2025-2026学年湘教版数学九年级上册期末质量检测卷

2025-2026学年湘教版数学九年级上册期末质量检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则的值为（    ） A．－1 B． C． D．1 3．某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是(　　) A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．若x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（　　） A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28 C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 6．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（    ） A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 7．甲、乙、丙、丁四支花样滑冰队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的滑冰队是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（    ）． A． B． C．50 D．30 9．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确结论的是（    ） A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．在中，若，则等于 ． 12．若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 13．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为 ． 14．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能 ．（参考数据：，） 15．如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长交于点，若，，则线段的长为 ． 16．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S△ABE＝4S△ECF．其中正确的有 （填序号）． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算与解方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)当k取何值时，方程有实数根？ (2)在（1）的条件下，若k是满足条件的最小整数，求方程的根． 19．如图，已知在平行四边形中，点F在延长线上，． (1)尺规作图：在上找一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）； (2)在（1）条件下，若点E为中点，，，求的长． 20．在寒冷的冬天，某店铺销售一批棉鞋，进价每双元，售价每双元，平均每天可售出双，为了扩大销售，增加盈利，店铺决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每双降低元，店铺平均每天可多售出双，但每双最低价不得低于元． (1)若每双棉鞋降低元（取整数），店铺平均每天所售双数为，试写出与之间的函数关系式； (2)每双棉鞋降低多少元时，店铺平均每天盈利元？ (3)每双棉鞋降低多少元时，店铺平均每天盈利最多？ 21．如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架所在直线相交于水箱横断面的圆心，支架与水平面垂直，厘米，真空集热管的斜面坡度为，另一根辅助支架厘米，．（参考数据：，） (1)求垂直支架的长度． (2)求水箱半径的长度． 22．已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数解析式及的值： (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积． 23．如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 24．在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：． 证明：如图1，过点C作于点D，则：在中，，在中，， ， ． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，若，，，求的度数； (2)如图3，一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号，参考数据：，） 25．如图，是正方形边上点，． (1)在图（1）中，延长至点，使，并连接，求证：； (2)在图（2）中，若，求E的值； (3)在图（1）中，连接分别交，于点，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年湘教版数学九年级上册期末质量检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A C A C D B B 1．D 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是正比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选D． 2．B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 3．C 【详解】解：40个数据最中间的两个数为第20个数和第21个数，而第20个数和第21个数都是14（岁），所以这40名学生年龄的中位数是14岁．故选C． 4．A 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据反比例函数图像上点的坐标特征分别代入，求出、、的值，比较即可得答案． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， 解得：，，， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：x(x﹣1)场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝28场，依此等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为x(x﹣1)场， 根据题意列出方程得：x(x﹣1)＝28， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间的比赛的总场数除以2． 6．A 【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标． 【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是， ∴， 又∵点A(6，3)、B(6，0)． ∴OB=6，AB=3， ∴OD=2，CD=1， ∴点C的坐标为：（2，1）， 故选A． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 7．C 【分析】找出方差最小的游泳队即可． 【详解】解：，，，，且， 身高比较整齐的游泳队是丙游泳队， 故选：C． 【点睛】本题考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差的意义：方差越小，数据波动越小，越稳定． 8．D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长． 【详解】解：， ， 即， ， 的长是． 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 10．B 【分析】由正方形的性质得到，证明， 得到，再证明，得到，故①正确；证明，得到．由于，则，进而得到，故②错误；证明， 推出．进而证明，故③正确；求出，由相似三角形的性质得到，则．证明，得到，即，故④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ． ∵ ， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， 即，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟知全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 11． 【分析】本题考查平方的非负性与二次根式的非负性，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理．先根据非负性求出，的值，从而得到、的值，再根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义推出，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵p，q是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：∵轴，的面积为3， ∴， 由题意， ∴． 故答案为：． 14．159 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题意可得：他耗能，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 某人爬了，该坡角为， 则他耗能， 故答案为：159． 15． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，且，结合角平分线可得，即，进而可得，由可得答案． 【详解】解： ， ， ，为的中点， ， ， 又平分， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，平行线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件． 16．②④． 【分析】由正方形的性质和三角函数得出∠BAE＜30°，①不正确；由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，得出②正确，CF=13FD，③不正确；进而又可得出△ABE∽△AEF，得出④正确，即可得出题中结论． 【详解】解：tan∠BAE＝， ∴∠BAE≠30°，故①错误； ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝∠B＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△BAE∽△CEF， ∴， ∵BE＝CE＝BC， ∴＝＝4， ∴S△ABE＝4S△ECF，故④正确； ∴CF＝EC＝CD， ∴CD＝4CF， 故③错误； 设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a， ∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a， ∴，， ∴， ∴△ABE∽△AEF，故②正确． ∴②与④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、三角函数；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 17．(1)2 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）先化简各数，进行特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：原式； （2）， ， 解得． 18．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程因式分解法，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）先求出的值，再求出所得方程的解即可． 【详解】（1）解：因为方程有实数根， 所以， 解得， 所以的取值范围是； （2）解：由（1）知， 满足条件的最小整数的值为1， 则方程为， 解得，， 所以方程的根为，． 19．(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了作图相似变换，平行四边形的性质． （1）过点作的垂线交于，于是得到结论； （2）根据平行四边形到现在得到，，由点为中点，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：四边形是平行四边形， ，， 点为中点， ， ， ， ， ， ． 20．(1)； (2)每双棉鞋降低元时，店铺平均每天盈利元； (3)每双棉鞋降低元时，店铺平均每天盈利最多． 【分析】（1）依据题意，由每双棉鞋降低元（取整数），从而可得店铺平均每天所售双数为； （2）依据题意，设每双棉鞋降低元时，店铺平均每天盈利元，列出方程后可解得或，根据题中所给的限制条件：每双最低价不得低于元，推得，则，进而可以判断得解； （3）设店铺平均每天盈利为元，结合（2）可得，，又，结合二次函数的性质，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，每双棉鞋降低元（取整数）， 店铺平均每天所售双数为． （2）解：由题意，设每双棉鞋降低元时，店铺平均每天盈利元， ， 或， 又， ， ． 答：每双棉鞋降低元时，店铺平均每天盈利元． （3）解：设店铺平均每天盈利为元， 结合（2）可得，, ， ， ， ， 当时，店铺平均每天盈利取最大值为元． 答：每双棉鞋降低元时，店铺平均每天盈利最多． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用、一元二次方程的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． 21．(1)厘米 (2)水箱半径为厘米 【分析】本题考查坡度、坡角以及直角三角形的边角关系，掌握坡度的意义以及直角三角形的边角关系是解决问题的前提． （1）解直角三角形即可， （2）利用坡度和直角三角形的边角关系可求出答案． 【详解】（1）解：由题意知，在中， ， 厘米； （2）解：连接， 在中，， 的坡度为， ， ， 记水箱半径为，在中， ， ， ， 水箱半径为厘米 22．(1)反比例函数解析式为，的值为； (2)点，． 【分析】（）把，代入反比例函数，求出和的值，然后代入即可求出解析式； （）由（）可得，再把，代入一次函数，求出一次函数解析式为，当时，，即点，最后由即可求出面积； 此题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数、反比例函数与图形面积问题，一次函数与坐标轴的交点问题，正确掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数的图象上， ∴， 解得：，， ∴反比例函数解析式为，的值为； （2）解：由（）得， ∴， ∵，在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴点， 由 ． 23．(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 24．(1) (2)平方米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用以及三角形内角和定理等知识． （1）根据题目提供的方法进行证明，解得，则，然后由三角形内角和定理求出的度数即可； （2）过点作于点，由三角形内角和定理求出，再由锐角三角函数定义求出的长，然后求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ， 即， 解得：， ， ， ∴的度数为； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在△中，（米）， 又， 即， 解得：（米）， （平方米）． 25．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的应用，解直角三角形，正确画出辅助线是解题的关键． （1）根据题意得到，可证明，得出，得到，即可证明结论； （2）设正方形的边长为，则，得到，得出； （3）连接，可证明，得出，，证明，得到． 【详解】（1）证明∶作图如图，在和中， ， ，     ， ， ， ，即， ． ， ． （2）解：， ． 设正方形的边长为，则． 由（1）得， 在中，， ， 解得， ． （3）解：如图，连接． ， ， 又， ， ， 同理，     ． ， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $