5.3.1 函数的单调性与导数（第1课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦“函数的单调性与导数”，核心内容为导数正负与函数单调性的关系及应用。课堂导入通过汽车行驶视频（速度与路程变化）和气温变化曲线（升温速率与气温趋势）两个生活实例，衔接前导的导数概念与运算，搭建从直观感知到抽象原理的学习支架。 导学案以生活情境激发兴趣，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，探究环节从特殊实例到一般结论的归纳，发展逻辑推理（数学思维），习题分层设计并融入高考真题，提升数学运算素养，助力掌握导数研究单调性的程序化方法与数形结合思想。

第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性（第1课时） 导学案 1. 结合实例与几何直观，理解函数单调性与导数正负的关系，能准确表述相关结论。 2. 掌握利用导数判断函数单调性、求简单函数（含不超过三次的多项式函数）单调区间的基本步骤，提升数学运算素养。 3. 能根据导函数的符号特征绘制原函数的大致图象，反之能通过原函数图象分析导函数的正负区间，体会数形结合思想。 4. 理解“导数正负是函数单调性的充分不必要条件”，能举例说明，培养逻辑推理素养。 教学重点： 1. 函数单调性与导数正负的关系； 2. 利用导数求函数单调区间的基本步骤。 教学难点： 1. 导数正负与函数单调性关系的理解； 2. “充分不必要条件”的逻辑辨析；原函数与导函数图象的相互转化。 知识点一　函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增； 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减． 知识点二　判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： 第1步：确定函数的定义域； 第2步：求出导数f′(x)的零点； 第3步：用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负， 由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． [注意]　(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，应先确定函数的定义域，解决问题时在定义域内通过导数的符号来得出函数的单调区间． (2)一般利用使导数等于0的点来划分函数单调区间． (3)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间仍为增函数． 在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x3) 知识点三　函数图象的平缓与陡峭的判断方法 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”． [拓展]　函数y＝f(x)的变化快慢与其导数f′(x)的关系 课堂引入1：汽车行驶的速度变化与路程增减 引入过程 上课伊始，教师展示一段汽车在公路上行驶的视频片段，视频中能清晰看到汽车的速度表指针变化和里程表数字变动。随后提出一系列问题：“同学们，视频里汽车有时加速、有时减速，还有时匀速行驶，大家有没有发现，当速度表显示正数且数值变大时，里程表的数字增加得越来越快；当速度表数值变小但仍为正，里程表数字还在增加，只是变慢了；当速度表指针指向0，汽车停下，里程表数字就不变了。那如果汽车倒车，速度表显示负数，里程表数字会怎么变呢？” 稍作停顿，让学生思考交流后继续提问：“我们知道，路程是时间的函数，速度是路程函数的导数，那从这个生活现象中，大家能不能猜测一下，函数的导数正负和函数的增减性之间有什么联系？导数的大小又会对函数变化快慢产生什么影响呢？这节课我们就一起来探究《函数的单调性与导数》，解开这个谜题。” 【设计意图】 1. 贴近生活实际：汽车行驶是学生日常生活中常见的场景，速度与路程的关系直观易懂，能让学生快速将数学知识与生活经验建立联系，降低对抽象数学概念的陌生感。 1. 统领整节课内容：通过速度（导数）与路程（函数）的变化关系，直接指向本节课核心——导数正负与函数单调性的关联，同时引出导数大小对函数变化快慢的影响，为后续学习函数图象的平缓与陡峭埋下伏笔。 1. 激发求知欲：以生活中熟悉的现象提出问题，打破学生对数学知识的刻板印象，引发学生的好奇心和探究欲，促使他们主动思考导数与函数单调性之间的内在联系。 课堂引入2：气温变化的曲线与瞬时升温速率 引入过程 教师在黑板上画出某一天从早到晚的气温变化曲线图，横坐标为时间，纵坐标为气温。接着向学生提问：“同学们，大家看这幅气温变化图，从凌晨到中午，气温逐渐升高，中午到傍晚气温又慢慢下降。那大家有没有想过，在气温上升的过程中，有时候感觉热得特别快，有时候又觉得升温很缓慢，这是为什么呢？” 然后教师进一步解释：“其实，气温是时间的函数，而某一时刻的瞬时升温速率，就是气温函数在该时刻的导数。