5.3.1 函数的单调性与导数（第2课时） （教学设计) 数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦“函数单调性与导数”核心内容，涵盖不含参及含参函数单调区间求解、函数增长快慢与导数绝对值关系、单调性应用等要点。通过汽车行驶速度变化、理财产品收益对比等生活实例导入，承接上节课导数与单调性的基础关系，为后续极值最值学习搭建支架。 这份资料以生活情境激发兴趣，通过定义法与导数法对比凸显化归思想，含参讨论从“系数、判别式、根的大小”分层培养逻辑推理，构造辅助函数解决问题体现数学语言表达。实例丰富且结合高考真题，助力学生提升数学运算与直观想象素养，为教师提供完整教学流程与核心素养培养路径。

第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性（第2课时） 教学设计 教学内容 本节课是在导数概念、几何意义及运算法则基础上，深入探究函数单调性与导数的关系。核心内容包括：利用导数求不含参函数的单调区间；含参数函数的单调性分类讨论；函数增长快慢与导数绝对值的关联；函数单调性在比较大小、解不等式中的应用，同时归纳导数研究函数单调性的完整流程。 内容解析 本节是导数在函数研究中的核心应用，承接前期导数的工具性知识，铺垫后续函数极值、最值及优化问题的学习，是“用导数刻画变化规律”的关键环节。其核心价值在于将复杂函数的单调性判断，转化为导数正负性的研究（化归思想），通过数形结合建立“导数符号—函数增减—图象陡峭程度”的三重关联。 从知识逻辑看，本节连接了初等函数性质与高等数学思想，既解决了定义法难以处理的三次及以上函数、复合函数单调性问题，又强化了“定性判断（增减）+定量刻画（快慢）”的数学思维。从素养培养看，通过含参讨论、实际应用，能有效提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算及直观想象核心素养。 教学目标 1. 巩固函数单调性与导数正负的核心关系，能熟练掌握利用导数求不含参函数单调区间的步骤。 2. 掌握含参数函数单调性的分类讨论方法，能根据参数范围确定函数单调区间。 3. 理解函数增长快慢与导数绝对值的内在联系，能结合图象直观判断函数变化速率。 4. 会运用函数单调性解决比较大小、解不等式等问题，形成“导数—单调性—应用”的解题链条。 目标解析 1. 能准确复述“导数正→函数递增，导数负→函数递减”的核心结论，并能独立完成定义域确定、导数求解、零点划分区间、判断正负的完整流程。 2. 面对含参数的二次及以上导函数，能从“最高次项系数、判别式、根的大小”三个维度分类，不重不漏地分析函数单调性。 3. 能通过具体函数（如幂函数与对数函数）的图象对比，解释“导数绝对值越大，函数图象越陡峭，变化越快”的原理，结合导数几何意义（切线斜率）加深理解。 4. 能根据问题特征构造辅助函数，利用单调性转化不等式或比较大小，确保结果符合定义域及实际意义。 达成上述目标的标志是： · 独立完成不含参函数单调区间求解，步骤完整、结果准确； · 对含参函数（如二次、分式函数）能明确分类标准，正确划分单调区间； · 能通过导数值变化分析两个函数的增长速率差异，并用图象语言描述； · 能构造恰当辅助函数，解决简单的函数值比较及不等式求解问题。 学生已掌握函数单调性的定义、导数的计算及“导数正负与单调性”的基本关系，能解决简单不含参函数的单调性问题，但存在以下薄弱点： · 对“导数为0不影响单调性” “导数正负是单调的充分不必要条件”理解不深，易混淆“单调递增”与“导数恒正”的关系； · 含参数函数讨论时，缺乏清晰的分类标准，易出现漏讨论、错判区间的问题； · 对“导数绝对值刻画变化快慢”的几何意义理解模糊，难以将数值特征与图象特征关联； · 应用单调性解决比较大小、解不等式时，构造辅助函数的能力不足。 基于以上分析，本节课的教学重点：1. 利用导数求不含参、含参函数的单调区间；2. 函数单调性的综合应用（比较大小、解不等式）。教学难点：1. 含参数函数单调性的分类讨论逻辑；2. 函数增长快慢与导数绝对值的关系理解；3. 辅助函数的构造技巧。 知识点　已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤 (1)求导数y＝f′(x)； (2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题； (3)由不等式恒成立求参数范围； (4)验证等号是否成立． [拓展]　用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： (1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)． (2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． (3)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x)． (4)对于f′(x)>f(x)，构造h(x)＝. (5)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x)． (6)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝. 课堂引入1：汽车行驶的速度变化与路程函数 引入过程 同学们，日常生活中我们都坐过汽车，假设汽车在一条笔直的公路上行驶，其行驶的路程 （单位：km）与行驶时间 （单位：h）的函数关系为 。大家想一想，汽车在行驶过程中，什么时候加速、什么时候减速呢？如果我们用函数单调性来描述，加速时路程函数是单调递增的，减速时是单调递减的。 那我们该如何快速判断这个三次函数的单调区间，从而确定汽车的加速和减速时段呢？上节课我们学过函数单调性与导数正负有关，这节课我们就带着这个实际问题，深入探究如何利用导数精准求解函数的单调区间，还会研究汽车行驶速度的快慢和导数之间的神秘联系。 【设计意图】 从学生熟悉的汽车行驶场景入手，将抽象的函数单调性问题转化为具体的汽车加速、减速实际问题，让学生感受到数学知识与生活的紧密联系。通过提出三次函数单调区间求解的问题，直接呼应本节课“利用导数求不含参函数单调区间”的核心内容，同时引出后续“导数绝对值与函数变化快慢”的探究点，能有效勾起学生的求知欲，让学生带着解决实际问题的目标进入课堂学习。 课堂引入2：不同理财产品的收益增长对比 引入过程 大家都知道爸爸妈妈会选择不同的理财产品来打理资金，假设有两种理财产品，收益 （单位：元）与投资时间 （单位：年）的函数关系分别为：理财产品A是 ，理财产品B是 （）。 同学们思考一下，在投资初期和长期投资后，这两种理财产品的收益增长速度有什么不一样？为什么有的理财产品前期涨得慢，后期涨得快，而有的却相反呢？其实这背后就藏着函数增长快慢与导数的关系。这节课我们就一起来探究，如何用导数判断函数的单调区间，以及导数的绝对值如何刻画函数增长的快慢，还会学习利用函数单调性来比较不同理财产品的收益大小，帮大家成为“小小理财分析师”。 【设计意图】 以理财收益为切入点，贴近学生的生活实际，尤其是现在家庭理财观念普遍，学生容易产生共鸣。通过对比两种不同类型函数的收益增长速度，引出本节课“函数增长快慢与导数绝对值的关系”这一难点内容，同时自然过渡到“利用导数求单调区间” “函数单调性的综合应用”等核心知识点。让学生感受到数学在生活理财中的实用价值，激发学生想要探究导数奥秘、解决实际问题的求知欲，统领整节课的知识探究方向。 我可以根据这两个课堂引入，为你进一步设计课堂互动问题，帮助你更好地推进教学环节，需要吗？ 探究点1：不含参函数的单调区间求解 问题1：上节课，我们学习了函数的导数与其单调性的关系，你能具体说说么？ 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减． 追问：一般地，求解函数的步骤有哪些？ 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各自区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性． 形如的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性． 问题2：求函数的单调区间． 解：函数的定义域为．对求导数，得 ． 令，解得 ，或． 和把函数定义域划分成三个区间，在各自区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示． 表5.3-1 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图5.3-6所示． 【设计意图】教师通过例题解答向学生示范如何用导数求函数的单调区间，再让学生熟悉用导数判断函数单调性的步骤. 追问1：你能利用函数单调性的定义求函数的单调区间吗？ 【师生活动】教师提出问题后，引导学生回顾函数单调性的定义，并利用单调性的定义尝试求三次函数的单调区间： 设且,则 很难发现在哪些区间内符号是确定的. 追问2：相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究三次函数单调性有何优势? 【师生活动】教师启发学生思考、交流，并归纳：利用导数判断三次函数的单调性，只需对三次函数的导函数，即二次函数的正负进行研究，只需要解一元二次不等式，相较于利用函数单调性定义的方法更简便. 【设计意图】对于一般的三次函数的单调性，利用导数将三次函数的问题转化为二次函数的问题，比利用定义判断函数单调性更方便简洁，体现转化与化归思想的运用. 探究点2：函数单调性的综合应用 问题3：如何说明对数函数与幂函数在区间上增长的快慢? 【师生活动】教师提出问题后，让学生思考回答，教师在学生回答的基础上，利用信息技术画出对数函数与幂函数的图象(如图5.3-7所示),并结合其导数值的变化情况加以说明： 对数函数的导数为，所以在区间上单调递增．当越来越大时，越来越小，所以函数增长得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”（如图5.3-7(1)） 幂函数的导数为，所以在区间上单调递增．当越来越大时，越来越大，所以函数增长得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”（如图5.3-7（2））． 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.因此，导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 追问：如何理解函数增减的快慢与函数在某一范围内导数的绝对值有关? 【师生活动】教师提出问题后，让学生思考，引导学生利用导数的几何意义加以解释：导数的绝对值如果在某一范围内递增，说明原函数在这个范围内切线的斜率的绝对值越来越大，即在这个范围内变化得越快；反之，函数在这个范围内变化得越慢. 【设计意图】通过特例，体会函数增长快慢与导数之间的关系，体会从特殊到一般的数学思想，发展学生直观想象、数学抽象的核心素养. 问题4：设，，，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断，的图象与，之间的对应关系． 【师生活动】教师启发学生思考，引导学生交流，本例是前述结论在不同函数增长速度差异比较中的一个应用，指明不仅要利用导数对函数增长的快慢进行判断与刻画，还要结合函数的图象与导数的几何意义加深对函数增长快慢的理解. 解：因为，，所以，． 当时，；当时，；当时，． 所以，，在上都是增函数． 在区间上，的图象比的图象要“陡峭”； 在区间上，的图象比的图象要“平缓” 所以，，的图象依次是图5.3-8中的，． 【设计意图】教师通过例题解答让学生进一步理解导数对函数增长快慢的影响，体会数形结合思想，发展直观想象素养. 1.（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据图像判断出函数的单调区间，从而求得的解集. 【详解】根据图象可知，当时，；当时，； 同时当或时，；当时，； 所以的解集为. 故答案为： 2.（25-26高三上·山西运城·期中）已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】观察图象，可比较出在和处的切线斜率及与两点连线的斜率大小，即可得解. 【详解】由图象可得，在处的切线斜率大于在处的切线斜率， 而与两点连线的斜率介于二者之间， 结合导函数定义可得. 故选：D. 3.（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 4.（24-25高二下·河北张家口·月考）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】通过求导，再依据和分类讨论求其单调区间即可. 【详解】，则， ， 当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍； 当，即或时，的两根为，且， 则得或；得， 则 在和上单调递增，在上单调递减， 则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是. 故选：C. 5.（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 6.（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导得，再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】的定义域为， 由题得， 令，得， 因为， 所以函数的单调减区间为和， 故选：C. 7.（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，且，则所在区间可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、判断零点所在的区间 【分析】首先设函数，根据导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求零点所在区间. 【详解】令，则的定义域是， ，所以在上单调递减， 因为，则． 故选：B． 8.（多选题）（25-26高三上·湖南·月考）已知函数的定义域为，其导数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造辅助函数，求导判断单调性，然后逐项判断即可. 【详解】构造辅助函数，求导得， 因为，所以， 所以在上单调递增. 所以，所以，即，所以A正确； 根据单调性有，所以，即，所以B错误； 因为，所以， 则有，即，所以C正确； 根据单调性有，，即，所以D错误. 故选：AC. 9.（2024·上海·模拟预测）设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（    ） A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数，利用导数探讨单调性即可判断②. 【详解】函数的定义域为R，而， 对于①， ，因此函数是偶函数，①正确； 对于②，， 当时，令，求导得， 当时，，函数在上递减，则，因此， 当时，，函数在上递增，则，因此， 从而函数在上递增，同理在上都递增， 于是在上严格单调增，②正确， 故选：A 【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②或是定义域上的恒等式． 10.（多选题）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·月考）函数（）的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先求得，根据判别式对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【详解】因为的定义域为，． 当，即时，对任意恒成立， 所以在上单调递增，故C正确； 当，即或时， 设方程的两根为，且， 可知，可知同号， 令，得；令，得或， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故A，B正确，D错误. 故选：ABC. 1.（23-24高二下·广东东莞·月考）已知函数，，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先求出函数的导数后，再就、讨论二阶导数的符号后可得参数的取值范围. 【详解】等价于， 即， 设，则， 设，则， 若，则，故在上为减函数， 故即，故在上为减函数， 所以即. 若，因为在上为减函数， 故在上为减函数， 当时，，故在上为减函数， 同理可得. 若，则，， 故在上存在零点且时，， 故在上为增函数，故， 故，故在上为增函数，故， 即，这与题设矛盾，故. 故答案为：. 2.（24-25高二下·广东梅州·期末）已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（    ）    A． B． C．在处取得最小值 D．在处取得极大值 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的图像可知原函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据图象可知：当或时，， ，故在处取得极大值，在处取得极小值，因此，故BCD错误， 由于函数在单调递减，故，A正确， 故选：A 3.（多选题）（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】AC 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求已知函数的极值 【分析】根据图象可知导函数的正负，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,当时，故在上单调递增，A正确， 对于B, 当时，故在上单调递增，B错误， 对于C, 当时，故在上单调递增，当时，故在上单调递减，故是的极小值点，C正确，D错误， 故选：AC 4.．（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 1. 知识清单 · 核心关系：导数正→函数递增，导数负→函数递减（充分不必要条件）； · 求解步骤：定义域→求导→找零点→分区间→判正负→定单调； · 含参讨论：按“导函数类型→判别式→根的大小”分类； · 增长快慢：导数绝对值越大，函数变化越快，图象越陡峭； · 应用场景：比较大小、解不等式（构造辅助函数）。 2. 方法归纳 · 化归与转化思想：将复杂函数单调性转化为导函数正负问题； · 分类讨论思想：含参问题按“不重不漏”原则确定分类标准； · 数形结合思想：通过导数值变化分析图象特征，辅助解题； · 构造法：针对比较大小、解不等式，构造恰当辅助函数利用单调性求解。 3. 常见误区 · 忽略定义域对单调区间的限制； · 含参讨论时分类标准模糊，漏判特殊情况（如导数恒正/恒负）； · 混淆“函数单调递增”与“导数恒正”（导数为0不影响单调性）； · 应用单调性时，未验证辅助函数的构造合理性。 回顾本节课的学习内容，回答下列问题： (1)对一个具体函数,你能说出用导数求函数单调区间的步骤吗? (2)函数增长的快慢与导数有何关系?如何理解? (3)函数的单调性有哪些应用? 【师生活动】教师用课件呈现上述问题，给学生思考的时间，然后让学生给出答案、发表看法，教师在学生回答的基础上进行适当的归纳. 【设计意图】(1)通过回顾，进一步明确利用导数求函数单调区间的步骤，提高解题技能； (2)函数增长的快慢由某一范围内导数绝对值的大小决定，由导数的几何意义可以直观说明； (3)利用函数单调性，可以求函数的单调区间、比较函数值的大小、研究函数增长速度的快慢等. 巩固作业：教科书第97页习题5.3第2题, 第99页习题5.3第13题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 巩固作业答案： 第97页习题5.3第2题 2 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） （2） （3） （4）． 【答案】(1) 单调减区间为，单调增区间为； (2) 单调减区间为，单调增区间为； (3) 单调增区间为，无单调减区间； (4) 单调增区间为和，单调减区间为. 【详解】（1）因为二次函数， 所以抛物线的对称轴为， 所以的单调减区间为，单调增区间为； （2）因为二次函数， 所以抛物线的对称轴为， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为； （3）因为， 所以，由于， 所以函数的单调增区间为，无单调减区间； （4）因为，所以， 令解得或， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为. 教科书第99页习题5.3第13题 13.利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状： （1）你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？ （2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【详解】（1）时，有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰，即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调增或单调减，如下图所示：       题设中的函数的图象，有：在上单调递减，上单调递增，上单调递减. （2）1、当时， 当时，，则，即单调递增； 当时，，若，则，， ∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； 当时，，则，即单调递减； 当时，，若，则，， ∴时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减； 2、当时，，对称轴为， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 3、当、时，：当时，单调递增；当时，单调递减； 4、当、、时，：无单调性. 本节课聚焦“导数工具性”与“思想方法渗透”，通过生活实例导入、分层探究、真题检验，构建了“知识—方法—应用”的完整体系。教学中需重点关注： 含参函数讨论的“分类标准”是否清晰，学生是否能独立提炼分类依据； 学生对“导数绝对值与增长快慢”的理解是否停留在表面，需通过更多图象对比强化； 辅助函数构造是难点，需在后续练习中持续渗透常见构造模型（如、等）； 部分学生可能对“充分不必要条件”理解不深，可通过反例（如在上递增，）进一步巩固。 后续教学可增加实际应用问题（如优化问题雏形），强化导数与生活的关联，为后续极值、最值学习铺垫。 板书设计 ( 5.3.1 函数的单调性 与导数（ 第2课时 ） 1．利用导数 研究函数的单调性 例1. 函数单调性 求求解 2． 函数 变化 快慢与导数绝对值的关系 例 2. 图象的 辨析 例3.单调性的 应 用 ) 学科网（北京）股份有限公司 $