平分线交于点， ，． ， ． ， ． 同理可得：， ． ． 故答案为： 5．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期末)如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，由三角形的中位线定理得：分别等于的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推可求出的周长． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴分别等于的， ∵分别为的中点， ∴分别为的， ∴以此类推：的周长为的周长的，即的周长的， ∴． 则故答案为：． 6．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标规律探究，等边三角形的性质，过点作，过点作，推出的纵坐标为，即可得出结果． 【详解】解：∵点A的坐标是， ∴， ∵等边三角形，， ∴，即：的纵坐标为， 同理：，即的纵坐标为， 依次类推，可知：的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07典型题专练 ☆7大高频考点概览 考点01求分式有无意义的条件 考点02科学记数法 考点03多解问题 考点04多结论判断题 考点05最值问题 考点06含参数的分式方程问题 考点07找规律问题 目目 考点01 求分式有无意义的条件 一、单选题 1.(2425八上黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学期末)若分式千6有意义，则x的取值范围是() A.x≠6 B.x≠0 C.x≠-君 D.x≠-6 2.(23:24八上黑龙江省佳木斯市联考期末)关于x的分式方程？号=2的解为正数，则m的取值范围是 () A.m>-1 B.m≠-1 C.m>1且m≠-1D.m>-1且m≠1 二、填空题 3.(23-24八上黑龙江省哈尔滨市通河县期末)若分式+有意义，则实数x的取值范围是 4.(Q3-24八上黑龙江绥化第八中学校期末若分式无意义，则x的值是 5。(23-24八上黑龙江齐齐哈尔3校联考期末)如果分式2有意义，那么x的取值范围是一· 6.2324八上黑龙江哈尔滨松北区期末在函数y=品中，自变量x的取值范围是 7.(23-24八上黑龙江省牡丹江市林口县期末)若分式的值为负数，则x的取值范围是一， 1/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8。(23-24八上黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学期末)要使式子+(x-2)°有意义，则x的取值范围 为 9.(23-24八上黑龙江哈尔滨阿城区期末若分式：，有意义，则x的取值范围为 10.(24-25八上黑龙江省绥化市海伦市期末要使分式：有意义，则x的取值范围是一 1.(2②324八上黑龙江哈尔滨呼兰区第四中学期末)若使代数式有意义，则x的取值范围是一· 12.(24-25八上黑龙江统考期末)分式3有意义，x满足的条件为 13.(2425八上黑龙江哈尔滨巴彦县期末)分式3有意义，x满足的条件为 14.(Q425八上黑龙江齐齐哈尔昂昂溪区期末分式，有意义，x满足的条件为一， 15.2425八上黑龙江省七台河市期未)若分式，有意义，则x的取值范围是 目目 考点02 科学记数法 一、填空题 1.(23-24八上黑龙江省哈尔滨市松北区期末)雾霾已经成为现在在生活中不得不面对的重要问题，PM2.5 是大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为， 2.(23-24八上·黑龙江省牡丹江市海林市·期末)2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术，下载一 个2.4M的短视频大约只需要0.000048秒，将数字0.000048用科学记数法表示应为 3.(23-24八上·黑龙江省绥化市第八中学校期末)“墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪，为有暗香来.” 出自宋代诗人王安石的《梅花》·梅花的花粉直径约为0.000036m,用科学记数法表示该数据为 4.(23-24八上·黑龙江省鸡西市虎林市·期末)纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，冠状病毒的直径约为 120纳米，将120纳米用科学记数法表示为米. 5.(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)生物学家发现一种病毒的长度约为0.0000043米，0.0000043利用 科学记数法表示为· 6.(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期末)某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000308米，该直径用科 学记数法表示为 7.(23-24八上黑龙江省齐齐哈尔市3校联考期末)科学家测得肥皂泡的厚度约为0.0000007米，0.0000007 用科学记数法表示为一· 8.(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市通河县·期末)0.000035用科学记数法表示为 9,(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学期末)近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引 2/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 起的下呼吸道感染，主要表现为咳嗽、发热.支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物 中的最小者，大小约为0.0000002米，将0.0000002米用科学记数法表示为 米， 10.(23-24八上·黑龙江省牡丹江市宁安市·期末)生物学家发现某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据 0.0000021用科学记数法表示为 11.(23-24八上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)我国神舟载人飞船与天和核心舱对接过程的控制信息通过微波 传递.微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息.将数字0.000003用科学记数法表示应 为一· 12.(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区·期末)一个氧原子的直径为0.000000000148m,用科 学记数法表示为 m 13.(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学期末)可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的 质量仅为0.00092kg数字0.00092用科学记数法表示是 目目 考点03 多解问题 、填空题 1.(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县期末)如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运 动)，∠AON=30°，当LA= 时，△AOP为等腰三角形， N 2.(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考期末)在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD, 若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 度 3,(23-24八上·黑龙江省绥化市庆安县·期末)己知等腰三角形的两边长分别为6cm和8cm,则它的第三边长 度为一· 4.(23-24八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°， 则底角的度数是 5.(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)已知△ABC中，∠A=50°，AB,AC边上的高所在的直线交于H, 则∠BHC= 度 6.(23-24八上黑龙江牡丹江第四中学期末)已知等腰△ABC,AB=AC,过点B的一条直线把这个三角形 分成两个等腰三角形，则上C=一· 7.(24-25八上·黑龙江·调研)在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，BC=6,CD=2,点E在直线AC上， 连接AD,BE.当BE=AD时，AE的长为 3/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(23-24八上黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，点D在BC边上， 连接AD,若△ABD为直角三角形，则LADC的度数为 9.(23-24八上·黑龙江佳木斯抚远抚远期末)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线过点C, AD⊥L,BE⊥L,垂足分别为D,E,AD=3,BE=1,则DE的长是一 10.(23-24八上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)如图，在平面直角坐标系中，己知A(0,2)、B(1,0),在第一象限 内有一点C,使△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为· 11.(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)在△ABC中，∠A=85°，LB=35°，点D在线段AB上，点F在射线 BC上，连接DF与射线AC相交于点E,且∠ADE=65°，M是EF中点，则∠BCM= 12.(23-24八上黑龙江哈尔滨阿城区期末)已知△ABC,其中LACB=90,分别以点A,C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于点D,E,然后再以C为圆心，AC长为半径作弧，与直线DE交于点F,则∠FCB 的度数为度 13.(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县期末)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(2,0),点B(0,4,点 C不在坐标轴上，且以B、O、C为顶点的三角形与以A、B、O为顶点的三角形全等，则点C的坐标 为 14,(23-24八上·黑龙江牡丹江·期末)等腰三角形ABC中，高BD与一腰所夹的锐角是40°，则等腰三角形ABC 底角的度数为 目目 考点04 多结论判断题 一、单选题 1.(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考期末)如图，在△ABC中.∠BAC=90°，∠ABC=2LC,BE平分LABC 交AC于E,AD L BE于D.下列结论：①AC一BE=AE;②点E在线段BC的垂直平分线上： ③∠DAE=∠C;④BD=2DE;⑤BC=4AD,其中正确的有（)， A.①②③⑤B.①②③ C.①②③④ D.①②③④⑤ 4/16 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)如图，△ABC是等边三角形，F是BC的中点，G是AF上一点， 点D在BG延长线上，AD=AC,BD交AC于点H,AE平分LCAD交BD于点E,BG=DE.下列结论：① △BAE兰△DAG;②BD⊥AC;③△EAG是等边三角形；④AF=DE.其中正确的个数为() A A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 3.(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学期末)如图，点P为定角∠A0B的平分线上的一个定点，且 ∠MPN与LAOB互补，若LMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结 论： ①OM+OW的值不变；②∠PNM=∠POB;③MN的长不变；④四边形PMOW的面积不变，其中正确结论 的是() M P N B A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 4,(23-24八上黑龙江牡丹江林口县·期末)如图.在△ABC中，∠A=90°，BE,CD分别平分∠ABC和LACB, 且相交于F,EGIBC,CG⊥EG于点G,则下列结论①∠CEG=2LDCA;②∠DFE=135°；③∠ADC=∠GCD: ④LDFB=A;其中正确的结论是（） D A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 5.(23-24八上黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)如图，已知AB=AC,AF=AE,∠EAF=∠BAC,点C、 D、E、F共线，则下列结论，其中正确的是() 5/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①△AFB≌△AEC;②BF=CE;③LBFC=LEAF;④AB=BC A.①②③ B.①②④ c.①② D.①②③④ 6.(23-24八上·黑龙江省牡丹江市海林市·期末)如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线 上的一点，BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论：①△ABD≌△EBC; ②LBCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF.其中正确的是() A.①②③ B.①③④ C.①②④ D,①②③④ 7.(23-24八上·黑龙江哈尔滨道里区·期末)如图，△ABC,AB=AC,点A在DE上， ∠BEA=∠BAC=∠ADC=90°，∠BEA的平分线交AB于M,交BC于P,连接PD交AC于点N,以下四个结论： ①ED=EB+CD;②BP=PC;③四边形AMPN的面积是△ABC面积的一半；④AD·AM=AN·AE.一定 正确的有()个. ● B P A.1 B.2 C.3 D.4 8.(23-24八上黑龙江哈尔滨阿城区·期末)如图，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∠EPF的顶点P 是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F(点E不与A、B重合)，∠EPF=90°，过点F作FH⊥BC 于点H,给出以下四个结论：①AE=CP;②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=△ABC;④当 BP=BE时，FA一CF=2FH.上述结论中始终正确的个数有() 6/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)如图，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD⊥BC,于点 D,∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N,连接DM,下列 结论：①DF=DN;②△DMN为等腰三角形；③DM平分LBMN;④AE=NC,其中正确结论有() M B D A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 10.(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学期末)如图、已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D, AD=CD,且∠DAC=30°，点E为AD上一点，点F为CD上一点，且∠EBF=30°，下列结论：①BE=BF; ②EF=AE+CF;③LAEF=2LANB;④EF II AC.其中正确结论的个数是() E M B A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 11,(23-24八上黑龙江牡丹江林口县·期末)如图，OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别是A, B.下列结论：①AP=PB,②射线OP是对称轴，③P0平分∠APB,④∠AOB+∠BPA=180°中一定成立 的是· 7/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B 12.(24-25八上·黑龙江省佳木斯市富锦市期末)如图，己知点C是∠A0B平分线上的点，点P,P分别在0A,0B 上，连接PC,PC,PP',如果要得到OP=OP,添加以下条件中的某一个即可：①PC=PC;②PP'⊥OC;③ ∠OCP=∠OCP';④LOPC=∠OP'C.请你写出所有可能的结果的序号： B 13.(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学期末)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线 AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,现有下列结论： B M ①∠EDF=120°； ②DM平分LEDF; ③DE+DF=AD; ④AB+AC>2AE; 其中正确的有 (请将正确结论的序号填写在横线上). 14.(23-24八上·黑龙江牡丹江宁安·期末)如图，△ABC的外角∠ACN,∠MAC的平分线CP,AP交于点P, PE⊥AM于点E,PF⊥BN于点F,下列结论：①BP平分∠ABC;②LABC+2∠APC=180°；③ LCBA=2LCPB;④S△PAC=SAEAP+S△FCP,其中结论正确的为 8/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M B CF N 15.(23-24八上·黑龙江牡丹江期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC边上，点F在AB边上，过点 D作DE⊥BC,垂足是E,∠FED=∠B,4∠FDE-∠A=180°.下列结论：①2LCDE=∠A; ②BC=BF+CD;③△DEF是等边三角形，④过点D作DM⊥DE,交AB边于点M,若M是AF的中点，DM =3,则BC=9,其中正确的是 M E 目目 考点05 最值问题 一、单选题 1.(23-24八上黑龙江哈尔滨道里区期末)点A,B的坐标分别为(1,3)，(5,1)，点P在x轴上，PA+PB的 值最小时，点P的坐标为( A.(1,0) B.(3,0) C.(4,0) D.(5,0) 2.(23-24八上·黑龙江省绥化市庆安县期末)如图，己知∠A0B=60°，OC平分LA0B,点P在0C上，PD10A 于点D,OP=6,点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为() B A.4 B.2 C.5 D.3 3.(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学期末)如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D= 90°，在BC、CD上分别找一点M、N,使△4AMN周长最小，则LAMN+∠AM的度数为() 9/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.130° B.120° C.110° D.100° 4.(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,△ABC的面积为 16,BC=4,分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于E,F,连接EF,D为BC的中点， M为直线EF上任意一点.则BM+MD长度的最小值为() M E米 F A.6 B.8 C.10 D.12 5.(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,边AC的垂直平分线MN分别交 AB,AC于点M,N,点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD,PC,若LA=a,∠CPD=B, 当△PCD周长取到最小值时，a,B之间的数量关系是(） B D A.a=B B.a+B=90° C.a+β=180° D.以上都不正确 6.(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学期末)如图，在平面直角坐标系中有一个等腰△ABC如图放置， AB=BC,∠ABC=90°，点C(0,2),OB=3,在x轴上找一点P,使AP+CP最短，则点P坐标为() 10/16