比如早上8点的瞬时升温速率是3℃/小时，9点的瞬时升温速率是1℃/小时，这就意味着8点时气温上升得更快。那结合这个气温变化的例子，大家试着分析一下，当导数为正、为负、为0时，气温函数分别呈现出怎样的变化趋势？导数的绝对值大小又和气温变化快慢有什么关系？带着这些问题，我们今天就来深入学习《函数的单调性与导数》。” 【设计意图】 1. 生活关联性强：气温变化是学生每天都会感知到的自然现象，通过分析气温曲线和瞬时升温速率，能让学生真切感受到数学知识在生活中的应用，增强数学学习的实用性认知。 1. 紧扣教学核心：从气温函数的变化趋势与瞬时升温速率（导数）的关系入手，直接切入本节课重点内容，即函数单调性与导数正负的关系，同时引出导数绝对值对函数变化快慢的影响，全面统领整节课的学习内容。 1. 调动求知兴趣：以学生熟悉的气温变化为切入点，提出看似简单却蕴含数学原理的问题，能激发学生的探究兴趣，让他们带着解决实际问题的渴望进入本节课的学习，提升课堂参与度。 探究点1：函数单调性与导数正负的关系 在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质. 思考：判断函数单调性的方法有哪些? 提示：定义法、图象法、性质法、复合函数同增异减法. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？ 本节我们就来讨论这个问题.我们先来研究前面学习过得高台跳水问题． 图5.3-1(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图5.3-1(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象，，是函数的零点． 问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 【师生活动】学生观察图象并交流，教师引导学生得出结论： ①从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，即单调递增． ②从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度随时间的增加而减小，即单调递减． 追问：你能从上述两个图形中发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系吗？ 【师生活动】教师提出上述问题后，学生思考并交流，教师引导学生得出结论： ，导数的符号与原函数单调性的关系为： 在区间内，导数满足：，原函数在区间内单调递增； 在区间内，导数满足：，原函数在区间内单调递减． 【设计意图】使用高台跳水的例子引出导数和单调性的关系，能很好的起到承上启下的作用．通过对一以贯之的高台跳水例子的观察、归纳和提炼，激发学生的自主探究欲望，让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系.引导学生从形的角度来验证，既降低了学生的思维难度，又能让学生体会利用导数研究单调性的一般方法 问题2：我们看到，函数的单调性与的正负有内在联系.那么,我们能否由的正负来判断函数的单调性呢? 【师生活动】通过上面的探讨，对于高台跳水问题，我们发现： ①当时，导数，函数的图象是“上升”的，函数在区间内单调递增； ②当时，导数，函数的图象是“下降”的，函数在区间内单调递减． 探究点2：导数正负与函数单调性的逻辑关系 问题3：在高台跳水问题中，我们可以用函数导数的正负来判断函数的单调性，那么这种情况是否具有一般性呢？ 【师生活动】教师给出下列四个函数（图5.3-2），让学生观察其图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．教师可以选用其中一个函数进行示范探究，然后让学生仿照着探究其他三个函数，看是否可以得出与高台跳水问题一样的结论. 原函数 导函数 导函数符号与原函数的单调性关系 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递减 追问1：能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系? 【师生活动】教师给出图如图5.3-3,指出导数表示函数的图象在点处的切线的斜率，引导学生发现： 在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增； 在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减． 【设计意图】通过更多的例子，帮助学生归纳出函数的单调性与其导数正负的关系．4个例子为学生非常熟悉的初等函数，学生可以通过直接计算导数，或者画出原函数导函数图形观察等多种方法得出结论．通过对常见函数的单调性与函数导数的正负之间关系的探究，得出用导数的正负性判断函数单调性的一般性结论，并由此让学生体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生的直观想象素养． 问题4：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有什么关系？ 【师生活动】教师启发学生思考，得出结论： 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减． 追问1：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性? 【师生活动】教师启发学生思考的几何意义，利用几何意义得出下列结论： 如果在某个区间上恒有,那么对于区间上任意一点,函数的图象在点处的切线的斜率为,从而函数图象在该点处的切线平行于轴，在点附近几乎没有升降.由于是区间上任意一点，所以函数的图象在任意一点，附近几乎没有升降，从而函数在区间上是常数函数，即(为常数). 如果在某个区间上恒有，那么在这个区间上恒有（c为常数）． 【设计意图】由观察、猜想到归纳、总结，让学生体会数学结论的发现过程，促使学生积极主动地参与知识的建构，体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生直观想象素养. 追问2：在区间内()是函数在区间内单调递增(递减)的什么条件? 【师生活动】教师启发学生思考，得出结论： 在区间内()是函数在区间内单调递增(递减)的充分不必要条件. 充分性上面已经说明，对于不必要性可以尝试让学生举出反例，如在上单调递增，但是当时，. 【设计意图】通过对导数正负与函数单调性之间关系的探究，得出导数的正负只是判断函数单调性的充分条件，而非必要条件，培养学生逻辑思维素养. 问题5：由导数的正负来判断函数的单调性，与我们之前学习的函数单调性定义是否一致? 【师生活动】教师提出问题后，引导学生复习函数在区间上单调递增、单调递减的定义，请学生回答，并归纳描述： ①,且,都有,那么在区间上单调递增； ②,且,都有,那么在区间上单调递减. 追问1:由函数单调性的定义，你能利用平均变化率来表示函数的单调性吗? 【师生活动】教师提问，在学生回答的基础上，指出函数的单调性定义的变形形式： ①,都有,那么在区间上单调递增； ②,都有,那么在区间上单调递减. 追问2:对于在区间上的单调函数,其平均变化率的几何意义与的正负有什么关系? 【师生活动】教师启发学生结合前面学习的平均变化率的几何意义，在学生交流后总结. 设函数在区间上的导数, 下面说明在区间上单调递增. 我们知道，函数在区间上单调递增，等价于,在与之间函数的平均变化率恒为正，即,恒有 ① ①式的几何意义是经过点的割线的斜率. 由于在区间上处处有导数，所以函数的图象在区间上处处有切线.,不妨设,当在区间上从左端点变化到右端点时，函数图象的切线也会随着变化.从直观上看，能找到一点,使函数的图象在点处的切线与直线平行(图5-3).所以，存在,使得 从而①式成立，所以函数在区间上单调递增. 用同样的方法可以说明，如果函数在区间上的导数为负，那么函数在区间上单调递减. 【设计意图】通过复习函数单调性的定义和追问的方式，既可以加深学生对用函数值的改变量与自变量的改变量的比值来描述函数的单调性的理解，又可以启发学生从一般意义上认识导数的符号与函数的单调性之间的关系，特别是用导数的正负判断函数单调性的充分性.同时让学生直观认识到，运用导数来研究函数的单调性，与函数单调性的定义是一致的. 例1利用导数判断下列函数的单调性： （1）；（2）；（3）． 解：（1）因为，所以 ． 所以，函数在上单调递增，如图5.3-4(1)所示． （2）因为，所以 ， 所以，函数在上单调递减，如图5.3-4(2)所示． （3）因为，，所以 ， 所以，函数在和上单调递增，如图5.3-4(3)所示． 【师生活动】先由学生独立思考、作答，再进行展示，教师强调规范的解答过程，在此基础上，引导学生归纳用导数判断函数单调性的步骤： 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各自区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性． 【设计意图】教师通过例题解答向学生示范如何利用导数判断函数的单调性，让学生熟悉用导数判断函数单调性的步骤. 例2已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时，． 试画出函数图象的大致形状． 解：当时，，可知在区间上单调递增； 当，或时，，可知在区间和上都单调递减； 当，或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数图象的大致形状如图5.3-5所示． 【设计意图】通过教师的示范讲解与学生的练习，让学生学会如何利用导函数的正负画出函数的大致图象，使学生体会数形结合思想，发展直观想象素养.    1.（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的增区间是 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以函数的增区间是. 故答案为： 2.（24-25高二下·广东中山·月考）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】确定函数定义域，对函数求导，求出导数大于零的范围即可． 【详解】函数的定义域为，，令，解得，所以函数的单调递增区间为． 故答案为：． 3.（2025高二下·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数的单调区间求参数 【分析】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【详解】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 4.（多选题）（24-25高二下·山东临沂·期中）已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．在上单调递增 C．在区间内单调递减 D．在处取得极大值 【答案】AC 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的图象可判断的单调性，即可求解AB，根据导函数的图象，结合极值的定义即可求解CD. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 对于A, 是的极小值点，故A正确， 对于B，在上单调递减，B错误， 对于C, 在区间内单调递减,C正确， 对于D, 在处取得极小值，D错误， 故选：AC 5.（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 6.（25-26高三上·吉林长春·月考）设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求某点处的导数值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由求，解不等式求单调区间. 【详解】定义域为，， 所以，解得， 所以，， 由解得， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 7.（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，且，则所在区间可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】首先设函数，根据导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求零点所在区间. 【详解】令，则的定义域是， ，所以在上单调递减， 因为，则． 故选：B． 8.（25-26高三上·上海嘉定·月考）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点、由函数的单调区间求参数 【分析】先对函数求导，根据导数的符号判断函数在区间上的单调性；再利用零点存在定理，结合函数在区间端点的函数值符号，列出关于实数的不等式组，解不等式即可. 【详解】根据题意可得，又，所以，即在区间上单调递增， 在区间上单调递增且存在零点，所以，解得. 故选：C. 9.（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】同时平方判断的大小关系，利用函数在上的单调性比较的大小关系，从而得到答案. 【详解】因为，，且， 所以，即， ， 设函数，则，当时，， 所以在上单调递减，所以，当时，，即， 当时，得，所以，即， 综上，， 故选：A. 10.（2025高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】作差法比较大小，根据函数在单调递增比较大小即可. 【详解】由于，故， 所以，即，故，排除AB； 令，则， 当时，，函数在单调递增， 所以，即，故，故D选项错误. 综上，． 故选：C 1.（25-26高三上·湖北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用换底公式化简计算、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用导数可判断函数在单调递增. 解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案； 解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案； 解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案. 【详解】， 当时，， 故函数在单调递增. 解法一：构造函数， ， 故函数在单调递减， 则. 解法二：对数糖水不等式：. 先证明糖水不等式：， 理由：， 故 . 解法三：， ， . 故选：C. 2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】必要条件、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 3. （2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数，若，，，则，，三个数中最大的是 ，最小的是 . 