专题09 高一上学期期末复习真题精选（压轴90题18类题型专练）（举一反三期末专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题09 高一上学期期末复习真题精选（压轴90题18类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 集合的关系与运算（共5小题） 1．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由补集、交集和并集定义依次求出、、和，再由子集定义结合交集和并集定义即可逐项判断各选项得解. 【解答过程】由题，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由图可知影部分所表示的集合为，再结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【解答过程】由图知，影部分所表示的集合为， 又，， 所以图中阴影部分所表示的集合为， 故选：A. 3．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 . 【答案】9；3 【解题思路】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【解答过程】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 4．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择见解析，答案见解析 【解题思路】（1）根据绝对值不等式的几何意义，得到，再结合条件，即可求解； （2）选择①，根据条件，结合图形，得到，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得到，即可求解. 【解答过程】（1）由，得到，即， 又因为关于不等式的解集， 所以，解得，所以实数的值为. （2）选择条件①，因为，， 又，由图知， ，解得. 选择条件②，因为，， 又，即，由图知， ，解得. 5．（24-25高一上·江西南昌·期末）在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，求得或，，结合集合的运算，即可求解； （2）由或和，若选择①②，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围；若选择③：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由不等式，解得或，可得或， 当时，可得， 则，所以． （2）解：由集合或和， 若选择①：由，即，可得，解得， 所以实数的取值范围为； 若选择②：由“”是“”的必要条件，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为； 若选择③：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为. 题型2 集合新定义（共5小题） 1．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解题思路】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案. 【解答过程】不妨设， 由，则中最多包含6个元素， 又，，三组元素不正交， 所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如， 若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是. 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【解题思路】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【解答过程】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【答案】 【解题思路】求出集合，利用题中定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合，确定集合的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数. 【解答过程】因为，则， 又因为，故， 所以，集合有个元素，故集合的真子集个数. 故答案为：. 4．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)至多只有5个，理由见解析 【解题思路】（1）根据新定义判断是否具有性质即可； （2）利用反证法，假设具有性质，可得集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾，从而得证； （3）分①5，6，7同时选，②5，6，7选2个，③5，6，7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义求解即可. 【解答过程】（1）∵，，，，， ∴具有性质． （2）假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． （3）．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个. 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【解答过程】（1）集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. （2）（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而                      下证： 一方面，且或， 即； 另一方面， 或且，即 故. 题型3 利用基本不等式求最值（共5小题） 1．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B．10 C． D．12 【答案】D 【解题思路】由得，进而利用基本不等式可得. 【解答过程】由得， 因，，故， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：D. 2．（24-25高一上·河南三门峡·期末）设非负实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最小值是4 【答案】D 【解题思路】对于ABD：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于B：根据题设条件反推即可. 【解答过程】因为非负实数满足， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为为非负实数， 当时，，的最大值不是1，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故C错误； 对于选项D：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故D正确； 故选：D. 3．（24-25高一上·福建漳州·期末）用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件有，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【解答过程】因为，所以， 则， 又，都是正数，所以，当且仅当，即时取等号， ，当且仅当，即时取等号， 故，得到，当且仅当，时取等号， 故选：B. 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】12 【解题思路】利用基本不等式中“1”的应用计算即可求得结果. 【解答过程】根据题意可知： ； 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值是12. 故答案为：12. 5．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)8 【解题思路】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解． 【解答过程】（1）， ， ，即， 当且仅当，即时，取得最大值； （2） ， 当且仅当，即时，取得最小值． 题型4 基本不等式的恒成立问题（共5小题） 1．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【解答过程】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A. 2．（24-25高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【解答过程】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可. 【解答过程】因为， 所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【解答过程】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为：. 5．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【解题思路】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【解答过程】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题（共5小题） 1．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【解答过程】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. 【解答过程】∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【解答过程】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D. 4．（24-25高一上·河南许昌·期末）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围. 【解答过程】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) (3) 【解题思路】（1）根据条件，分和两种情况，利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，令，得到，再求出的最小值，即可求解； （3）设，将问题转化成时，恒成立，从而得到，即可求解. 【解答过程】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． （2）因为，所以，，则， 令，则，得到， 设，，显然在单调递增， 当时，，当时，，所以，则， 所以，即的取值范围是． （3）设，当时，恒成立． 即成立，即， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 题型6  抽象函数的性质及应用（共5小题） 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【解题思路】利用赋值法结合题干信息逐项分析求解. 【解答过程】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【解题思路】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【解答过程】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【解答过程】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 5．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． (1)求的值，并证明为奇函数； (2)，使成立，求取值范围； (3)解不等式． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用赋值法求出，再利用奇函数定义推理得证. （2）求出在上的最大值，再由能成立问题建立不等式求解. （3）变换给定不等式，构造新函数，利用单调性、奇函数的性质求解不等式. 【解答过程】（1），都有成立， 取，得，解得； 对，取，则， 因此，所以为奇函数. （2）函数为上的增函数，则当时，， 由，使成立，得，解得， 所以取值范围是. （3） ，， 不等式， 令，则函数是奇函数，且为上的增函数， 原不等式为，即， 于是，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 题型7 函数不等式恒成立、有解问题（共5小题） 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【解答过程】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C. 2．（24-25高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【解答过程】当时，，； 因，即x每增大，对应的纵坐标都变原来的倍. 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，. 当时，由，可得，解得或， 如下图所示： 由图可知，当时，恒成立，故实数的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且.若对，，且，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构建，根据题意分析可知函数为奇函数，且在内单调递增，结合函数性质解不等式. 【解答过程】构建， 可知的定义域为，且， 所以函数为奇函数， 因为，，整理可得， 则函数在内单调递增，可知在内单调递增， 又因为，则， 当时，；当时，； 所以不等式，即的解集为. 故选：B. 4．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【解答过程】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 故答案为：． 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，由待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）由（1）可得在单调递增，结合条件转化为，然后构造函数，求得其最小值即可. 【解答过程】（1）设二次函数解析式为， 由题意可得，所以， 又函数是偶函数，则其函数图像关于轴对称， 所以的图像关于对称，即，所以， 故，所以. （2）由（1）可得，则， 当时，单调递增，则， 若，使成立， 即，即， 令， 当时，，不符合； 当时，在单调递减，则， 即，解得； 当时，在单调递增，， 即，解得，且，则； 综上所述，，即实数的取值范围为. 题型8 函数基本性质的综合应用（共5小题） 1．（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【解答过程】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D. 2．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】D 【解题思路】推导出是周期函数，是它的一个周期，并计算出，结合周期性可判断B选项；利用题中等式进行推导，结合函数的对称性可判断BC选项；分析函数在上的单调性，结合函数的周期性可判断D选项. 【解答过程】因为函数为奇函数，则， 所以，，可得， 因为函数为偶函数，则， 所以，， 所以，，所以是周期函数，是它的一个周期. 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 所以，，B对； 对于C选项，因为，即， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 对于D选项，对任意的、，且，有， 不妨设，则，所以，函数在为增函数， 因为，， 因为，则，所以，，D错. 故选：D. 3．（24-25高一上·山东德州·期末）定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 【答案】D 【解题思路】根据题意，依次分析各选项是否正确，综合可得出答案. 【解答过程】对于A，根据题意，，，当时，，，所以，故A错误； 对于B，，，所以，小数函数在定义域内不是单调递增，故B错误； 对于C，由，因为，，所以，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，的零点，即方程的根 显然不是方程的根； 当，方程化为，作出两函数与的图像如图： 由图知，两函数的交点除之外，其余的交点关于中心对称，则函数的所有零点之和为，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【解答过程】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 5．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是严格增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）求函数的定义域，根据奇函数的定义证明结论； （2）根据严格增函数的定义证明结论； （3）利用函数性质化简不等式，由条件可得不等式对于任意实数恒成立，结合二次函数性质列不等式求结论. 【解答过程】（1）由函数，可得其定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数． （2）当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，，， 所以， 即，所以函数在上是严格增函数． （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是严格增函数， 所以函数在上也是严格增函数，所以函数在上是严格增函数. 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 题型9 指数型复合函数及其应用（共5小题） 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【解题思路】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【解答过程】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数 且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】举反例判断①，②，利用函数的奇偶性判断③，利用指数函数的性质判断④即可. 【解答过程】令，此时，而， ，故函数在其定义域内不单调递减， 函数的值域不可能为；即①，②错误， 因为，的定义域关于原点对称， 故，即， 得到是奇函数，则函数的图象是中心对称图形，故③正确， 当时，，故函数的图象过定点，即④正确. 综上，其中正确结论的个数是，故B正确. 故选：B. 3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由是奇函数得，代入整理得； （2）判断单调性采用定义法，设为区间内的任意两个值，且，计算出 ，说明函数是增函数； （3）结合函数奇偶性、单调性转化为对任意恒成立恒成立，然后分类讨论求解. 【解答过程】（1）由题意可得：=， ∵是奇函数， ∴，即 ， 所以 ， ∴，即， 即. （2）是上的增函数，证明如下： 设为区间内的任意两个值，且， 则，， ∵= = ， 即， ∴是上的增函数. （3）由（1）（2）知，是上的增函数，且是奇函数. ∵， ∴， ∴， 即对任意恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，只需，解得， 综上，实数的取值范围. 4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【解题思路】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 5．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最小值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【解题思路】（1）由代入可得； （2）设，换元后利用二次函数的性质可得； （3）先将条件转化为，因，故对任意的恒成立，即在上恒成立，进而可得. 【解答过程】（1）由，得，即：，解得. （2）当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最小值，所以在区间上的最小值为. （3）若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又因为，所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 题型10 对数型复合函数及其应用（共5小题） 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【解答过程】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复合函数的单调性分析出在上单调递减，且在上恒成立后，再求解即可. 【解答过程】因为在单调递增，所以要使函数在上单调递减， 则在上单调递减，且在上恒成立， 故且在上恒成立，又时，， 所以且，故， 故选：B. 3．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析函数的对称性及其在区间上的单调性，即可得出、、的大小关系. 【解答过程】对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 所以，函数的图象关于直线对称， 当时，， 函数在上为增函数， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为减函数， 所以，函数在上为减函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，， ，且， 因为，，则， 所以，，同理可得， 故， 所以，，即， 故选：A. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】(1)；函数的定义域为； (2) 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性定义，求得，再通过函数解析式舍去，求解一元二次不等式即得函数的定义域； （2）先根据对数型复合函数的单调性求出函数在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出参数m的取值范围. 【解答过程】（1）因是奇函数，故， 即得，则有，因不恒为0，故， 当时，，由，可得， 即函数的定义域为：， 又，故是奇函数； 当时，因，函数没有意义. 综上，且函数的定义域为. （2）由（1）得， 因，函数在上为减函数，故得， 又因在上为增函数，故有，即， 依题意对任意的恒成立，故，解得， 故实数m的取值范围为. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并给予证明； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求得答案； （2）根据函数奇偶性的定义即可判断和证明； （3）讨论a的取值范围，结合函数单调性，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知函数满足，解得， 即函数的定义域为； （2）为奇函数，证明如下： 函数的定义域为，关于原点对称， ，故为奇函数； （3）即， 当时，在上单调递增，有，解得； 当时，在上单调递减，有，解得； 故当时，关于的不等式的解集为； 当时，关于的不等式的解集为. 题型11 指数函数与对数函数综合（共5小题） 1．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，则，可知为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围. 【解答过程】令， 因为所以的定义域为， 则， 又，， 所以， 所以为奇函数； 在上为增函数，在上为增函数， 又也为增函数，所以根据函数的单调性的性质可得在上为增函数； 等价于，即， 则 解得：或， 即关于x的不等式的解集为. 故选：D. 2．（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题目条件构造，即可通过函数单调性获解. 【解答过程】根据题意，设，若函数满足对任意， 有，则，即 则函数在上为增函数， 又由，则， ， 则有，解可得：且，即不等式的解集为. 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【解答过程】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 4．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【解答过程】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. （2）由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果； （2）由函数单调性定义证明即可得出结论； （3）根据对数的运算性质，分离参数得，再求出都最小值即可. 【解答过程】（1）设的定义域为， 由题意得对于任意，都有恒成立， 即恒成立， ∴，∴， 当时，无意义； 当时，是定义域为的奇函数， ∴； （2）在上单调递减， 证明：设， 则 ， ∵， ∴，∴， ∴，∴， ∴在上单调递减； （3）由， 得， 即， 所以， 所以， 令， 则，所以， 令，则， 则， 因为函数在都是增函数， 所以在是增函数， 所以，所以， 所以， 所以. 题型12 函数零点（方程根）的个数问题（共5小题） 1．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】B 【解题思路】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【解答过程】由得， 在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 记，因此时，， 函数的零点个数，即的正解的个数，即的正解的个数， 即函数与函数的交点个数， 令，它在上是减函数，，，，，当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有三个交点， 所以的零点个数为3. 故选：B． 2．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据分段函数的解析式画出函数图象，结合方程的根的情况找出之间的关系，再据此求取值范围. 【解答过程】根据分段函数可得如下图象： 因为方程有四个实根， 所以与有四个交点，交点的横坐标分别为， 此时， 由的性质可知，因为，所以， 根据对数运算法则得，即， 对于二次函数，因为，且其图象关于对称， 所以，即，其中， 根据，当且仅当即时，等号成立， 所以， 当时，此时，则，此时， 所以的取值范围为. 故选：C. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出函数的图象，将函数的零点转化为方程的个数对应的的取值的总和个数，结合图象可得结论. 【解答过程】令，由函数有7个不同的零点可知方程有两个不相等的实数根， 对应的的取值共有7个； 易知的图象如下所示： 显然，即的图象与的图象有4个交点，对应的的取值共有4个, 因此对应的的取值共有3个，即的图象与的图象有三个交点， 由图可知，当时满足题意. 故选：D. 4．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】函数与直线的图象如下图所示： 因为方程有四个不同根， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图可知：， 因为二次函数的对称轴为， 所以， 由及图象可得， 因为， 所以由 ， 因为，所以， 于是， 由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减， 所以有， 所以的取值范围是， 故答案为：. 5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据函数的单调性定义即可证明； （2）令可得或.由函数零点与方程根的关系结合函数的图象即可求解. 【解答过程】（1）在上单调递增. 证明如下：当时，.设， 则. 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）的图象如图所示. 因为函数恰有4个零点， 所以方程恰有4个解. 即或共有4个解. 由图知，且或或， 解得或或， 即实数的取值范围为. 题型13 函数新定义（共5小题） 1．（24-25高一上·湖南长沙·期末）对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据“优美点”的定义，可得时的函数图象关于原点对称的图象的解析式与有交点，转化为方程有解，分离参数后利用基本不等式即可求得结果. 【解答过程】若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点， 当时，，将其图象关于原点对称， 所得图象的解析式为. 所以只要射线与的图象有公共点即可， 由得， 所以， 由基本不等式可得时等号成立， 所以，即. 故选：D. 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则． 其中错误结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解题思路】利用性质可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；根据函数的值域可判断③；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④. 【解答过程】对于①，设函数是定义在上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对； 对于②，对任意的，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以，具有性质，故②对； 对于③，因为， 又函数的值域为，所以，不存在实数，使得，故③错； 对于④，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，，即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故④对， 故选：C. 3．（24-25高一上·湖南娄底·期末）若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域上的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④.能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）. 【答案】① 【解题思路】利用“理想函数”的定义，逐一判断即可. 【解答过程】由对于定义域上的任意，当时，恒有，得在其定义域上单调递减， 对于①，定义域为R，，函数是R上的减函数，①是； 对于②，的定义域为R，不恒为0，②不是； 对于③，的定义域为R，不恒为0，③不是； 对于④，函数在其定义域上不单调，④不是. 故答案为：①. 4．（24-25高一上·江西·期末）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析 (2)； (3)． 【解题思路】（1）通过特例说明函数不是“依赖函数”. （2）根据“依赖函数”的概念探索的关系，再结合二次函数求的取值范围. （3）先根据“依赖函数”的概念确定的值，再结合二次函数在给定区间上恒成立的问题和函数的单调性求实数的最大值. 【解答过程】（1）对于函数的定义域内存在， 则，故不是“依赖函数”． （2）因为在递增， 故，即，， 由，故，得， 从而， 设， 当时，函数单调递增， 故. （3）由，故在上单调递增， 所以，解得或（舍）. 所以存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由， 得，由，可得， 又在单调递增， 故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为． 5．（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2) (3)，. 【解题思路】（1）分别求出函数和在区间上的值域，再根据值域的关系判断即可； （2）分类讨论求函数在区间上的值域，再根据值域的关系列不等式，求解即可； （3）由唯一性得，即两个函数的值域相等，分类讨论求值域，列方程组求解即可. 【解答过程】（1）因为函数是增函数，所以值域， 当时，函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不具有性质. （2）①当时，函数， 此时函数在区间上单调递减，所以值域为， 又，函数在上单调递减，所以值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，因为， 所以，解得， 因此，a的取值范围为. （3）由题意得，的值域为，即， 的对称轴，且开口向下， ①当时，在上单调递减，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ②当时，在上单调递增，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ③当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又，， （i）当，即时，的值域， 由，得，解得，，符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得，解得，所以符合题意， 综上所述，t的取值为，. 题型14 三角函数中的含参问题（共5小题） 1．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【解答过程】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 2．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【解题思路】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【解答过程】函数的最小正周期 且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这两个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用正弦函数的性质求解出对称轴，再结合题意建立不等式组，求解参数范围即可. 【解答过程】令，解得， 若函数在区间上有且仅有5条对称轴， 则函数在上由小到大的第1条对称轴为， 第2条对称轴为，第3条对称轴为， 第4条对称轴为，第5条对称轴为， 第6条对称轴为，由题意知，， 解得，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【解题思路】根据零点和对称轴列式求得，根据单调区间得，根据正弦函数性质依次判断和，即可得解. 【解答过程】由题意知，，所以，又因为，所以. 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上不单调，舍去； 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上单调递减. 故选：C. 5．（24-25高一上·天津·期末）已知点在锐角的终边上，若函数在 上存在最值，且在 上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点在锐角的终边上求出，根据在 上进行最值分析，且在 上进行单调分析即可. 【解答过程】因为点在锐角的终边上，所以，，所以， 所以，当时，因为，则， 因为函数在上存在最值，则，解得，当时，， 因为函数在上单调，则， 所以，所以，解得， 又因为，则． 当时，；当时，；当时，． 又因为，因此的取值范围是． 故选：C. 题型15 三角函数中的零点问题（共5小题） 1．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用余弦函数单调性，结合零点情况求出的范围即可得解. 【解答过程】函数，当时，， 而余弦函数在上单调递减，又， 因此，解得， 由，得，当时，， 而函数在上有且仅有1个零点，则，解得， 因此，ABD不满足，C满足. 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数不是中心对称图形 B．函数在上只有1个零点 C．函数在上有2个零点 D．函数的最大值为1 【答案】C 【解题思路】通过判别的奇偶性可判别A；分情况求函数的零点可判别B、C；通过求复合函数的值域可判别D. 【解答过程】对于A，因为，，， ，∴是中心对称图形，故A不正确； 对于B，C，当时，，令得，解得； 当时，，令得，解得. 所以函数在上有2个零点，故B不正确，C正确； 令，因为，而在上单调递增，所以，即函数的最大值为.故D不正确 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】依题意可得，即可得到，再由范围求出的范围，即可得到，即可求出的取值范围. 【解答过程】因为恒成立，则， 所以，则， 当时，， 因为，则， 因为在区间上恰有个零点，则， 即，，解得，， 因为，由题意可知. 所以，可得； 即的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·青海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【解题思路】（1）根据图象周期求出，再由过定点求出，进而求出解析式； （2）由，得到.整体代入求出最值即可; （3）由，得到.结合在上有两个不同的零点，得到，解不等式即可. 【解答过程】（1）由图可得的最小正周期. 因为，且，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以，即. 因为，所以， 则. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在上的值域为. （3）因为，所以. 由，得，因为在上有两个不同的零点，所以， 解得. 故的取值范围为. 5．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点. (1)求的取值范围; (2)当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围; (3)当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用换元法可得函数在区间上有且仅有4个零点，然后结合余弦函数的图象与性质即可得结果； （2）求出，问题转化为在上恒成立，进而求得结果； （3）问题转化为函数与的图象在区间内有两个不同的交点，可得t的不等式，计算可得结果. 【解答过程】（1）因为，则，， 因为函数在区间上有且仅有4个零点， 所以函数在区间上有且仅有4个零点， 结合余弦函数的图象与性质可得：， 解得：， 所以的取值范围为 （2）当时，由可得：，所以， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立，又因为当时，， 所以，所以， 即，所以，故实数m的取值范围为 （3）因为函数在区间内有两个不同的零点，所以在区间内有两个不同的零点， 即在区间内有两个不同的零点， 即函数与的图象在区间内有两个不同的交点， 由余弦函数的图象与性质可得：或，即或， 故实数t的取值范围为 题型16 三角函数中的恒成立问题（共5小题） 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法（令），将原不等式转化为在上恒成立，结合对勾函数的单调性即可求解. 【解答过程】令，则， 则原问题转化为不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 又， 所以在上恒成立， 设，则函数在上单调递增， 所以，得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用换元法，令，再分情况讨论：当时，恒成立．当时，用分离参数法即可求得结果. 【解答过程】令，则．依题意得：，对恒成立． 显然时，恒成立．当时，． 而在上单调递减， ∴时，即时，，∴． 故选：A． 3．（24-25高一上·宁夏银川·期末）不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】将不等式成立问题转化为，再由二次函数性质计算即可得出结果. 【解答过程】由不等式在上恒成立可得； 令，可得， 若，则， 由二次函数性质可得， 因此，所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为； (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【解答过程】（1）最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 （3）当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上m的取值范围是. 5．（24-25高一上·甘肃·期末）设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】（1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可； （3）利用换元法将问题转化为二次函数在上有两个零点求的范围，将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围即可. 【解答过程】（1）令， 则变为， ①当，即时，， ②当，即时，， ③当，即时，， 综上可知，. （2）若要，则需， 当时，， 函数变为， 所求问题变为恒成立， 易知的图象是开口向下的抛物线的一部分， 最小值一定在区间端点处取得，所以有 ， 解得，故的取值范围是； （3）令.由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根， 令，则有， 解得，即的取值范围是. 题型17 三角函数中的存在性问题（共5小题） 1．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，. 若对于任意，总存在唯一的，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】令，分析可知在上有唯一解，结合正弦函数图像分析求解即可. 【解答过程】由，可得 当时，则，此时， 令，则， 因为时，则， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 由图可知，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·福建泉州·期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解. 【解答过程】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 由图可知，，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）由题意可知，，求出在时的最小值，可得出，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）因为，则，则， 因为，则， 由题意可得，解得，因此，. （2）由题意可得， 因为，所以，，则，故， 因为，则， 由题意可得，即， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，可解得，结合已知，可得的解析式； （2）先求出的表达式，再根据正弦函数的单调递增区间的性质，结合给定的区间，来确定的取值范围； （3）先求出的表达式，然后根据函数在上存在零点，转化为方程在该区间有解，进而转化为在有解的问题，通过对勾函数的性质来确定的取值范围. 【解答过程】（1）∵，且， ∴，则，，即， ∵，∴.得：. （2）∵， ∴， 当 时， 即，时单调递增，       ∵则在上单调递增， ∴解得： ，当时，，当时，无解. 综上,的取值范围是 （3）∵， ∴ 令，，则， 则， 令，，则. 所以，在上存在零点， 即，使得有解，即时，有解， 即在上有解， 令， ∵在上单调递增，在上单调递减，且， ∴的值域为，所以在有解等价于. 综上的取值范围是. 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数. (1)求的零点； (2)设函数的最大值为，求的解析式； (3)若任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1) ； (2)； (3). 【解题思路】（1）由得 ，解该方程即可得解； （2）先由题设得，构造函数，分、和三种情况结合二次函数单调性分析讨论即可求解. （3）求出最小值和的最小值即可求解. 【解答过程】（1）令，则 ， 所以的零点是 . （2） ， 设，则 ，， 由二次函数在上的单调性可知 当即时，； 当即时，； 当即时，， 所以. （3）由条件可知的最小值不小于的最小值， 因为，所以的最小值是， ， 若时，当，取得最小值， 所以，且，故， 若时，当，取得最小值， 所以，且，故， 综上所述，. 题型18 三角函数中的新定义问题（共5小题） 1．（24-25高一上·湖南长沙·期末）若且，则可以记；若且，则可以记.实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设信息，结合三角函数的诱导公式和二倍角公式，准确计算，即可求解. 【解答过程】设， 因为，所以，即， 因为，所以，所以，即， 所以， 所以，所以， 则. 故选：B. 2．（24-25高一上·湖南张家界·期末）英国数学家泰勒（B．Taylor，1685—1731）发现了如下公式：，，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，计算器使用的这种方法叫数值计算法.比如，用前三项计算，就得到.运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.86 【答案】B 【解题思路】根据题意将代入的前三项计算可得结果. 【解答过程】用前三项计算可得， 即的近似值为. 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数的最大值为． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 【答案】(1) (2)， (3) 【解题思路】（1）先利用两角差的正弦余弦公式，结合辅助公式化简解析式，再根据函数最大值为列方程可求的值； （2）根据正弦函数的单调性列不等式可求函数的单调递减区间； （3）先求出，再利用泰勒公式求出的近似值，从而可得答案. 【解答过程】（1） ， 所以，即； （2）， 令， 即，， 所以函数的单调递减区间， （3）因为， 所以， 由泰勒公式得： 所以． 4．（24-25高一上·福建福州·期末）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【答案】(1)不具有性质，具有性质. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1）根据性质的定义，结合两个函数的解析式，即可判断； （2）（ⅰ）结合性质的定义，根据特殊值，即可判断，再根据定义得到，，并推导出，并求的值，（ⅱ） 【解答过程】（1）， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质. （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质. （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得：. 5．（24-25高一上·山西太原·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 【答案】(1)曼哈顿距离为2，其余弦距离为 (2)①；② 【解题思路】（1）利用给定定义求解即可. （2）利用给定定义结合两角正余弦的和差公式求解即可. 【解答过程】（1）由题意得， ， 所以，之间的曼哈顿距离为2，其余弦距离为； （2）①由题意得 ，∵，∴， ∵， ∴，∴， ， ， ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴， ， ∴ ， ∴，之间的曼哈顿距离为 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 高一上学期期末复习真题精选（压轴90题18类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 集合的关系与运算（共5小题） 1．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 . 4．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 5．（24-25高一上·江西南昌·期末）在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 题型2 集合新定义（共5小题） 1．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 3．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 4．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 题型3 利用基本不等式求最值（共5小题） 1．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B．10 C． D．12 2．（24-25高一上·河南三门峡·期末）设非负实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最小值是4 3．（24-25高一上·福建漳州·期末）用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 . 5．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 题型4 基本不等式的恒成立问题（共5小题） 1．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题（共5小题） 1．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河南许昌·期末）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 题型6  抽象函数的性质及应用（共5小题） 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 5．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． (1)求的值，并证明为奇函数； (2)，使成立，求取值范围； (3)解不等式． 题型7 函数不等式恒成立、有解问题（共5小题） 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且.若对，，且，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 题型8 函数基本性质的综合应用（共5小题） 1．（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 3．（24-25高一上·山东德州·期末）定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 4．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 5．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是严格增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 题型9 指数型复合函数及其应用（共5小题） 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 2．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数 且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最小值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 题型10 对数型复合函数及其应用（共5小题） 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并给予证明； (3)求关于的不等式的解集． 题型11 指数函数与对数函数综合（共5小题） 1．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 4．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 题型12 函数零点（方程根）的个数问题（共5小题） 1．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 2．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 题型13 函数新定义（共5小题） 1．（24-25高一上·湖南长沙·期末）对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则． 其中错误结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25高一上·湖南娄底·期末）若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域上的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④.能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）. 4．（24-25高一上·江西·期末）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值． 5．（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 题型14 三角函数中的含参问题（共5小题） 1．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A． B．2 C．5 D． 3．（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 5．（24-25高一上·天津·期末）已知点在锐角的终边上，若函数在 上存在最值，且在 上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型15 三角函数中的零点问题（共5小题） 1．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数不是中心对称图形 B．函数在上只有1个零点 C．函数在上有2个零点 D．函数的最大值为1 3．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·青海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有两个不同的零点，求的取值范围. 5．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点. (1)求的取值范围; (2)当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围; (3)当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围. 题型16 三角函数中的恒成立问题（共5小题） 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·宁夏银川·期末）不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是 . 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 5．（24-25高一上·甘肃·期末）设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 题型17 三角函数中的存在性问题（共5小题） 1．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，. 若对于任意，总存在唯一的，使得，则的取值范围为 . 2．（24-25高一上·福建泉州·期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 . 3．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数. (1)求的零点； (2)设函数的最大值为，求的解析式； (3)若任意，存在，使，求实数的取值范围. 题型18 三角函数中的新定义问题（共5小题） 1．（24-25高一上·湖南长沙·期末）若且，则可以记；若且，则可以记.实数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南张家界·期末）英国数学家泰勒（B．Taylor，1685—1731）发现了如下公式：，，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，计算器使用的这种方法叫数值计算法.比如，用前三项计算，就得到.运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.86 3．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数的最大值为． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 4．（24-25高一上·福建福州·期末）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 5．（24-25高一上·山西太原·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $