5.3.1 函数的单调性与导数（第1课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“函数的单调性与导数”核心知识点，通过汽车行驶速度与路程增减、手机充电快慢等生活实例导入，衔接必修学过的单调性定义法、图像法等，搭建从具体情境到抽象数学关系的学习支架。 其亮点在于以生活情境和高台跳水等数学实例为载体，结合几何直观与逻辑推理，引导学生理解导数正负与单调性的关系，题型分层且融入图像分析，培养数学抽象和直观想象素养。学生能提升知识应用能力，教师可直接用于课堂教学和分层训练。

第5章 一元函数的导数及应用 5.3.1 函数的单调性与导数（第1课时） 人教A版·选择性必修第二册· 学习目标 1.结合实例与几何直观，理解函数单调性与导数正负的关系，能准确表述相关结论。 2.掌握利用导数判断函数单调性、求简单函数（含不超过三次的多项式函数）单调区间的基本步骤，提升数学运算素养。 3.能根据导函数的符号特征绘制原函数的大致图象，反之能通过原函数图象分析导函数的正负区间，体会数形结合思想。 4.理解“导数正负是函数单调性的充分不必要条件”，能举例说明，培养逻辑推理素养。 目录 CATALOG 01.函数单调性与导数正负的关系 03.题型强化训练 02.导数正负与函数单调性的逻辑关系 04.小结及随堂练习 5.3.1 函数的单调性与导数（第1课时） 01 函数单调性与 导数正负的关系 导入新知1：汽车行驶的速度变化与路程增减 “同学们，汽车有时加速、有时减速，还有时匀速行驶，大家有没有发现，当速度表显示正数且数值变大时，里程表的数字增加得越来越快；当速度表数值变小但仍为正，里程表数字还在增加，只是变慢了；当速度表指针指向0，汽车停下，里程表数字就不变了。那如果汽车倒车，速度表显示负数，里程表数字会怎么变呢？” 我们知道，路程是时间的函数，速度是路程函数的导数，那从这个生活现象中，大家能不能猜测一下，函数的导数正负和函数的增减性之间有什么联系？导数的大小又会对函数变化快慢产生什么影响呢？ 导入新知2：手机充电的“快慢密码” “同学们，大家看这幅气温变化图，从凌晨到中午，气温逐渐升高，中午到傍晚气温又慢慢下降。那大家有没有想过，在气温上升的过程中，有时候感觉热得特别快，有时候又觉得升温很缓慢，这是为什么呢？” “其实，气温是时间的函数，而某一时刻的瞬时升温速率，就是气温函数在该时刻的导数。比如早上8点的瞬时升温速率是3℃/小时，9点的瞬时升温速率是1℃/小时，这就意味着8点时气温上升得更快。那结合这个气温变化的例子，大家试着分析一下，当导数为正、为负、为0时，气温函数分别呈现出怎样的变化趋势？导数的绝对值大小又和气温变化快慢有什么关系？ 5.3.1函数的单调性与导数 （第1课时） 主讲人： **老师 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及应用 7 学习目标 （一）课程标准要求 ①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。 ③会利用导数解决一些实际生活中的优化问题. ②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 8 学习目标 （二）课时学习目标 1.能结合实例，利用导数的几何意义与几何直观，从具体例子中抽象出函数的单调性与其导函数正负之间的关系，培养学生数学抽象与直观想象核心素养. 2.能归纳利用导数判断函数单调性的基本步骤，能利用导数求简单函数的单调区间，发展数学运算素养. 3.能利用导数研究函数增长的快慢，体会数形结合思想，发展直观想象素养. 9 引入新知 判断函数单调性的方法有哪些? 【思考】 必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质. 复合函数 同增异减法 函数单调性 的判断方法 定义法 性质法 图像法 10 引入新知 本节我们就来讨论这个问题. 我们先来研究前面学习过得高台跳水问题． 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？ 11 引入新知 图5.3-1(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象，图5.3-1(2)是跳水运动员的速度v 随时间 t 变化的函数 的图象， ，b 是函数 的零点． 12 新课探究 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 【问题1】 13 新课探究 你能从上述两个图形中发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系吗？ 【追问】 14 新课探究 【问题2】 15 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数的单调区间求参数 02 导数正负与函数 单调性的逻辑关系 5.3.1 函数的单调性与导数（第1课时） 新课探究 【问题3】 在高台跳水问题中，我们可以用函数导数的正负来判断函数的单调性，那么这种情况是否具有一般性呢？ 请同学们结合下列四个函数（图5.3-2），观察其图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系 20 新课探究 原函数 导函数 导函数符号与原函数的单调性关系 原函数 导函数 导函数符号与原函数的单调性关系 21 新课探究 原函数 导函数 导函数符号与原函数的单调性关系 原函数 导函数 导函数符号与原函数的单调性关系 22 新课探究 能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系? 【追问1】 23 新课探究 【问题4】 导数与函数的单调性关系 24 新课探究 【追问1】 25 新课探究 【追问2】 26 新课探究 【问题5】 由导数的正负来判断函数的单调性，与我们之前学习的函数单调性定义是否一致? 27 新课探究 【追问1】 由函数单调性的定义，你能利用平均变化率来表示函数的单调性吗? 28 新课探究 【追问2】 29 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数与导函数图象之间的关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求某点处的导数值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断零点所在的区间、利用导数求函数的单调区间（不含参） 新课探究 35 新课探究 36 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数研究函数的零点、由函数的单调区间求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 新课探究 知识小结 41 应用新知 例题： 利用导数判断下列函数的单调性： 解： 42 应用新知 例题： 利用导数判断下列函数的单调性： 解： 43 应用新知 例题： 利用导数判断下列函数的单调性： 解： 44 应用新知 规律小结 45 应用新知 例题： 解： 46 随堂演练 1.判断下列函数的单调性： 解： 47 随堂演练 解： 48 随堂演练 解： 49 03 题型强化训练 5.3.1 函数的单调性与导数（第1课时） 能力提升 题型一　利用导数研究函数单调区间 例题： 解析： 51 能力提升 题型一　利用导数研究函数单调区间 例题： 解析： 52 能力提升 方法规律 53 能力提升 题型一　利用导数研究函数单调区间 变式训练1： 解析： 54 能力提升 题型一　利用导数研究函数单调区间 变式训练2： 解析： 55 应用新知 题型二　函数图象与导函数图象的关系  例题： 56 应用新知 题型二　函数图象与导函数图象的关系  例题： 解析： 57 应用新知 题型二　函数图象与导函数图象的关系  例题： 58 应用新知 解析： 59 能力提升 总结归纳 60 能力提升 题型二　函数图象与导函数图象的关系  变式训练3： 61 能力提升 解析： 62 能力提升 题型二　函数图象与导函数图象的关系  变式训练4： 63 能力提升 解析： 64 04 小结及随堂练习 5.3.1 函数的单调性与导数（第1课时） 课堂小结 66 作业 教科书第97页习题5.3第1、3题 5.3.1 函数的单调性与导数（第1课时） 巩固作业答案 教科书第97页习题5.3第1题 解： 68 巩固作业答案 教科书第97页习题5.3第1题 解： 69 巩固作业答案 教科书第97页习题5.3第3题 解： 70 THANKS 感谢您的聆听 ②从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度随时间的增加而减小，即单调递减． ①从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，即单调递增． 在区间内，导数满足：，原函数在区间内单调递减． 在区间内，导数满足：，原函数在区间内单调递增； ①当时，导数，函数的图象是“上升”的，函数在区间内单调递增； ②当时，导数，函数的图象是“下降”的，函数在区间内单调递减． 我们看到，函数的单调性与的正负有内在联系. 那么,我们能否由的正负来判断函数的单调性呢? 1. 函数 的增区间是 . 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以函数的增区间是. 故答案为： 2.函数 的单调递增区间为 . 【详解】函数的定义域为，， 令，解得，所以函数的单调递增区间为． 故答案为：． 3.已知函数 在 单调递增，则 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【详解】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以.故选：D. 当时，， 当时，， 当时， 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增 当时，， 在上单调递增 当时，， 当 时， 在上单调递减； 在 上单调递减 如图5.3-3,指出导数 表示函数 的图象在点 处的切线的斜率 在处，， 切线是“左下右上”的上升式， 函数的图象也是上升的， 函数在附近单调递增； 在处，， 切线是“左上右下”的下降式， 函数的图象也是下降的， 函数在附近单调递减． 