【答案】 【知识点】判断或证明函数的对称性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】由函数解析式可得该函数关于对称，且在上单调递增，则只需比较、与与的差的绝对值的大小即可得. 【详解】， 则， 又定义域为，故关于对称， 当时，由， 由、都在上单调递增， 且在上单调递增，故在上单调递增； 由，，则，故，故， 又，故； 令，则，故在上单调递增， 则，则， 又，故， 由，则，即； 故有， 则， 即，即，，三个数中最大的是，最小的是. 故答案为：，. 4.（多选题）（25-26高三上·山西太原·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的单调递减区间为 B．当时，有两个零点 C．若有三个零点，则的取值范围是 D．4是的极大值 【答案】ABD 【知识点】求已知函数的极值、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对于A选项代入，通过在各区间符号，确定递减区间；对于B选项分别代入和得到解析式，因式分解求零点，看不同实根的个数；对于C选项，在时，求函数零点，当时，利用导数求函数的极值点，三次函数有三个零点极大值且极小值，分析的取值范围；对于D，结合选项C的推导过程即可判断. 【详解】对于A选项，当时，， 令得，符号分析：时，时，时，所以单调递减区间为，A选项正确； 对于B选项，，，， 零点为（二重），，不同实根个数为2， ，，， 零点为（二重），，不同实根个数为2，B选项正确； 对于C选项，当时，，令，可得， 函数有且只有两个零点，不满足要求， 当时，， 令，可得， 当时，若，则，函数在上单调递增， 若，则，函数在上单调递减， 若，则，函数在上单调递增， 所以为极大值，为极小值， 当时，若，则，函数在上单调递减， 若，则，函数在上单调递增， 若，则，函数在上单调递减， 所以为极大值，为极小值， 又， 函数存在三个零点的条件为极大值且极小值，， 即，又， 所以，C选项错误； 对于D选项，由选项C的推导过程可得，为极大值，，D选项正确. 故选：ABD 1. 知识清单： （1）核心结论：导数正负与函数单调性的关系、常数函数与导数的关系； （2）关键逻辑：导数正负是函数单调性的充分不必要条件； （3）基本技能：利用导数求单调区间的步骤、原函数与导函数图象的相互转化。 2. 方法归纳： （1）程序化方法：求单调区间“六步走”（定域→求导→找零点→分区→判号→结论）； （2）思想方法：数形结合（导数几何意义→函数单调性）、特殊与一般（实例→普遍结论）、转化与化归（复杂函数单调性→导数正负判断）。 3. 常见误区： （1）忽略定义域，直接求导找零点（如误将作为定义域）； （2）认为“函数单调则导数恒正（负）”，忽视的特殊情况； （3）绘制原函数图象时，误将导函数的单调性当作原函数的单调性。 回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)判断函数单调性有哪些方法? (2)如何利用导数研究函数的单调性? (3)利用导数研究函数的单调性有何优势? 巩固作业：教科书第97页习题5.3第1、3题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性（第1课时） 导学案 1. 结合实例与几何直观，理解函数单调性与导数正负的关系，能准确表述相关结论。 2. 掌握利用导数判断函数单调性、求简单函数（含不超过三次的多项式函数）单调区间的基本步骤，提升数学运算素养。 3. 能根据导函数的符号特征绘制原函数的大致图象，反之能通过原函数图象分析导函数的正负区间，体会数形结合思想。 4. 理解“导数正负是函数单调性的充分不必要条件”，能举例说明，培养逻辑推理素养。 教学重点： 1. 函数单调性与导数正负的关系； 2. 利用导数求函数单调区间的基本步骤。 教学难点： 1. 导数正负与函数单调性关系的理解； 2. “充分不必要条件”的逻辑辨析；原函数与导函数图象的相互转化。 知识点一　函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增； 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减． 知识点二　判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： 第1步： ； 第2步： ； 第3步： ； 由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． [注意]　(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，应先确定函数的定义域，解决问题时在定义域内通过导数的符号来得出函数的单调区间． (2)一般利用使导数等于0的点来划分函数单调区间． (3)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间仍为增函数． 在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x3) 知识点三　函数图象的平缓与陡峭的判断方法 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的 ，那么函数在这个范围内变化得 ，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得 ，函数的图象就比较“平缓”． [拓展]　函数y＝f(x)的变化快慢与其导数f′(x)的关系 课堂引入1：汽车行驶的速度变化与路程增减 引入过程 上课伊始，教师展示一段汽车在公路上行驶的视频片段，视频中能清晰看到汽车的速度表指针变化和里程表数字变动。随后提出一系列问题：“同学们，视频里汽车有时加速、有时减速，还有时匀速行驶，大家有没有发现，当速度表显示正数且数值变大时，里程表的数字增加得越来越快；当速度表数值变小但仍为正，里程表数字还在增加，只是变慢了；当速度表指针指向0，汽车停下，里程表数字就不变了。那如果汽车倒车，速度表显示负数，里程表数字会怎么变呢？” 稍作停顿，让学生思考交流后继续提问：“我们知道，路程是时间的函数，速度是路程函数的导数，那从这个生活现象中，大家能不能猜测一下，函数的导数正负和函数的增减性之间有什么联系？导数的大小又会对函数变化快慢产生什么影响呢？这节课我们就一起来探究《函数的单调性与导数》，解开这个谜题。” 【设计意图】 1. 贴近生活实际：汽车行驶是学生日常生活中常见的场景，速度与路程的关系直观易懂，能让学生快速将数学知识与生活经验建立联系，降低对抽象数学概念的陌生感。 1. 统领整节课内容：通过速度（导数）与路程（函数）的变化关系，直接指向本节课核心——导数正负与函数单调性的关联，同时引出导数大小对函数变化快慢的影响，为后续学习函数图象的平缓与陡峭埋下伏笔。 1. 激发求知欲：以生活中熟悉的现象提出问题，打破学生对数学知识的刻板印象，引发学生的好奇心和探究欲，促使他们主动思考导数与函数单调性之间的内在联系。 课堂引入2：气温变化的曲线与瞬时升温速率 引入过程 教师在黑板上画出某一天从早到晚的气温变化曲线图，横坐标为时间，纵坐标为气温。接着向学生提问：“同学们，大家看这幅气温变化图，从凌晨到中午，气温逐渐升高，中午到傍晚气温又慢慢下降。那大家有没有想过，在气温上升的过程中，有时候感觉热得特别快，有时候又觉得升温很缓慢，这是为什么呢？” 然后教师进一步解释：“其实，气温是时间的函数，而某一时刻的瞬时升温速率，就是气温函数在该时刻的导数。比如早上8点的瞬时升温速率是3℃/小时，9点的瞬时升温速率是1℃/小时，这就意味着8点时气温上升得更快。那结合这个气温变化的例子，大家试着分析一下，当导数为正、为负、为0时，气温函数分别呈现出怎样的变化趋势？导数的绝对值大小又和气温变化快慢有什么关系？带着这些问题，我们今天就来深入学习《函数的单调性与导数》。” 【设计意图】 1. 生活关联性强：气温变化是学生每天都会感知到的自然现象，通过分析气温曲线和瞬时升温速率，能让学生真切感受到数学知识在生活中的应用，增强数学学习的实用性认知。 1. 紧扣教学核心：从气温函数的变化趋势与瞬时升温速率（导数）的关系入手，直接切入本节课重点内容，即函数单调性与导数正负的关系，同时引出导数绝对值对函数变化快慢的影响，全面统领整节课的学习内容。 1. 调动求知兴趣：以学生熟悉的气温变化为切入点，提出看似简单却蕴含数学原理的问题，能激发学生的探究兴趣，让他们带着解决实际问题的渴望进入本节课的学习，提升课堂参与度。 探究点1：函数单调性与导数正负的关系 在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质. 思考：判断函数单调性的方法有哪些? 提示：定义法、图象法、性质法、复合函数同增异减法. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？ 本节我们就来讨论这个问题.我们先来研究前面学习过得高台跳水问题． 图5.3-1(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图5.3-1(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象，，是函数的零点． 问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 【师生活动】学生观察图象并交流，教师引导学生得出结论： ①从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，即单调递增． ②从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度随时间的增加而减小，即单调递减． 追问：你能从上述两个图形中发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系吗？ 【师生活动】教师提出上述问题后，学生思考并交流，教师引导学生得出结论： ，导数的符号与原函数单调性的关系为： 在区间内，导数满足：，原函数在区间内单调递增； 在区间内，导数满足：，原函数在区间内单调递减． 【设计意图】使用高台跳水的例子引出导数和单调性的关系，能很好的起到承上启下的作用．通过对一以贯之的高台跳水例子的观察、归纳和提炼，激发学生的自主探究欲望，让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系.引导学生从形的角度来验证，既降低了学生的思维难度，又能让学生体会利用导数研究单调性的一般方法 问题2：我们看到，函数的单调性与的正负有内在联系.那么,我们能否由的正负来判断函数的单调性呢? 【师生活动】通过上面的探讨，对于高台跳水问题，我们发现： ①当时，导数，函数的图象是“上升”的，函数在区间内单调递增； ②当时，导数，函数的图象是“下降”的，函数在区间内单调递减． 探究点2：导数正负与函数单调性的逻辑关系 问题3：在高台跳水问题中，我们可以用函数导数的正负来判断函数的单调性，那么这种情况是否具有一般性呢？ 【师生活动】教师给出下列四个函数（图5.3-2），让学生观察其图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．教师可以选用其中一个函数进行示范探究，然后让学生仿照着探究其他三个函数，看是否可以得出与高台跳水问题一样的结论. 原函数 导函数 导函数符号与原函数的单调性关系 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递减 追问1：能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系? 【师生活动】教师给出图如图5.3-3,指出导数表示函数的图象在点处的切线的斜率，引导学生发现： 在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增； 在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减． 【设计意图】通过更多的例子，帮助学生归纳出函数的单调性与其导数正负的关系．4个例子为学生非常熟悉的初等函数，学生可以通过直接计算导数，或者画出原函数导函数图形观察等多种方法得出结论．通过对常见函数的单调性与函数导数的正负之间关系的探究，得出用导数的正负性判断函数单调性的一般性结论，并由此让学生体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生的直观想象素养． 问题4：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有什么关系？ 【师生活动】教师启发学生思考，得出结论： 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减． 追问1：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性? 【师生活动】教师启发学生思考的几何意义，利用几何意义得出下列结论： 如果在某个区间上恒有,那么对于区间上任意一点,函数的图象在点处的切线的斜率为,从而函数图象在该点处的切线平行于轴，在点附近几乎没有升降.由于是区间上任意一点，所以函数的图象在任意一点，附近几乎没有升降，从而函数在区间上是常数函数，即(为常数). 如果在某个区间上恒有，那么在这个区间上恒有（c为常数）． 【设计意图】由观察、猜想到归纳、总结，让学生体会数学结论的发现过程，促使学生积极主动地参与知识的建构，体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生直观想象素养. 追问2：在区间内()是函数在区间内单调递增(递减)的什么条件? 【师生活动】教师启发学生思考，得出结论： 在区间内()是函数在区间内单调递增(递减)的充分不必要条件. 充分性上面已经说明，对于不必要性可以尝试让学生举出反例，如在上单调递增，但是当时，. 【设计意图】通过对导数正负与函数单调性之间关系的探究，得出导数的正负只是判断函数单调性的充分条件，而非必要条件，培养学生逻辑思维素养. 问题5：由导数的正负来判断函数的单调性，与我们之前学习的函数单调性定义是否一致? 【师生活动】教师提出问题后，引导学生复习函数在区间上单调递增、单调递减的定义，请学生回答，并归纳描述： ①,且,都有,那么在区间上单调递增； ②,且,都有,那么在区间上单调递减. 追问1:由函数单调性的定义，你能利用平均变化率来表示函数的单调性吗? 【师生活动】教师提问，在学生回答的基础上，指出函数的单调性定义的变形形式： ①,都有,那么在区间上单调递增； ②,都有,那么在区间上单调递减. 追问2:对于在区间上的单调函数,其平均变化率的几何意义与的正负有什么关系? 【师生活动】教师启发学生结合前面学习的平均变化率的几何意义，在学生交流后总结. 设函数在区间上的导数, 下面说明在区间上单调递增. 我们知道，函数在区间上单调递增，等价于,在与之间函数的平均变化率恒为正，即,恒有 ① ①式的几何意义是经过点的割线的斜率. 由于在区间上处处有导数，所以函数的图象在区间上处处有切线.,不妨设,当在区间上从左端点变化到右端点时，函数图象的切线也会随着变化.从直观上看，能找到一点,使函数的图象在点处的切线与直线平行(图5-3).所以，存在,使得 从而①式成立，所以函数在区间上单调递增. 用同样的方法可以说明，如果函数在区间上的导数为负，那么函数在区间上单调递减. 【设计意图】通过复习函数单调性的定义和追问的方式，既可以加深学生对用函数值的改变量与自变量的改变量的比值来描述函数的单调性的理解，又可以启发学生从一般意义上认识导数的符号与函数的单调性之间的关系，特别是用导数的正负判断函数单调性的充分性.同时让学生直观认识到，运用导数来研究函数的单调性，与函数单调性的定义是一致的. 例1利用导数判断下列函数的单调性： （1）；（2）；（3）． 解：（1）因为，所以 ． 所以，函数在上单调递增，如图5.3-4(1)所示． （2）因为，所以 ， 所以，函数在上单调递减，如图5.3-4(2)所示． （3）因为，，所以 ， 所以，函数在和上单调递增，如图5.3-4(3)所示． 【师生活动】先由学生独立思考、作答，再进行展示，教师强调规范的解答过程，在此基础上，引导学生归纳用导数判断函数单调性的步骤： 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各自区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性． 【设计意图】教师通过例题解答向学生示范如何利用导数判断函数的单调性，让学生熟悉用导数判断函数单调性的步骤. 例2已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时，． 试画出函数图象的大致形状． 解：当时，，可知在区间上单调递增； 当，或时，，可知在区间和上都单调递减； 当，或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数图象的大致形状如图5.3-5所示． 【设计意图】通过教师的示范讲解与学生的练习，让学生学会如何利用导函数的正负画出函数的大致图象，使学生体会数形结合思想，发展直观想象素养.    1.（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的增区间是 . 2.（24-25高二下·广东中山·月考）函数的单调递增区间为 . 3.（2025高二下·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 4.（多选题）（24-25高二下·山东临沂·期中）已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．在上单调递增 C．在区间内单调递减 D．在处取得极大值 5.（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 6.（25-26高三上·吉林长春·月考）设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，且，则所在区间可以为（   ） A． B． C． D． 8.（25-26高三上·上海嘉定·月考）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 10.（2025高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 1.（25-26高三上·湖北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 3. （2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数，若，，，则，，三个数中最大的是 ，最小的是 . 4.（多选题）（25-26高三上·山西太原·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的单调递减区间为 B．当时，有两个零点 C．若有三个零点，则的取值范围是 D．4是的极大值 1. 知识清单： （1）核心结论：导数正负与函数单调性的关系、常数函数与导数的关系； （2）关键逻辑：导数正负是函数单调性的充分不必要条件； （3）基本技能：利用导数求单调区间的步骤、原函数与导函数图象的相互转化。 2. 方法归纳： （1）程序化方法：求单调区间“六步走”（定域→求导→找零点→分区→判号→结论）； （2）思想方法：数形结合（导数几何意义→函数单调性）、特殊与一般（实例→普遍结论）、转化与化归（复杂函数单调性→导数正负判断）。 3. 常见误区： （1）忽略定义域，直接求导找零点（如误将作为定义域）； （2）认为“函数单调则导数恒正（负）”，忽视的特殊情况； （3）绘制原函数图象时，误将导函数的单调性当作原函数的单调性。 回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)判断函数单调性有哪些方法? (2)如何利用导数研究函数的单调性? (3)利用导数研究函数的单调性有何优势? 巩固作业：教科书第97页习题5.3第1、3题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $