3.1.1 椭圆及其标准方程（思维导图+3大知识点+6大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

本高中数学讲义聚焦“椭圆及其标准方程”核心知识点，以思维导图为统领，系统梳理椭圆定义、标准方程推导及求方程的定义法与待定系数法，构建“概念-方法-应用”的学习支架，衔接后续轨迹、最值等题型探究。 资料特色在于“知识点梳理-题型归纳-变式训练”的递进设计，通过月考真题例题培养数学思维中的推理能力，利用焦点三角形、轨迹问题等题型强化数学眼光的几何直观，助力教师课中高效授课，学生课后通过变式练习查漏补缺，提升应用意识。

3.1.1 椭圆及其标准方程 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：椭圆的定义 4 知识点二：椭圆的标准方程 4 知识点三：求椭圆的标准方程 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：椭圆的定义与标准方程 7 题型二：椭圆方程的充要条件 10 题型三：椭圆中焦点三角形问题 13 题型四：两点距离的最值问题 16 题型五：线段的和差最值问题 19 题型六：轨迹问题 24 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形． 知识点二：椭圆的标准方程 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． （2）点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： ． （3）代数方程 ， 即：. （4）化简方程 由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）． （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 题型一：椭圆的定义与标准方程 【例题1】（2025·高二·山东泰安·月考）已知四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因椭圆为标准方程，其图像关于坐标轴对称， 点与点关于轴对称，又恰有三点在椭圆上， 可知两点必在椭圆上， 若点也在椭圆上，设椭圆方程为， 则将坐标代入椭圆标准方程可得，此方程组无解，故点不在椭圆上， 因此，在椭圆上的三点为 设椭圆方程为，将代入椭圆可得， ，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为： 【例题2】（2025·高二·重庆·月考）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 【答案】 【解析】设椭圆方程为，则， 解得，故椭圆方程为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【变式1】（2025·高二·湖北武汉·月考）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】根据题意，如图： ，由椭圆的对称性可得：， 又，由勾股定理可得：， 所以，， 又，则， 椭圆标准方程为． 故答案为：． 【变式2】（2025·高二·北京·期中）已知正三角形ABC的边长为4，则以点B，C为焦点，经过点A的椭圆标准方程为 ． 【答案】或 【解析】因为椭圆以点B，C为焦点，经过点A， 则，，即， 所以， 若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为：， 若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为：. 故答案为：或 【变式3】（2025·高二·江苏南京·月考）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【答案】 【解析】由题知：，① 又椭圆经过点， 所以，② 又，③ 联立解得：， 故椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 【变式4】（2025·高二·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【答案】 【解析】由题意设椭圆的方程为，， 将点代入，， 整理可得：， 解得或（舍， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：． 题型二：椭圆方程的充要条件 【例题3】（2025·高二·广东·月考）设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 【答案】C 【解析】若，则， 曲线,即， ， 表示焦点在轴上的椭圆． 故选： 【例题4】（2025·高二·海南·月考）命题，命题方程表示椭圆，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】，即， 方程表示椭圆等价于，解得. 当命题成立时，若，则命题不成立，不满足充分性； 当命题成立时，必满足，则命题成立，即，满足必要性； 是的必要不充分条件，故C正确． 故选：C． 【方法技巧与总结】 表示椭圆的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【变式5】（2025·高二·湖北武汉·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式6】（2025·高二·重庆·月考）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程表示椭圆，则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式7】（2025·高二·广东·期中）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【解析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得且， 所以实数的取值范围是且. 故选：D 【变式8】（2025·高二·重庆·月考）方程表示椭圆，则n的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由于方程表示椭圆，所以， 解得或． 故选：B． 【变式9】（2025·高二·河北·期中）“曲线表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若曲线表示椭圆，有，可得或， “曲线表示椭圆”可以推出“”， “”不可以推出“曲线表示椭圆”， 可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 题型三：椭圆中焦点三角形问题 【例题5】（2025·高二·河北石家庄·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在椭圆C中，， 由椭圆的定义可得， 则的周长为. 故选：C 【例题6】（2025·高二·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 【方法技巧与总结】 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 【变式10】（2025·高二·山东青岛·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，则，设， 因为的面积为，所以，解得，即 可得，解得，则点的横坐标是，故B正确. 故选：B 【变式11】（2025·高二·重庆·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由椭圆的方程得， 由椭圆的定义知：，则 故在中，因为， 故根据余弦定理知：， 即，解得， 所以 所以，即， 所以. 故选：C 【变式12】（2025·高三·云南玉溪·期中）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为①， ， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即. 故选：B 【变式13】（2025·高二·河南南阳·月考）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设焦点在轴上，设椭圆C的方程为， 如图，设，则①， 在中，由余弦定理得，， 又，所以，整理得到， 又，，当且仅当时取等号， 所以当时，取到最小值，此时最大，为椭圆的上顶点或下顶点， 不妨设为椭圆C的上顶点，因为椭圆C上存在点P，使得， 则，所以， 所以，即， 得到，则， 选项A中：，选项B中：，选项C中：， 选项D中：， 故B正确，其它错误， 故选：B． 【变式14】（2025·高二·全国·单元测试）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意． 在中，由余弦定理得， ， 即，所以． 故选：A. 题型四：两点距离的最值问题 【例题7】（2025·高二·天津南开·月考）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为 ． 【答案】1 【解析】由题意可知， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为. 故答案为：1 【例题8】（2025·高二·吉林长春·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得椭圆， 所以， ， 因为，即， 所以，即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化 【变式15】椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有 个． 【答案】 【解析】由题意可得，根据椭圆定义，若点到椭圆的一个焦点的距离为6， 则它到椭圆的另一个焦点的距离为， 因为，所以椭圆上点到椭圆的一个焦点的距离为6等价于椭圆上点到椭圆的两个焦点的距离分别为和6， 根据椭圆的对称性，所以这样的点共有4个. 故答案为：. 【变式16】（2025·高二·江苏常州·期中）已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】不妨取为椭圆的左焦点，设， 由椭圆可得，且满足，即； 因此， 又易知，所以可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式17】（2025·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由已知可得为椭圆的焦点， 根据椭圆定义知， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 【变式18】（2025·高三·辽宁朝阳·月考）已知为椭圆：的右焦点，P为C上一点，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】依题意，，， 所以. 故答案为：. 【变式19】（2025·高三·广东·月考）已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】依题设，则，， 因为， 所以，当且仅当取等号，即， 由，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故. 故答案为： 题型五：线段的和差最值问题 【例题9】已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】显然为椭圆的左焦点，令其右焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 当且仅当点在线段上时取等号，而，当且仅当在线段上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段反向延长线与圆的交点时，取得最大值. 故答案为： 【例题10】（2025·高二·天津和平·期中）已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为 【答案】 【解析】在椭圆中，，，则，即点， 设其右焦点为， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点，圆心，半径为， . 当且仅当共线且在之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【变式20】（2025·高二·贵州·期中）如图，已知．动点到点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点，当点在运动时，记点的轨迹为，则的方程为 ，的取值范围为 ． 【答案】 ； . 【解析】 如图，连接，因点是线段的中垂线上一点，故， 由题意，且，即， 故点的轨迹为以点为两焦点的椭圆， 由可得，则， 故轨迹的方程为. 因点是椭圆上的一点，则， 于是， 由图知，， 当且仅当点为椭圆的左端点（）时不等式右端取等号， 当且仅当点为椭圆的右端点（）时不等式左端取等号， 即，故的取值范围为. 故答案为：；. 【变式21】（2025·高二·山西·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上的动点，Q为圆：上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由圆：有：，所以圆心，半径， 又因为椭圆：，所以，所以， 由椭圆的定义有：，所以， 所以， 当直线过圆心时，， 所以， 故答案为：. 【变式22】（2025·高二·安徽合肥·期中）在边长为3的正方形中，点为边的中点，已知点为正方形内（包括边界）一动点，且到点的距离和到边的距离的比为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】假设正方形边在平面直角坐标系的轴上， 由题意得，点到点的距离和到边的距离的比为， 根据椭圆的第二定义（平面内与定点（焦点）和与定直线（准线）的距离的比为离心率的点的轨迹为椭圆）， 点在以点为右焦点，直线为右准线的椭圆上. 设，则准线的方程为，所以， 解得，故椭圆的标准方程为. 结合正方形的几何约束，如图，点的轨迹为该椭圆上满足的弧段，且，椭圆另一焦点为. 由椭圆的定义知， ，当三点共线时，最短， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 【变式23】（2025·高二·陕西咸阳·月考）已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值与最小值的和为 . 【答案】12 【解析】，则椭圆左焦点为，右焦点为. 由椭圆定义，，则. 当三点共线时，易得. 因，则. 则，即的最大值为，最小值为.从而的最大值与最小值的和为12. 故答案为：12 【变式24】（2025·高二·上海·期中）点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 【答案】8 【解析】根据由题意可知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心； 易知两圆半径都为，由椭圆定义可得，如下图所示： 因此可得的最大值为，即图中的位置； 最小值为；即图中的位置； 所以可得. 故答案为：8 题型六：轨迹问题 【例题11】（2025·高二·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 【答案】 以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 【解析】设， 因为表示点到的距离，表示点到的距离， 又动点满足， 又，即， 动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆． 得，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 【例题12】（2025·高二·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式25】（2025·高二·湖南常德·月考）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 【变式26】如图，已知椭圆的焦点分别为，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，若线段的中点为，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么． 【解析】作关于直线的对称点，如下图所示，由角平分线的性质得点在直线上， 则有，又,, , ，. 椭圆中 ． 如图，为中点，为中点，连接，则是的中位线， ． 点和点都是动点，且点依赖于点进行变化，设，则， 根据两点间距离公式：， ，则点的轨迹方程是， 若点M位于轴时，点P在轴上无法构成三角形，不符合题意，故， 点的轨迹方程化为标准方程为：， 即点的轨迹是焦点在轴上，，的椭圆（不含轴上两点）． 【变式27】设椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上任取一点，过点作的补角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 【解析】由题意，延长并交于点，易证， 则，， 又为的中点，连接，则， 从而可知 设点的坐标为，则. 故答案为： 【变式28】（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式29】已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是 . 【答案】 【解析】设圆的半径为，则根据题意，得， 于是， 由椭圆的定义可知：点的轨迹为满足的椭圆， 因此点的轨迹方程为． 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：椭圆的定义 4 知识点二：椭圆的标准方程 4 知识点三：求椭圆的标准方程 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：椭圆的定义与标准方程 7 题型二：椭圆方程的充要条件 8 题型三：椭圆中焦点三角形问题 9 题型四：两点距离的最值问题 10 题型五：线段的和差最值问题 10 题型六：轨迹问题 11 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形． 知识点二：椭圆的标准方程 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． （2）点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： ． （3）代数方程 ， 即：. （4）化简方程 由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）． （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 题型一：椭圆的定义与标准方程 【例题1】（2025·高二·山东泰安·月考）已知四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆的标准方程为 ． 【例题2】（2025·高二·重庆·月考）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 【方法技巧与总结】 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【变式1】（2025·高二·湖北武汉·月考）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 ． 【变式2】（2025·高二·北京·期中）已知正三角形ABC的边长为4，则以点B，C为焦点，经过点A的椭圆标准方程为 ． 【变式3】（2025·高二·江苏南京·月考）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【变式4】（2025·高二·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 题型二：椭圆方程的充要条件 【例题3】（2025·高二·广东·月考）设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 【例题4】（2025·高二·海南·月考）命题，命题方程表示椭圆，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 表示椭圆的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【变式5】（2025·高二·湖北武汉·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·重庆·月考）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式7】（2025·高二·广东·期中）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 【变式8】（2025·高二·重庆·月考）方程表示椭圆，则n的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式9】（2025·高二·河北·期中）“曲线表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：椭圆中焦点三角形问题 【例题5】（2025·高二·河北石家庄·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【例题6】（2025·高二·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【方法技巧与总结】 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 【变式10】（2025·高二·山东青岛·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（   ） A． B．0 C． D． 【变式11】（2025·高二·重庆·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式12】（2025·高三·云南玉溪·期中）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 【变式13】（2025·高二·河南南阳·月考）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式14】（2025·高二·全国·单元测试）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型四：两点距离的最值问题 【例题7】（2025·高二·天津南开·月考）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为 ． 【例题8】（2025·高二·吉林长春·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化 【变式15】椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有 个． 【变式16】（2025·高二·江苏常州·期中）已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 【变式17】（2025·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【变式18】（2025·高三·辽宁朝阳·月考）已知为椭圆：的右焦点，P为C上一点，则的最大值为 . 【变式19】（2025·高三·广东·月考）已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 . 题型五：线段的和差最值问题 【例题9】已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 . 【例题10】（2025·高二·天津和平·期中）已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为 【方法技巧与总结】 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【变式20】（2025·高二·贵州·期中）如图，已知．动点到点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点，当点在运动时，记点的轨迹为，则的方程为 ，的取值范围为 ． 【变式21】（2025·高二·山西·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上的动点，Q为圆：上的动点，则的最大值为 . 【变式22】（2025·高二·安徽合肥·期中）在边长为3的正方形中，点为边的中点，已知点为正方形内（包括边界）一动点，且到点的距离和到边的距离的比为，则的最小值为 . 【变式23】（2025·高二·陕西咸阳·月考）已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值与最小值的和为 . 【变式24】（2025·高二·上海·期中）点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 题型六：轨迹问题 【例题11】（2025·高二·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 【例题12】（2025·高二·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为 ． 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式25】（2025·高二·湖南常德·月考）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 【变式26】如图，已知椭圆的焦点分别为，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，若线段的中点为，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么． 【变式27】设椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上任取一点，过点作的补角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 【变式28】（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【变式29】已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $