5.3.1 函数的单调性与导数（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性（第2课时） 题型一：函数与导函数图象之间的关系 1.（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 2.（25-26高三上·北京延庆·月考）已知函数的导函数的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．函数有2个极值点 B．，使得恒成立 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上没有零点 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】由导函数图象的性质逐一判断即可. 【详解】由图象可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值， 对于A，函数有1个极大值点，故A错误； 对于B，，使得恒成立，只需即可，故B正确； 对于C，因为在区间上，所以函数在区间上单调递减，故C错误； 对于D，函数在区间上单调递减，无法判断零点情况，故D错误； 故选：B. 3.（24-25高二下·广东梅州·期末）已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（    ）    A． B． C．在处取得最小值 D．在处取得极大值 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的图像可知原函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据图象可知：当或时，， ，故在处取得极大值，在处取得极小值，因此，故BCD错误， 由于函数在单调递减，故，A正确， 故选：A 4.（2025高三·全国·专题练习）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式不等式、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据图象找出与的解集，求解作答. 【详解】由得，同号． 由图得当时，单调递增，；当，时，单调递减，． 故当时，，，； 当时，，，． 综上，的解集为． 故选：D. 题型二：利用导数求函数的单调区间（不含参） 1.（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 2.（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导得，再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】的定义域为， 由题得， 令，得， 因为， 所以函数的单调减区间为和， 故选：C. 3.（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由切线方程，可知任一点的导数为，然后由，可求单调递增区间. 【详解】因为函数的图像上任一点的切线方程为， 即函数图像在点的切线斜率，所以， 由，解得或， 即函数的单调递增区间是，. 故选：D. 4.（25-26高三上·湖南永州·开学考试）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求出，再分析各项中的的符号，进而即可得到答案． 【详解】由，则， 对于选项A，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误； 对于选项D，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：B． 题型三：利用导数求函数（含参）的单调区间 1.．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】分和两种情况讨论，即可得到的取值范围. 【详解】由于，故，从而对和均有. 这表明在和上均单调递增，从而在上递增. 由于，故. ①若，则，且等号至多对成立，所以在上单调递减. 这就意味着对有，对有，从而始终有成立，满足条件； ②若，取，使得，则对有，从而在上递增. 这就意味着有，，所以，不满足条件. 综合①②两个方面可知，实数的取值范围为. 故选：D. 2.（24-25高二下·河北张家口·月考）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】通过求导，再依据和分类讨论求其单调区间即可. 【详解】，则， ， 当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍； 当，即或时，的两根为，且， 则得或；得， 则 在和上单调递增，在上单调递减， 则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是. 故选：C. 3.（多选题）（2025·四川泸州·模拟预测）若函数的图象上存在个不同点，且在这个点处的切线的斜率相等，称该函数存在点切线，则下列说法正确的是（   ） A．函数存在点切线 B．函数存在点切线 C．若函数为单调函数，则该函数不存在点切线 D．若函数存在3点切线，则的取值范围是 【答案】ABD 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】A求导，利用三角函数的周期性可判断；B求导，当时符合；C 举反例；D题意可转化为，使得在上存在个根，通过分类讨论研究函数的单调性即可. 【详解】A ，由，得， 结合余弦函数性质可知，当时，且是周期函数，在上存在无数多个点，使得在这些点处的切线的斜率相等，故A正确； B，由得，当时，得， 此时存在两点使得在这两点处的切线的斜率相等，故B正确； C，函数在上单调递增，则， 当时，， 此时存在两点使得在这两点处的切线的斜率相等，故C错误； D，由，得， 因函数存在3点切线，则，使得在上存在个根， 令，则， 令，则， 当即时，，， 则在上单调递减， 则在上至多存在一个实数根，不符合题意； 当即或时， 若，有的对称轴，且， 则在上恒成立，则， 则在上单调递减， 则在上至多存在一个实数根，不符合题意； 若，设的两个零点为，不妨设， 则，，则， 则得；得或， 则在上单调递增，在和上单调递减， 当时，，当时，，取为和的较小值， 则当时，在上存在个根， 综上可知，若函数存在3点切线，则的取值范围是，故D正确. 故选：ABD 4.（2023·全国·模拟预测）设函数，则（    ） A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点 B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点 C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点 D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点 【答案】A 【知识点】判断零点所在的区间、利用导数求函数（含参）的单调区间、零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点 【分析】函数分段去绝对值，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】去绝对值可得. 时，，因此函数在单调递增； 时，. （i）时，，因此在单调递增. 当时，，，因此在区间有零点，且在区间和都没有零点； 当时，，故在区间和都没有零点，故C选项和D选项均错误. （ii）时，令得，因此函数在区间单调递减，在单调递增. 当时，. （1）时，在区间存在唯一零点，而在区间没有零点. （2）时，在区间没有零点. 当时，. ①时，，因此在区间和都有零点，此时，故在区间也有零点. ②时，在区间没有零点. 综上所述，本题正确答案是A. 故选：A 【点睛】方法点睛： 本题考查分段函数、函数与导数，先分段处理绝对值函数，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理探讨在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点或都没有零点对应的情况，本题分类较多，运算时间长，若要分析完善，将耗费大量时间. 题型一：利用导数研究函数的零点 1.（25-26高二下·重庆·期末）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求出导函数，排除，当时得到函数的单调性以及函数的取值范围，再列不等式组求解即可. 【详解】因为 所以 若时恒成立， 在上单调递增，函数不可能有两个不同的零点，不合题意； 所以，只有 时，，函数递减，此时 时，，函数递增，此时， 因为函数有两个不同的零点， 所以 解得 故选：D. 2.（2025·全国·模拟预测）设函数，则（    ） A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点 B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点 C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点 D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点 【答案】A 【知识点】零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点、判断零点所在的区间、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】函数分段去绝对值，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】去绝对值可得. 时，，因此函数在单调递增； 时，. （i）时，，因此在单调递增. 当时，，，因此在区间有零点，且在区间和都没有零点； 当时，，故在区间和都没有零点，故C选项和D选项均错误. （ii）时，令得，因此函数在区间单调递减，在单调递增. 当时，. （1）时，在区间存在唯一零点，而在区间没有零点. （2）时，在区间没有零点. 当时，. ①时，，因此在区间和都有零点，此时，故在区间也有零点. ②时，在区间没有零点. 综上所述，本题正确答案是A. 故选：A 【点睛】方法点睛： 本题考查分段函数、函数与导数，先分段处理绝对值函数，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理探讨在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点或都没有零点对应的情况，本题分类较多，运算时间长，若要分析完善，将耗费大量时间. 3.（多选题）（25-26高三上·山西太原·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的单调递减区间为 B．当时，有两个零点 C．若有三个零点，则的取值范围是 D．4是的极大值 【答案】ABD 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】对于A选项代入，通过在各区间符号，确定递减区间；对于B选项分别代入和得到解析式，因式分解求零点，看不同实根的个数；对于C选项，在时，求函数零点，当时，利用导数求函数的极值点，三次函数有三个零点极大值且极小值，分析的取值范围；对于D，结合选项C的推导过程即可判断. 【详解】对于A选项，当时，， 令得，符号分析：时，时，时，所以单调递减区间为，A选项正确； 对于B选项，，，， 零点为（二重），，不同实根个数为2， ，，， 零点为（二重），，不同实根个数为2，B选项正确； 对于C选项，当时，，令，可得， 函数有且只有两个零点，不满足要求， 当时，， 令，可得， 当时，若，则，函数在上单调递增， 若，则，函数在上单调递减， 若，则，函数在上单调递增， 所以为极大值，为极小值， 当时，若，则，函数在上单调递减， 若，则，函数在上单调递增， 若，则，函数在上单调递减， 所以为极大值，为极小值， 又， 函数存在三个零点的条件为极大值且极小值，， 即，又， 所以，C选项错误； 对于D选项，由选项C的推导过程可得，为极大值，，D选项正确. 故选：ABD 4.（2025·四川南充·一模）已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】别求得和，得出的单调性，作出函数的图象，得到或，求得，再由指数幂与对数的同构化简，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增； 又由，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 画出函数，和的图象，如图所示， 可得或， 可得， 又由， ①当时， 即，可得，即， 所以，所以. ②又由，可得，即， 所以，所以， 综上可得：. 故选：A. 题型二：利用导数研究不等式恒成立问题 1.（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】就、分类讨论，前者再就分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围. 【详解】当时， ， 设，则 因为，故均为上的增函数， 故在上为增函数， 若即，则在上恒成立， 故在上为增函数，故恒成立， 故为上为增函数，故恒成立， 故符合， 若即，此时，而， 故存在，使得， 且，即在上为减函数， 故，即在上为减函数， 故，与题设矛盾， 当时，设，则， 故在上为增函数，故即， 设，则， 在上为增函数，故即， 而，故， 即即，故也成立， 综上，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准. 2.（多选题）（22-23高三下·重庆渝中·月考）已知，当时，存在，，使得成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】根据题意，令，由即可判断A； 分别画出与的图像，即可判断B； 取得，即可判断CD. 【详解】由，令，所以， 令，其对称轴为，故函数在递增， 所以， 当时，即时，则函数递增， 所以. 当时，即时，存在，使得，即， 当时，，则函数递减， 所以，与矛盾， 综上，，故A正确； 由可得与在上存在分隔直线， 函数，在处的切线方程分别为:，， 所以，可得，故B正确； 取得，所以，得， 故C,D错误； 故选:AB 3.（2025·贵州铜仁·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、函数新定义 【分析】分和两种情况讨论，即可得到的取值范围. 【详解】由于，故，从而对和均有. 这表明在和上均单调递增，从而在上递增. 由于，故. ①若，则，且等号至多对成立，所以在上单调递减. 这就意味着对有，对有，从而始终有成立，满足条件； ②若，取，使得，则对有，从而在上递增. 这就意味着有，，所以，不满足条件. 综合①②两个方面可知，实数的取值范围为. 故选：D. 4.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．[0,8] 【答案】D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解． 【详解】不妨设， 因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则．定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； ， 当时，，在单调递增； 当时，需在上恒成立，即在上恒成立， 对于图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立， 需满足且， 解得， 综合可得，即的取值范围为,． 故选：D. 【点睛】方法点睛：遇到双变量函数不等式，需要集中变量转化为函数值大小关系，从而构造函数，转化为新函数单调性判断问题，再结合导数确定单调性即可得所求. 题型三：根据函数零点的个数求参数范围 1.（24-25高二下·河北张家口·月考）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】通过求导，再依据和分类讨论求其单调区间即可. 【详解】，则， ， 当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍； 当，即或时，的两根为，且， 则得或；得， 则 在和上单调递增，在上单调递减， 则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是. 故选：C. 2.（2024高二下·陕西渭南·期末）若函数在定义域内有两个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合零点存在定理可求参数的取值范围. 【详解】函数定义域为. ， 若，则，故在上为减函数， 故在上至多一个零点，与题设不合，舍. 故， 则当时，；当时，； 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为函数在上有两个零点，故， 所以，故. 此时，而，，在上有一个零点； 又由可得，故， 而， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故， 所以在上有一个零点； 综上，当时，在上有两个不同的零点， 故选：D. 【点睛】思路点睛：导数背景下函数的零点问题，应根据函数的导数讨论其单调性，再根据零点存在定理判断零点的个数，注意点的合适选取. 3．（24-25高二下·浙江台州·期末）已知函数，若存在实数，使得在区间上有三个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】给函数变形，把零点问题转化为两个函数图像的交点问题，分离讨论，利用导数的性质即可求出答案. 【详解】由题意得，使与在有三个交点， 则，令，则. 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 与在内不可能有三个交点. 当时，恒成立，在上单调递增， 与在内不可能有三个交点. 当时，在和上单调递增，在上单调递减，， 与在内要有三个交点，则设与相切时，切点，其中， ，即，. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 4.（多选题）（25-26高三上·贵州贵阳·期中）函数，下列说法正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．是奇函数 C．在区间上的值域为 D．若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 【答案】BD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用求导来判断三次函数的单调区间，从而可判断A,利用的解析式可判断B，利用三次函数的单调性求值域可判断C，利用函数零点个数可判断D. 【详解】对于A，由， 当，得或，即在上单调递增， 当，得，即在上单调递减， 从而可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A错误； 对于B，由， ，所以是奇函数，故B正确； 对于C，由在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 所以在区间上的值域为，故C错误； 对于D，由在上单调递增，在上单调递减， 且，当，，当，， 所以方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：BD 1.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．[0,8] 【答案】D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解． 【详解】不妨设， 因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则．定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； ， 当时，，在单调递增； 当时，需在上恒成立，即在上恒成立， 对于图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立， 需满足且， 解得， 综合可得，即的取值范围为,． 故选：D. 【点睛】方法点睛：遇到双变量函数不等式，需要集中变量转化为函数值大小关系，从而构造函数，转化为新函数单调性判断问题，再结合导数确定单调性即可得所求. 2.（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，令导函数大于0构建不等式，其解集为单调增区间. 【详解】由，得， 其中，，令，即，解得， 所以函数的递增区间是. 故选：D 3.（25-26高三上·吉林长春·月考）设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求某点处的导数值 【分析】由求，解不等式求单调区间. 【详解】定义域为，， 所以，解得， 所以，， 由解得， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 4.（2025·四川南充·一模）已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】别求得和，得出的单调性，作出函数的图象，得到或，求得，再由指数幂与对数的同构化简，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增； 又由，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 画出函数，和的图象，如图所示， 可得或， 可得， 又由， ①当时， 即，可得，即， 所以，所以. ②又由，可得，即， 所以，所以， 综上可得：. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性（第2课时) 题型一：函数与导函数 图象之间的关系 题型二：利用导数求函 基础达标题 数的单调区间（不含 参) 题型三：利用导数求函 数（含参）的单调区间 5.3.1函数的 题型一：利用导数研究 函数的零点 单调性（第2 能力提升题 题型二：利用导数研究 课时) 不等式恒成立问题 题型三：根据函数零点 的个数求参数范围 拓展培优题 基础达标题 题型一：函数与导函数图象之间的关系 1.(24-25高二下江苏南通·月考)已知函数y=∫(x的导函数y=f'(x)的图象如图所示， 则该函数的图象可能是( 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 VA -10 2.(25-26高三上北京延庆月考)己知函数f(x)的导函数f'(x)=ax+2)(x-1)2,f'(x的图 象如下图所示，则下列结论中正确的是() -2-107 3 A.函数f(x有2个极值点 B.MeR,使得f(x≤M恒成立 C.函数f(x)在区间-1,1上单调递增 D.函数f(x在区间(-2，-1)上没有零点 3.(24-25高二下广东梅州期末)已知f'(x)为函数f(x)的导函数，导函数f'(x)的图象的 大致形状如图所示，则下列关于函数∫(x)的信息，正确的是() (x 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.f(0)>f(3) B.f(3)=f(-1 C.f(x)在x=1处取得最小值 D.f(x)在x=3处取得极大值 4.(2025高三全国专题练习)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f'(x),则 f(x) 0的解集为() f(x y=f(x) A.(1,6 B.(1,4) C.-0,1 D.(1,4)U6,+0) 题型二：利用导数求函数的单调区间（不含参） 1.(2025·四川模拟预测)己知函数f(x)=lnr-3x+aaeR),则f(x)的单调递增区间为 () C.(0,3 D.3,+0 2.(25-26高三上江苏扬州月考)函数y=C的单调递减区间是() A.（-0,1 B.(1,+oo C.-0,0)和(0,1 D.(-0,0 3.（24-25高二下江苏南京期末)已知函数f(x)(x∈R)图像上任一点(x,y)处的切线方程 为y-。=(3-x)(x-)(x-x),那么函数f(x)的单调递增区间是() A.(-0,-1)U(1,3) B.(-1,I),(3,+∞) c.(-1,1)U(3,+0) D.(-0,-1),(1,3) 4.(25-26高三上·湖南永州·开学考试)函数y=xcosx-sinx在下列区间上单调递增的是() A(经》 B.（元，2π C. 3π5π 2’2 D.2π，3π 题型三：利用导数求函数（含参）的单调区间 1.(2025贵州铜仁三模)已知函数f(x)=(x-)e-x2+l,gx)=sir-ar.用 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 max{m,n表示m,n的最大值，记F(x=max{f(x),g(x}.若对任意xeR,F(x)≥0恒成 立，则实数a的取值范围为() A.-0,0] B.(0,1 C.(1,+o D.[l,+o) 2.(24-25高二下河北张家口月考)若函数f(x=x3+ax2+3x+3恰好有三个单调区间，则 实数a的取值范围是() A.（-00,-3) B.(2,+0 C.-0,-3)U(3,+0】 D.(-2,0)U(2,+0 3.(多选题)(2025四川泸州模拟预测)若函数y=∫(x)的图象上存在k个不同点 P,P,·,P(k≥2，k∈N),且在这k个点处的切线的斜率相等，称该函数y=∫(x存在k点 切线，则下列说法正确的是() A.函数f(x)=sinxcosx存在k点切线 B.函数f()=1存在k点切线 x-1 C.若函数y=f(x为单调函数，则该函数不存在k点切线 D.若函数fy=nx+9-存在3点切线，则a的取值范围是V6,+切) 4.(2023·全国模拟预测)设函数fx)=e-x-a,aeR,则() A.若f(x在区间(-2,1)和(-1,0)都有零点，则在区间(0,1)也有零点 B.若f(x)在区间(-2，-1)和(-1,0)都有零点，则在区间(0,1)没有零点 C.若f(x)在区间(-2，-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间(0,1)有零点 D.若f(x)在区间(-2，-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间(0,1)也没有零点 B 能力提升题 题型一：利用导数研究函数的零点 1.(25-26高二下.重庆.期末)若函数fx)=lr+-2x>1)有两个不同的零点，则实数a的 取值范围是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（2,+o B.(1,2 C.(1,+o D.(2,e 2.(2025.全国模拟预测)设函数fx=e-x-a,aeR,则() A.若f(x)在区间(-2，-1)和(-1,0)都有零点，则在区间(0,1)也有零点 B.若f(x)在区间(-2，-1)和(-1,0)都有零点，则在区间(0,1)没有零点 C.若f(x在区间(-2，-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间(0,1)有零点 D.若∫x)在区间(-2，-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间(0,1)也没有零点 3.(多选题)(25-26高三上山西太原期中)已知函数f(x=a3-3x2+4(a∈R),则下列 结论正确的是() A.当a=2时，f(x)的单调递减区间为0,1) B.当a=±1时，f(x有两个零点 C.若f(x)有三个零点，则a的取值范围是(-l,1 D.4是f(x)的极大值 4.(2025四川南充一模)己知函数f(x=e-x,gx=x-lnx,若直线y=a与两条曲线 y=f(x)和y=g(x共有四个不同的交点(x,)、(x2)、(x,)、（(x4,y4),且 x<x,<无<x,则+的值为《) x2+X3 A.1 B.2 C.3 D.4 题型二：利用导数研究不等式恒成立问题 1.(24-25高二上浙江宁波.期中)己知函数fx)=5e+alnx+1-(a+5x-5,若f(x≥0在 (0,+o）上恒成立，则实数a的取值范围为 2.(多选题)(22-23高三下.重庆渝中月考)已知f(x)=alnx+xaeR,a>0),当x≥1时， 存在b,c∈R,使得f(x≤bx+c≤x2成立，则下列选项正确的是() A.a∈0,1 B.be(1,2] C.c=1 D.a+b+c>2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025贵州围三模)已知函数f-(x-小e-+1,8小=sir-a,用 max{m,n表示m,n的最大值，记F(x)=maxf(x),gx}.若对任意x∈R,F(x)≥0恒成 立，则实数a的取值范围为() A.（-0,0] B.(0,1 C.(1,+o D.[l,+0 4.(24-25高三上黑龙江哈尔滨期中)已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx+1(aeR),若 x,x2∈(0，+0)，当x≠x2时， f)-f八>-2恒成立，则a的取值范围是(） x1-X2 A.(-o0,-1) B.(-0,-1] c.(0,8] D.[0,8] 题型三：根据函数零点的个数求参数范围 1.（24-25高二下.河北张家口月考)若函数f(x)=x3+ax2+3x+3恰好有三个单调区间，则 实数a的取值范围是() A.（-00,-3 B.（2,+0 C.-0,-3U(3,+0j】 D.-2,0)U2,+0) 2.(2024高二下.陕西渭南·期末)若函数f(x=ax2-lnx在定义域内有两个零点，则实数a 的取值范围是() c.e,too】 D. 3.(24-25高二下·浙江台州期末)已知函数f(x=x3-bx2+cx+1,若存在实数c,使得 f(x)在区间(-0，b]上有三个零点，则实数b的取值范围为 4.(多选题)(25-26高三上贵州贵阳·期中)函数f(x=x3-3x2,下列说法正确的是（) A.f(x在区间1,3引上是增函数 B.fx+1+2是奇函数 C.f(x)在区间-1,1上的值域为-4，-2 D.若方程f(x-m=0在R上有三个不同实根，则实数m的取值范围为-4,0) 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 拓展培优题 1.(24-25高三上·黑龙江哈尔滨，期中)已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx+1(aeR),若 x1,x2∈(0，+0)，当x≠x2时， f(x)-fxl,-2恒成立，则a的取值范围是(） x1-X2 A.(-0,-1) B.(-0,-1] C.(0,8] D.[0,8] 2.(2026高三·全国.专题练习)函数f(x)=xe-e的递增区间是() A.(-o,e) B.(1,e) C.(e,+oo) D.(e-1,+o 3.(25-26高三上吉林长春月考)设函数f(x)=ar-a-2lnx的导函数为f'(x)，且 ∫'(2)=0，则f(x)的单调递减区间为() C.（2,+o 4.(2025四川南充一模)己知函数∫(x=e-x,gx=x-lnx,若直线y=a与两条曲线 y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点(x,y)、(x,2)、(x,)、（x4,y4),且 x<x,<5<,则+的值为() x2+X3 A.1 B.2 C.3 D.4