5.3.1 函数的单调性与导数（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

第5章 一元函数的导数及应用 5.3.1 函数的单调性与导数（第2课时） 人教A版·选择性必修第二册· 学习目标 1.巩固函数单调性与导数正负的核心关系，能熟练掌握利用导数求不含参函数单调区间的步骤。 2.掌握含参数函数单调性的分类讨论方法，能根据参数范围确定函数单调区间。 3.理解函数增长快慢与导数绝对值的内在联系，能结合图象直观判断函数变化速率。 4.会运用函数单调性解决比较大小、解不等式等问题，形成“导数—单调性—应用”的解题链条。 目录 CATALOG 01.不含参函数的单调区间求解 03.题型强化训练 02.函数单调性的综合应用 04.小结及随堂练习 5.3.1 函数的单调性与导数（第2课时） 01 不含参函数的 单调区间求解 导入新知1：汽车行驶的速度变化与路程函数 同学们，日常生活中我们都坐过汽车，假设汽车在一条笔直的公路上行驶，其行驶的路程 s（单位：km）与行驶时间 t（单位：h）的函数关系为 s(t)=13t3−12t2−2t+1。 大家想一想，汽车在行驶过程中，什么时候加速、什么时候减速呢？如果我们用函数单调性来描述，加速时路程函数是单调递增的，减速时是单调递减的。 那我们该如何快速判断这个三次函数的单调区间，从而确定汽车的加速和减速时段呢？ 导入新知2：不同理财产品的收益增长对比 大家都知道爸爸妈妈会选择不同的理财产品来打理资金，假设有两种理财产品，收益 y（单位：元）与投资时间 x（单位：年）的函数关系分别为：理财产品A是 y=lnx，理财产品B是 y=x3（x>0）。 同学们思考一下，在投资初期和长期投资后，这两种理财产品的收益增长速度有什么不一样？为什么有的理财产品前期涨得慢，后期涨得快，而有的却相反呢？其实这背后就藏着函数增长快慢与导数的关系。 引入新知 上节课，我们学习了函数的导数与其单调性的关系，你能具体说说么？ 【问题1】 7 引入新知 【追问】 8 引入新知 9 新课探究 【问题2】 解： 10 新课探究 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 x 11 新课探究 【追问1】 12 新课探究 【追问2】 相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究三次函数单调性有何优势? 利用导数判断三次函数的单调性，只需对三次函数的导函数，即二次函数的正负进行研究，只需要解一元二次不等式，相较于利用函数单调性定义的方法更简便. 13 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数（含参）的单调区间 牛刀小试 利用导数求函数（含参）的单调区间 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数的单调区间（不含参） 02 函数单调性 的综合应用 5.3.1 函数的单调性与导数（第2课时） 新课探究 【问题3】 解： 21 新课探究 【问题3】 解： 22 新课探究 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 因此，导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 23 新课探究 【追问】 导数的绝对值如果在某一范围内递增，说明原函数在这个范围内切线的斜率的绝对值越来越大，即在这个范围内变化得越快；反之，函数在这个范围内变化得越慢. 24 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数与导函数图象之间的关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数与导函数图象之间的关系 新课探究 导数的符号与绝对值大小对函数的影响 导数的符号 反映了函数在某个区间上的单调性 导数符号位正，则函数在对应区间上的单调递增 导数符号位负，则函数在对应区间上的单调递减 导数的绝 对值大小 反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度 导数的绝对值如果在某一范围内递增 原函数在这个范围内切线的斜率的绝对值越来越大 原函数在这个范围内变化的越快 导数的绝对值如果在某一范围内递减 原函数在这个范围内切线的斜率的绝对值越来越小 原函数在这个范围内变化的越慢 27 新课探究 【问题4】 解： 当时，； 当时，； 当时，. 所以，，在上都是增函数.在区间上，的图象比 的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”. 所以，，的图象依次是图中的，. 因为，所以， 28 随堂演练 解： 29 随堂演练 解： 30 随堂演练 解： 31 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数的单调区间（不含参）、判断零点所在的区间 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数奇偶性的定义与判断、利用导数求函数（含参）的单调区间 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数奇偶性的定义与判断、利用导数求函数（含参）的单调区间 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数（含参）的单调区间 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数（含参）的单调区间 03 题型强化训练 5.3.1 函数的单调性与导数（第2课时） 能力提升 题型一　含参数函数的单调性 例题： 解析： 40 能力提升 题型一　含参数函数的单调性 例题： 解析： 41 能力提升 题型一　含参数函数的单调性 例题： 解析： 42 能力提升 题型一　含参数函数的单调性 例题： 解析： 43 能力提升 题型一　含参数函数的单调性 例题： 解析： 44 能力提升 题型一　含参数函数的单调性 例题： 解析： 45 能力提升 题型一　含参数函数的单调性 例题： 解析： 46 能力提升 方法规律 含有参数的函数单调性的解题技巧 47 能力提升 题型一　含参数函数的单调性 变式训练： 解析： 48 能力提升 题型一　含参数函数的单调性 变式训练： 解析： 49 能力提升 题型一　含参数函数的单调性 变式训练： 解析： 50 应用新知 题型二　根据函数的单调性求参数（范围） 例题： 解析： 51 应用新知 题型二　根据函数的单调性求参数（范围） 例题： 解析： 故选：A. 52 应用新知 题型二　根据函数的单调性求参数（范围） 例题： 53 应用新知 解析： 54 应用新知 解析： 55 能力提升 总结归纳 56 能力提升 变式训练2： 解析： 题型二　根据函数的单调性求参数（范围） 57 能力提升 变式训练3： 解析： 题型二　根据函数的单调性求参数（范围） 58 能力提升 变式训练4： 解析： 题型二　根据函数的单调性求参数（范围） 59 应用新知 题型三　函数单调性的应用——比较大小 例题： 60 应用新知 解析： 61 应用新知 题型三　函数单调性的应用——比较大小 例题： 解析： 62 能力提升 总结归纳 63 能力提升 总结归纳 64 能力提升 变式训练5： 题型三　函数单调性的应用——比较大小 65 能力提升 解析： 66 能力提升 变式训练6： 题型三　函数单调性的应用——比较大小 67 能力提升 解析： 68 应用新知 题型四　函数单调性的应用——解不等式 例题： 解析： 69 应用新知 题型四　函数单调性的应用——解不等式 例题： 解析： 70 能力提升 总结归纳 71 能力提升 变式训练7： 题型四　函数单调性的应用——解不等式 72 能力提升 解析： 73 能力提升 变式训练8： 题型四　函数单调性的应用——解不等式 74 能力提升 解析： 75 能力提升 解析： 76 04 小结及随堂练习 5.3.1 函数的单调性与导数（第2课时） 课堂小结 78 作业 教科书第97页习题5.3第2题 第99页习题5.3第13题 5.3.1 函数的单调性与导数（第2课时） 巩固作业答案 教科书第99页习题5.3第2题 解： 80 巩固作业答案 教科书第99页习题5.3第2题 解： 81 巩固作业答案 教科书第99页习题5.3第13题 82 巩固作业答案 教科书第99页习题5.3第13题 解： 83 巩固作业答案 教科书第99页习题5.3第13题 解： 84 巩固作业答案 教科书第99页习题5.3第13题 解： 2、 85 THANKS 感谢您的聆听 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减． 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数的单调性： 第2步，求出导数的零点； 第1步，确定函数的定义域； 第3步，用 的零点将 的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各自区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性． 一般地，求解函数的步骤有哪些？ 形如的函数应用广泛， 下面我们利用导数来研究这类函数的单调性． 函数的定义域为．对求导数， 令，解得，或．和把函数定义域划分成三个区间， 在各自区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示． 得． 求函数的单调区间． 所以，在和上单调递增， 在上单调递减，如图5.3-6所示． 设且,则 很难发现在哪些区间内符号是确定的. 你能利用函数单调性的定义求函数的单调区间吗？ 1.已知连续函数 的导函数为 ，如图是函数 在 上的图象，则（    ）    A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递减 C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递增 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 2.若函数 恰好有三个单调区间，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】，则，， 当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍； 当，即或时，的两根为，且， 则得或；得， 则 在和上单调递增， 在上单调递减， 则恰好有三个单调区间，满足题意， 故实数的取值范围是. 故选：C. 3.已知函数 ，则 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为， 则，因为，由， 可得，故函数的单调递增区间为.故选：A. 4.函数 的单调递减区间是（    ） A． B． C． 和 D． 【详解】的定义域为， 由题得，令，得， 因为，所以函数的单调减区间为和， 故选：C. 区间上增长的快慢? 对数函数的导数为， 所以在区间上单调递增． 当x越来越大时，越来越小， 所以函数增长得越来越慢， 图象上升得越来越“平缓”（如图） 如何说明对数函数与幂函数在 区间上增长的快慢? 幂函数的导数为， 所以在区间上单调递增． 当x越来越大时，越来越大， 所以函数增长得越来越快， 图象上升得越来越“陡峭”（如图）． 如何说明对数函数与幂函数在 如何理解函数增减的快慢与函数在某一范围内 导数的绝对值有关? 5.已知函数 的部分图象如图所示， 是函数 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由图象可得，在处的切线斜率大于在处 的切线斜率，而与两点连线的斜率介于二者之间， 结合导函数定义可得.故选：D. 6.函数 的图像如图所示，设 的导函数为 ， 则 的解集为 . 【详解】根据图象可知，当时，；当时，； 同时当或时，；当时，； 所以的解集为. 故答案为： 判断，的图象与，之间的对应关系． 设，，，两个函数的图象如图5.3-8所示． （1）因为 ， 所以 ， 令 解得 或 ， 所以函数 的单调递减区间为 和 ， 单调递增区间为 ． （2）因为 ， 所以 ， 令 解得 或 ， 所以函数 的单调递减区间为 ， 单调递增区间为 和 ． 1．判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） ； （2） ． 因为 ，所以 ， 当 时， ， 所以函数 在区间 上单调递减． 2．证明函数 在区间 上单调递减． 由图知： 时， 且为定值； 时， 单调递减， 且在 上 ，在 上 ； 时， 单调递增， 且在 上 ，在 上 ； ， 单调递增且为斜率大于0的直线； ， 单调递增； ， 单调递减； ， 单调递减； ， 单调递增； 试画出函数 图象的大致形状． 函数 的图象如图所示． 7.（多选题）已知函数 的定义域为 ，其导数 满足 ，则（   ） A． B． C． D． 【详解】构造辅助函数，求导得， 因为，所以， 所以在上单调递增. 所以，所以，即，所以A正确； 根据单调性有，所以，即，所以B错误；因为，所以， 则有，即，所以C正确； 根据单调性有，，即，所以D错误. 故选：AC. 8.已知函数 ，且 ，则 所在区间可以为（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则的定义域是， ，所以在上单调递减， 因为，则．故选：B． 9.设正数 不全相等， ，函数 ．关于说法 ①对任意 都为偶函数， ②对任意 在 上严格单调递增， 以下判断正确的是（    ） A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误 【详解】函数的定义域为R，而， 对于①， ，因此函数是偶函数，①正确； 对于②，， 当时，令，求导得， 当时，，函数在上递减，则，因此， 当时，，函数在上递增，则，因此， 从而函数在上递增，同理在上都递增， 于是在上严格单调增，②正确， 故选：A 10.（多选题）函数 （ ）的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 的定义域为 ， ． 当 ，即 时， 对任意 恒成立， 所以 在 上单调递增，故C正确；当 ，即 或 时， 设方程 的两根为 ，且 ， 可知 ，可知 同号，令 ，得 ；令 ，得 或 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 故A，B正确，D错误.故选：ABC. 1）．已知函数，讨论函数的单调性； 函数的定义与为，. 当时，令得，令得， 当时，令得，令，得， 当时，不是单调函数. 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 2)．已知函数，讨论的单调性． 函数的定义域为，求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 2)．已知函数，讨论的单调性． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在上单调递增． 3）．已知函数，讨论函数的单调性． 的定义域为， ①当时， ． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 3）．已知函数，讨论函数的单调性． ②当时，令，得或． （i）当时，． 当时，，当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减． 3）．已知函数，讨论函数的单调性． （ii）当时，对恒成立， （iii）当时，， 所以在上单调递增． 当时，；当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减， 3）．已知函数，讨论函数的单调性． 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，所以在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． (1) 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响 进行分类讨论． (2) 划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定 导数为0的点和函数的间断点． (3) 含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式及 根的大小关系等方面进行讨论. 已知函数，讨论函数的单调性. 由题意得的定义域为， 当时，即，所以在上单调递减； 当时，， 令， 则， 已知函数，讨论函数的单调性. 当时，，则在上单调递增； 当时， ， 的根为， 由于，即， 当或时，，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减； 已知函数，讨论函数的单调性. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. 当时，在上单调递增； 1）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 令，则在上单调递减， 且在上恒成立， 所以，解得. 1）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． ，则， 则在区间上恒成立， 则或，解之得. 2）．已知函数，. (1) 讨论函数的单调区间； (2) 若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3) 若函数的单调递减区间是，求实数a的值. ①当时，恒成立，所以的单调递增区间是； ②当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （1）由题意知. （3）由（1）知，若的单调递减区间是， 则，解得. （2）由（1）知，若在内单调递减， 则，解得，即a的取值范围是. (2) 若函数在区间上不单调，则转化为在上有解 (需验证解的两侧导数是否异号)． （1）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件(或)，恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不 等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是不恒等于0的参数的范 围，然后检验参数取“”时是否满足题意． 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 因为的定义域为，且，令， 解得；令，解得；可知在内单调递减， 在内单调递增，若函数在上不单调，即，， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：B 若函数在区间上单调递减， 求实数a的取值范围． 由题意得，， ∵函数在区间上单调递减，即在区间上恒成立， ∴，解得或，解得 ∴实数a的取值氛围为． 若函数的单调递减区间恰为， 则实数a的值为 ． 由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为，即的解集为， ∴所以和4是的两根，∴． 故答案为：−4. A．， B．， C．， D．， 均有，则（  ） 1） ．已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增，故， 即，即． 同理，，即． 故选：A. 因为，令，定义域为， 则，当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，即.故选：D. 2)．若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 1） 利用函数单调性比较大小是常见的题型，构造恰当的函数是比较大小 的关键.结合所给条件的形式，依据函数和差积商的求导法则确定和 哪个函数进行怎样的运算，有时还可以结合选项确定所构造函数. (1) 对于，构造. (2) 对于，构造. (3) 对于，构造. (4) 对于，构造. (5) 对于，构造. (6) 对于，构造. 2）用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： A．， B．， C．， D．， 均有，则有（   ） 已知函数是定义在上的可导函数，且对于， 由题设，即， 构造函数，所以， 即在上为单调递减函数， 所以，化简得， 同理，化简得． 故选：D A． B． C． D． 则下列选项正确的是（    ）. 若满足为锐角三角形， 由于，则.即令， 则.则在内单调递增. 为锐角三角形，则,则， 则. 故，变形得到. 故选：D. 1) ．已知定义在上的函数的导函数， A． B． C． D． 且，则实数m的取值范围为（    ） 因为，所以函数在上单调递增.又， 所以 解得. 故选：C 2) .已知函数的定义域为，且满足（ A． B． C． D． 是的导函数），则不等式的解集为（    ） 令，则，即在上递增， 即，所以，解得， 又，则等价于， 原不等式解集为. 故选：C 利用函数单调性解不等式，一般可以通过所求解的不等式构造函数， 然后根据所给条件研究该函数的单调性及奇偶性等，将不等式化为 .依据构造函数的单调性，得到或. A． B． C． D． 若，且，则不等式 的解集为（     ） 已知函数及其导函数的定义域均为， 令，因为， 所以，所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A A． B． C． D． 已知函数及其导函数在定义域均为且 是偶函数，其函数图象为不间断曲线且， 则不等式的解集为（    ） 因为，则， 又因为， 即，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. （1）因为二次函数 ，所以抛物线的对称轴为 ， 所以的单调减区间为，单调增区间为； （2）因为二次函数 ，所以抛物线的对称轴为， 所以函数的单调减区间为 ，单调增区间为 2 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） （2） （3） （4）． （3）因为 ，所以 ，由于 ， （4）因为 ，所以 ， 所以函数的单调增区间为 ，无单调减区间； 令 解得 或， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为. 2 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） （2） （3） （4）． 的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值， 观察图象的形状： 13. 利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数 （1） 你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计 它的单调区间吗？ （2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间． 题设中的函数的图象，有： 在上单调递减，上单调递增，上单调递减. 即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内 为单调增或单调减，如下图所示： 1） 时，有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰， （2）1、当 时， 当 时，，则，即单调递增； 当 时， ，若，则， ， ∴时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增； 当 时， ，则，即单调递减； 当 时， ，若，则， ， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 时，，单调递减； 当 时，，对称轴为， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当 、时， ：当时，单调递增； 当时，单调递减； 当 、、时，：无单调性. $