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减． 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间 具有什么关系？ 如果在某个区间上恒有,那么对于区间上任意一点,函数的图象在点处的切线的斜率为,从而函数图象在该点处的切线平行于 轴，在点附近几乎没有升降.由于是区间上任意一点，所以函数的图象在任意一点，附近几乎没有升降，从而函数在区间上是常数函数，即(为常数). 如果在某个区间上恒有，那么在这个区间上恒有（c为常数）． 如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性? 充分性：根据导数与函数单调性的关系即可得到； 反之，举出反例， 在上单调递增，但是当时，. 在区间内()是 函数在区间内单调递增(递减)的充分不必要条件. 在区间 内 ()是函数 在区间 内单调递增(递减)的什么条件? 函数在区间上单调递增、单调递减的定义： ①,且,都有, 那么在区间上单调递增； ②,且,都有, 那么在区间上单调递减. 函数的单调性定义的变形形式： ①,都有,那么在区间上单调递增； ②,都有,那么在区间上单调递减. 设函数在区间上的导数, 下面说明在区间上单调递增. 对于在区间上的单调函数,其平均变化率的 几何意义与的正负有什么关系? 4.（多选题）已知 是函数 的导函数， 的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． 在 处取得极小值 B． 在 上单调递增 C． 在区间 内单调递减 D． 在 处取得极大值 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 对于A, 是的极小值点，故A正确， 对于B，在上单调递减，B错误， 对于C, 在区间内单调递减,C正确， 对于D, 在处取得极小值，D错误，故选：AC 5.已知连续函数 的导函数为 ，如图是函数 在 上的图象，则（    ）   A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递减 C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递增 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 6.设函数 的导函数为 ，且 ，则 的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】定义域为，， 所以，解得， 所以，， 由解得，所以的单调递减区间为. 故选：A. 7.已知函数 ，且 ，则 所在区间可以为（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则的定义域是， ，所以在上单调递减， 因为，则．故选：B． ①式的几何意义是经过点的割线的斜率. 我们知道，函数在区间上单调递增，等价于, 在与之间函数的平均变化率恒为正， 即,恒有 ① 所以，存在,使得 从而①式成立，所以函数在区间上单调递增. 用同样的方法可以说明，如果函数在区间上的导数为负，那么函数在区间上单调递减. 由于 在区间 上处处有导数，所以函数 的图象在区间 上处 处有切线 ,不妨设 ,当 在区间 上从左端点 变化到右 端点 时，函数图象的切线也会随着变化.从直观上看，能找到一点 , 使函数 的图象在点 处的切线与直线 平行(图5-3). 8.若函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意可得，又，所以，即在区间上单调递增，在区间上单调递增且存在零点，所以，解得.故选：C. 9.已知 ， ， ，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，， 且，所以，即，， 设函数，则， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，当时，，即， 当时，得，所以，即， 综上，， 故选：A. 10.已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由于，故，所以，即，故，排除AB；令，则，当时，，函数在单调递增，所以，即，故，故D选项错误. 综上，．故选：C 如果在某个区间上恒有， 那么在这个区间上恒有（c为常数）． 在区间内()是 函数在区间内单调递增(递减)的充分不必要条件. 一般地，函数 的单调性与导函数 的正负之间具有如下的关系： 在某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间上单调递增； 在某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递减． （1）因为 ， 所以． 所以，函数在上单调递增， 如图5.3-4(1)所示． （2）因为 ， 所以， 所以，函数在上单调递减， 如图5.3-4(2)所示． （3）因为，， 所以 ， 所以，函数 在 和 上单调递增，如图5.3-4(3)所示． 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间， 列表给出在各自区间上的正负， 由此得出函数在定义域内的单调性． 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数的单调性： （1） ， 则 ， ， 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� （2） ， 则 ， ， 所以 在 上单调递增， 在 单调递减． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� （1） ； （2） ． 由题设知： ，而 时有 ， 当 时，令 ，得 ，所以在 上 单调递减； 令 ，得 ，所以在 上 单调递增． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 当 时，令 ，得 ，所以在 上 单调递减； 令 ，得 ，所以在 上 单调递增． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 综上， 时， 在 上递减， 上递增； 时 在 上递增， 上递减． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 2．利用导数讨论二次函数 的单调区间． 3．函数 的图象如图所示，试画出函数 图象的大致形状． 由得，函数定义域为， 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 1）已知函数，求的单调区间. 2)．已知函数 ，设 ， 证明：在上单调递增； 由题设，， 所以. 当时，因 所以，即在上单调递增，故得证. (1)确定函数的定义域. (1)求导数. (3)解不等式，函数在解集与定义域的交集上为增函数. (4)解不等式，函数在解集与定义域的交集上为减函数. 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数的单调性： 已知函数，求的单调区间； ，，，， 令，解得或（舍），当时，， 即在上单调递减；当时，，即在上单调递增； 综上所述的单调递减区间为，单调递增区间为. 已知函数，求函数的单调区间； 由题可得， 令，解得或，令，解得， 令，解得或，所以的单调减区间为； 单调增区间为，. A． B． C． D． 1）已知 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） 当 时， ， ∴ ，故 在区间 上为减函数，排除AB； 当时， ，∴ ， 故在区间上为减函数，排除D.故选：C. 1）已知 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） 2)．已知R上可导函数的图象如图所示， 解不等式. 由题意及图得， 在中，当，时，， 当时，. 则①或②. 解①得，或，解②得，， 综上，不等式的解集为. 2）由原函数图象画导函数图象的依据： 若单调递增，则的图象一定在轴的上方； 若单调递减，则的图象一定在轴的下方； 若是常函数，则. 1）由导函数图象画原函数图象的依据： 根据，则单调递增，，则单调递减； 已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 由得，由题中图象可知， 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 故ACD都错，B正确， 已知三次函数 的极大值是20， 其导函数 的图象经过点 ， .如图所示. (1)求的单调区间；(2)求a，b，c的值； （2）由已知可得：和是的两个根， 解得：. 和时，，即 单调递增； 故答案为：单调递减区间是；单调递增是和. 由（1）可得的极大值在处取得， 故 （1）根据图象可知时，，即单调递减； （1） ，则函数在 上单调递减， 即单减区间为 ，无单增区间； （2） ， ， 则函数在 上单调递增，即单增区间为 ，无单减区间； 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） （2）， （3） （4） （3） ，则函数在 上单调递增， 即单增区间为 ，无单减区间； （4） ，则函数在 上单调递增， 即单增区间为 ，无单减区间； 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） （2）， （3） （4） 如图所示： （1）因为位移对于时间t的导数即速度，故汽车速度等于0的点即图中导数为0的点； 所以汽车速度等于0的点为； （2） 因为速度对于时间t的导数即加速度， 故（1）中标出点的意义是各点处的加速度为0. 3. 如图，已知汽车在笔直的公路上行驶． （1）如果表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点； （2）如果表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？ $