精品解析：河南省焦作市武陟县2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题

2025－2026学年（上）期中学情调研 九年级数学（人教版） 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：符合轴对称图形的是D选项； 故选D． 2. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（其中，且，，为常数）的函数叫作二次函数，根据二次函数的定义逐项判断即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、中，是关于的二次函数，故不符合题意； B、符合二次函数的定义，故符合题意； C、不符合二次函数的定义，故不符合题意； D、不符合二次函数的定义，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列四条抛物线中，开口最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图象的开口大小与有关，越大，开口越小；越小，开口越大． 【详解】解：， 开口最大， 故选：D． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意； D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意； 故选C． 6. 若、是方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，并代入表达式求值． 【详解】解：∵、是方程 的两个根， ∴ ， ， ∴ ． 故选：D． 7. 如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（ ） … 0 1 … … 1 1 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与对应一元二次方程的关系，由表格数据可知，当时，，当时，，可得函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是，即可得到一元二次方程一个解的范围． 【详解】解：由表格数据可知，当时，，当时，． ∴函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是， 即一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 8. 如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弧的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作，连接，根据题中条件可得，，进一步可推出，用弧长公式求解即可． 【详解】解：过点O作，连接，，如图所示， ∵将半圆沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的折叠问题，涉及解直角三角形、圆心角、弧的关系定理，垂径定理、圆周角定理、弧长公式等，正确作出辅助线是关键． 9. 如图，五边形内接于，，，则（ ） A. 120° B. 111° C. 110° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据A、B、C、D四点共圆，，得出，再根据三角形内角和为180°，得出，最后根据A、B、D、E四点共圆，得出． 【详解】解：∵A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵A、B、D、E四点共圆， ∴， ∴，故B正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补，是解题的关键． 10. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 当或1时， D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可确定a，b，c的符号，从而确定abc的符号，由x=-1的函数值可确定B选项，由图象与x轴的一个交点及对称轴可确定C选项，由x=-2时的函数值可确定D选项． 【详解】∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵图象与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴＝−1， ∴b=2a＜0， ∴abc＞0， ∴A选项不合题意， 由图象可知x=-1时，y取最大值， ∴a-b+c为最大值， ∴B选项不合题意， ∵由图象可知y=0的一个根为x=1， 由∵对称轴为直线x=-1， ∴另一个根为x=-3， ∴C选项不合题意， 由图象可知x=-2时，y＞0， ∴4a-2b+c＞0， ∴不正确的是D选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据图象得出各系数之间的关系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个顶点位于第四象限，开口向下的二次函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数顶点式为，其中为顶点坐标．开口向下需满足，顶点在第四象限需满足且． 【详解】解：取，，，则函数解析式为，满足开口向下且顶点位于第四象限． 故答案为． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 13. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台． 【答案】4 【解析】 【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解． 【详解】解：∵， ∴对应的圆心角的度数为， ∵， ∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台； 故答案为：4 【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． 14. 已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x=代入代数式即可求得． 【详解】∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点， ∴，顶点为（-2,1） ∴由题意可知a>0, ∵线段AB的长不大于4， ∴4a+1≥3 ∴a≥ ∴a2+a+1的最小值为：（）2++1=； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键． 15. 如图，在和中，，，．固定，将绕点顺时针旋转得到，当与边垂直时，直接写出的度数______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换，三角形内角和定理，分三种情形分别画出图形求解即可． 【详解】解：①当时，如图中， ，， ， 即． ②当时，如图中， ，， ， ，即． ③当时，如图中， ，， ， ， ， ，即． 综上所述，满足条件的的值为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先化为一般形式，再根据因式分解法解一元二次方程； （2）先化为一般形式，再根据因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ． 【小问2详解】 解： ， 或， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）将绕点顺时针旋转，得到．请在坐标系中画出，并写出点的坐标． （2）将继续绕点顺时针旋转，得到．点是中一点，经两次旋转后在中的对应点的坐标为，求的值． 【答案】（1） 图形如下： （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据题意可得，连续两次旋转可得图形关于原点中心对称，即可得解； 【小问1详解】 ，，， 绕点顺时针旋转， ． 【小问2详解】 由题可得，绕点顺时针旋转得到， 与成中心对称图形， 与关于原点中心对称， ， ， 解得：， ，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2）或2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，因式分解法解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ． 【小问2详解】 解：∵是方程的一个根， ， 代入， 整理得：， 解得：，， ， 或2． 19. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题关键． （1）由三角形内角和定理，得到，再根据旋转的对应角相等求解即可； （2）由勾股定理得，由旋转的性质得，，，进而得到，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴在中，． 20. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】（1）100+200x；（2）1 【解析】 【分析】（1）销售量=原来销售量+增加销售量，列式即可得到结论； （2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论． 【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元， 则每天的销售量是100+×20=100+200x斤； 故答案为：100+200x； （2）根据题意得：， 解得：x=或x=1， ∵每天至少售出260斤， ∴100+200x≥260， ∴x≥0.8， ∴x=1． 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 21. 定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是这个函数的“幸运数”，求的值． （2）若此函数有两个相异的“幸运数”、，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义得到抛物线经过点，将点代入求解即可； （2）由题意得抛物线经过点，并在直线上，令，根据求得，而，则当时，，即可求解． 【小问1详解】 解：若7是这个函数的“幸运数”，则抛物线经过点， ∴将点代入，得， 解得：． 【小问2详解】 解：点、在直线上，设， 整理得， ∵函数有两个相异的“幸运数”、， ， 解得， 设， ，， 图象开口向上， 时，， 解得， 综上，的取值范围是． 22. 如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，C、D均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（b、c为常数）． （1）求点B的坐标； （2）若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键； （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出的值，进而求出点的坐标即可； （2）求出点和点的纵坐标，进而求出点和点的横坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∵，，，， ∴， ∴， 将点代入，得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵与之间的距离为， ∴点E与点F的纵坐标为. 令，得， 解得，， ∴，即水面的宽度为； 23. 数学家和物理学家也会进行学术交流，有一次法国数学家费马向意大利物理学家托里拆利提出了这样一个问题：在所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．由此后人把满足这样条件的点称为费马点．如图1，当三个内角均小于时，点在内部，当时，发现有最小值．此时点即为费马点． （1）爱思考的脑子可能会想为什么．学过旋转之后小哲尝试了这样的操作：如图1，将绕点顺时针旋转______得到，连接可得为等边三角形，______，由旋转可得______，因此． （2）就图1请说明为什么当时，最小． （3）如图2，在直角三角形内部有一动点．，，连接、、．若，的最小值为______． 【答案】（1）60，， （2） 解： 当时， 依题意，可得，为等边三角形， ∴， ∴四点共线， ∴等于的长，根据两点距离最短，最小 （3） 【解析】 【分析】考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． （1）根据旋转的性质，即可求解； （2）根据题意可得四点共线，等于的长，根据两点距离最短，即可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点，首先证明，求出的值即可解决问题． 【小问1详解】 如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接可得为等边三角形，，由旋转可得，因此 故答案为：60，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点， 在中，，， ， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形， ， ， ， 当、、、共线时，的值最小， ，， ， ，， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年（上）期中学情调研 九年级数学（人教版） 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四条抛物线中，开口最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 6. 若、是方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 2025 D. 2026 7. 如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（ ） … 0 1 … … 1 1 … A. B. C. D. 8. 如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弧的长是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，五边形内接于，，，则（ ） A. 120° B. 111° C. 110° D. 80° 10. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 当或1时， D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个顶点位于第四象限，开口向下的二次函数解析式______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是______． 13. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台． 14. 已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是_________. 15. 如图，在和中，，，．固定，将绕点顺时针旋转得到，当与边垂直时，直接写出的度数______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）将绕点顺时针旋转，得到．请在坐标系中画出，并写出点的坐标． （2）将继续绕点顺时针旋转，得到．点是中一点，经两次旋转后在中的对应点的坐标为，求的值． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 19. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 20. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 21. 定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是这个函数的“幸运数”，求的值． （2）若此函数有两个相异的“幸运数”、，且，求的取值范围． 22. 如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，C、D均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（b、c为常数）． （1）求点B的坐标； （2）若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 23. 数学家和物理学家也会进行学术交流，有一次法国数学家费马向意大利物理学家托里拆利提出了这样一个问题：在所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．由此后人把满足这样条件的点称为费马点．如图1，当三个内角均小于时，点在内部，当时，发现有最小值．此时点即为费马点． （1）爱思考的脑子可能会想为什么．学过旋转之后小哲尝试了这样的操作：如图1，将绕点顺时针旋转______得到，连接可得为等边三角形，______，由旋转可得______，因此． （2）就图1请说明为什么当时，最小． （3）如图2，在直角三角形内部有一动点．，，连接、、．若，的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $