平面向量 课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习课时作业：平面向量 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.在平面直角坐标系xOy中，OAOB上√2，AB=2.设C3,4),则12C4+AB的取值范围是() A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14 D.[8,12] 2.如图，在四边形ABCD中，AE+BD+DC4,4B.BD=BDDC=0,B,BD+BDDc=4,则 AB+DC)AC的值为() A.2 B.2√2 C.4 D.4V2 3.若a,方是非零向量且满足（ā-2b)1a,(6-2a)1b,则a与6的夹角是(） a君 B D. 4.已知向量a与的夹角为120，同=3，a+=3,则等于() A.1 B.3 C.4 D.5 5.已知向量a满足园=la+26=2,且（⑥-2a)1五，则=(） A.月 B.返 2 c.v3 D.1 2 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C.向量p=(a+c,b),互=(b-a,c-a@).若D/1q,则角C的 大小为() A 2 B. C. 2 D. 7.设a,万均是非零向量，且d-2,若关于x的方程x2+x+a-i=0有实根，则a与的夹角的取值范围为() c.33 π2π 8.己知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos(a+i,a-)=() B.7 17 c.5 5 D.25 5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.双自战C号芳=a06>0的左、有在点分别为系只，本、右限有分别为44，以R只为直检的质与 C的一条渐近线交于M,N两点，且NMM=5,则() 6 A.A选-活 B.M4=2M4 C.C的离心率为V3 D.当a=√2时，四边形AMA的面积为8√3 10.己知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2x(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点，其中A在第一象限，点M(P,0), 若引AF日AM|,则() A.直线AB的斜率为2√6 B.OBOF C.|AB卜4|OF| D.∠OAM+∠OBM<1809 11.己知O为坐标原点，点(cosx,sina),?(cosB,-sinB),?(cos(a+B),sin(a+),A1,0),则() A.OR -OR B.A☑=AE C.OA.OP:=OP.OP D.OA.O亚=OP,.OP 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0)、B(2,O),E、F是y轴上的两个动点，且|EF=2,则A正.BF的最小 值为 1,x>0 13.已知f()={0,x=0,示6、元是平面内三个不同的单位向量.若f(a.i+f6.)+f.而=0，则1ā+6+c到 -1,x<0 的取值范围是 14.已知正方形ABCD的边长为1，DE=2EC,若BE=BA+BC，,其中元，4为实数，则元+=；设F是线 段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AF.DG的最小值为■ 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)设函数w)=a-6,其中向量a=,cosx).6-1+sinx),xeR,且/写=2. (1)求实数的值： (2)求函数f(x)的最小值. 16.（15分)设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x∈R,函数f(x)=a.(a+b). (1)求函数f(x)的最大值与最小正周期： (2求使不等式f之多成立的x的取值集合。 17.（15分)设函数f(x)=a.(b+c),其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期： (2)将函数f(x)的图像按向量ā平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的ā. 18.(17分)给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点. (1)设1的斜率为1，求OA与OB夹角的大小： (2)设FB=1AF,若元∈[4，]，求1在y轴上截距的变化范围. 19.(17分)已知向量a=(cosx,sin),方=(3，-V5),x0]. (1)若ab,求x的值： (2)记f(x)=ab,求函数y=∫(x)的最大值和最小值及对应的x的值. 2026届高考数学一轮复习 课时作业：平面向量 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，，由平方可得，，所以． ，， 所以，， 又，即， 所以，即， 故选：D. 2．如图，在四边形 中，，，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意首先求得和的值，然后结合数量积的运算法则可得的值. 【详解】 由 解得 ，因为，所以，， 结合图象可得 与 方向相同，所以， 所以. 故选：C. 3．若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，，得，，化简后再结合两向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设与的夹角是，，，即 ①， 又，，即 ②，由①②知，， ，所以与的夹角为.故选：B 4．已知向量与的夹角为，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 所以，，即， 整理可得，解得（负值已舍去）.故选：C. 5．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即，又因为， 所以，从而.故选：B. 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得，由余弦定理可求. 【详解】因为向量，， 因为，所以，即，由余弦定理可得. 因为，所以，故选：B. 7．设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由有实根，可得，再结合向量的夹角公式和可求得，从而可求出两向量的夹角范围. 【详解】因为关于的方程有实根，所以，所以， 因为均是非零向量，且，所以， 因为，所以，故选：B. 8．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以.故选：B. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即，故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为，故D正确，故选：ACD. 10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确.故选：ACD. 11．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误；故选：AC 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为 【答案】 【分析】设，，表达出，求出最小值，设，，表达出，求出最小值，得到答案. 【详解】设，，∴，， ，当时，最小值为； 设，，∴，， ，当时，最小值为；故答案为： 13．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故.不妨设，则， 不妨设，， 则，则，则 ，由，，则， 故.故答案为：. 14．已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则，可得，所以； 由题意可知：，因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则，可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设，且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）设函数，其中向量，且． (1)求实数m的值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】(1)利用平面向量数量积的坐标表示求出f(x)，再结合即可求出值； (2)根据辅助角公式化简f(x)解析式，进而根据正弦型函数的性质得到答案． 【详解】（1）向量，，，， 又，∴，解得． （2）由(1)得，当时，的最小值为． 16．（15分）设向量，函数． (1)求函数的最大值与最小正周期； (2)求使不等式成立的的取值集合． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意和向量的数量积坐标运算，求出解析式并利用倍角公式以及平方关系进行化简，由正弦函数的性质和，求出最大值、最小正周期； （2）代入解析式进行化简成关于正弦函数的不等式，再由正弦函数的性质求出不等式的解集． 【详解】（1）解：由题意知， ， 即，的最大值为，最小正周期． （2）解：由（1）知，，，即，即， ，，解得，， 即成立的的取值集合是． 17．（15分）设函数，其中向量． (1)求函数的最大值和最小正周期； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的． 【答案】(1)的最大值为，最小正周期为 (2) 【分析】（1）利用数量积的坐标运算，二倍角公式以及辅助角公式对进行化简，即可求解； （2）先求出的对称中心，可得，再通过要最小即可求解 【详解】（1）因为 所以， 所以， 所以的最大值为，最小正周期为； （2）由可得即，所以的对称中心为， 于是，， 因为为整数，要使最小，则只有，此时即为所求 18．（17分）给定抛物线，是的焦点，过点的直线与相交于两点． (1)设的斜率为，求与夹角的大小； (2)设，若，求在轴上截距的变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据抛物线方程求得焦点的坐标，进而可求得直线的方程，代入抛物线方程消去，设出的坐标，根据韦达定理，利用向量的夹角公式即可求解； （2）根据已知条件及向量的关系式得关于和的方程组，进而求得．得到的坐标，根据焦点坐标可得直线的方程，进而求得直线在轴上的截距，利用导数法求函数在上的最值即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，解得，所以的焦点为， 因为的斜率为，所以直线的方程为． 设，则联立方程，消去，得.所以， 因为点在直线上，所以， 因为，所以， ， 所以，所以与夹角的余弦值为. 所以，与夹角的大小为 （2）解：由已知，，所以， 由，得，所以，由得， 因为，所以，联立，解得．依题意有． 所以，或，又，所以，直线的方程为或， 当时，在轴上的截距为或， 设，，则，令，即，解得， 当时，，所以在上是单调递减；所以，在上是单调递减. 当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为，所以，即， 所以，直线在轴上的截距的变化范围为． 19．（17分）已知向量． （1）若，求x的值； （2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值． 【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值. 【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值． （2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值． 【详解】解：（1）∵向量． 由，可得：，即， ∵x∈[0，π] ∴． （2）由 ∵x∈[0，π]， ∴ ∴当时，即x＝0时f（x）max＝3； 当，即时． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：平面向量 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.在平面直角坐标系xOy中，04HOB2,AB1=2.设C3,4),则12C7+HB1的取值范围是（) A.[6,14 B.[6,12] C.[8,14 D.[8,12] 【答案】D 【分析】先根据AB=OB-OA,求出(OA,OB),进而可以用向量OA,OB表示出2CA+AB,即可解出. 【详解】因为0A日OB=V2,AB2,由4正=-O丽-OA平方可得，OA.OB=0,所以(OA,OB)= 3 2CA+4B=2(@A-0c)+0B-0A=0A+0B-20C,oC=V32+4=5, 所以，2C4+AB=OA+0B'+40C2-4@A+0丽)0C=2+2+4×25-4(OA+0B)0C=1044@A+0B)0c, 又(oA+0B)0G≤aA+0od=5xW2+210,即-10s(@A+0B)0Cs10, 所以2C☑A+AB∈[64,144]，即2CA+ABe812], 故选：D 2.如图，在四边形ABCD中，B+BD+DC=4,4AB.BD=BD.DC=0,ABBD+BDDc4,则 (AB+DC)AC的值为() D A.2 B.2√5 C.4 D.4V2 【答案】C 【分析】由题意首先求得AB+DC=2和BD=2的值，然后结合数量积的运算法则可得的值， 【详解】 (A®+DG)+Bd=4, 4B+DC=2 由 解得 因为AB.BD=BD.DC=0,所以AB⊥BD,BD⊥DC, (4B+DC)BD=4. BD =2 结合图象可得AB与DC方向相同，所以AB+DC=AB+DC， 所以(AB+DCAC=西+DC Ccosa∠CAB=+DC=4. 故选：C 3.若a,6是非零向量且满足(a-2b)1a,(6-2a)1b,则a与6的夹角是() A. 6 R e D. 【答案】B 【分析】由(a-2b)1a,(伍-2a1五，得-2a.万=0，（⑥-2a五=0，化简后再结合两向量夹角余弦公式求解 即可 【详解】设a与b的夹角是u,(a-2b)1a,(a-2b）ā=0，即l-2a.b=0①， 又(6-2a)1b,6-2a)五=0，即-2a.6=0②，0②知同=，ā-6=2=)5， ..cosa= a.b 过上，所以a与万的夹角为5故选：B 2 4.已知向量a与的夹角为120，日=3，a+=3,则等于() A.1 B.3 C.4 D.5 【答案】c 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，解之即可， 【详解】因为向量a与6的夹角为120°，a=3,a+=3, 所以，a+=+2a-6+万-+2d月cos120+月=13，即9-3+=13， 整理可得-3副月-4=0，解得=4（负值已舍去）故选：c 5.已知向量ab满足=1a+2=2,且(6-2a)1五，则=() 1 A.2 n. c. 2 D.1 【答案】B 【分析】由（亿-2a)16得=2a.6,结合=1a+2=2,得1+4a.6+42=1+66=4,由此即可得解 【详解】因为（⑦-2a)1五，所以（⑥-2a)i=0,即6-2a.6,又因为a=1,a+2=2, 所以1+6+46-1+6=4，从而间=5故选：B 2 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量方=(a+c,b),i=(b-a,c-a.若方/1G,则角C的 大小为() A. B. 3 c D. 2元 3 【答案】B 【分析】根据11g,得c2=a2+b2-ab,由余弦定理可求。 【详解】因为向量p=(a+c,b),4=(b-a,c-a), 因为D/,所以(a+cc-a)=b(b-a),即c=a+b-ab,由余弦定理可得cosC=a+b_c- 2ab 因为Ce(Q),所以C-胥故迹：B 7.设a6均是非零向量，且日=2，若关于x的方程x+x+a万=0有实根，则a与万的夹角的取值范国为( B [ π2π 33 【答案】B 【分析】由x2+x+a-b=0有实根，可得a五≤ 再结合向量的夹角公式和同-2可求得cos(a,)s),从而 可求出两向量的夹角范围. 【详解1因为关于：的方程+小+a方=0有实根，所以时-4a6≥0，所以n6:民. 因为a65是非零向金，且网2，所以0位列青 461 4@42 因为a列[Q可，所以(a列e管 故选：B 8.已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cosa+i,a-)=() 1 A.17 B.17 c.5 D.25 17 5 5 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得a+,a-,(a+b)(a-),从而利用平面向量余弦的运算 公式即可得解 【详解】因为a=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b=1,-1), 则a+=52+32=34,a-=1+1=V2,(a+)-(a-)=5x1+3x(-1)=2, 所以sa+i.a-0-G+(a-A_2正 a+a-可V34xV2i7故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9,双曲线C:于1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为、乃，左、右顶点分别为4：4，以乃乃为直径的圆5 C的-条新近袋交于“N两点，且M-怎，则《) A44-活 B.MA=2M4 C.C的离心率为3 D.当a=√2时，四边形AMA,的面积为83 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A:由FM⊥F,M且MO=c结合M在渐近线上可求M的坐标，从而可判断B 的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得c2=I32,计算后可判断C的 正误，或者利用 4=力：5并结合离心率变形公式即可判断：结合BC的结果求出面积后可判断D的正误 4A,2a b 【详解】不妨设渐近线为y=二x,M在第一象限，N在第三象限， a 对于A,由双曲线的对称性可得AMA,V为平行四边形，故∠AM4,=兀-江=亚 66 故A正确： y 对于B,方法一：因为M在以耳E为直径的圆上，故FM⊥F,M且MO=c, xo+vi=c2 设M(x,y),则 b =6故M,144, 故 xo=a x。a 由A得∠AMA,= 故4=N45聊a=24,故B误： 2 方法=：因为tam∠M0A-。,因为双曲线中，c=+b, a 则cos04=名，又因为以RR为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N,则OM=c, 则若过点M往x轴作垂线，垂足为H,则O川=c名=a=pA,则点H与4(H)重合，则，1x轴，则 MA |Vc:-a:=b, 方法三：在aOMA,利用余弦定理知，MA,'=OM+OA,P-2 OM b4 Cos∠MOA,, 即M4,=c2+a2-2c.a=2,则MA,=b, 则A4M为直角三角形，且∠A4=石，则24=5A,放B错误： 对于C,方法一：因为Mo=+),故4M0-MA+2MAA+MA, 由B可知4=b,425b. 3 故4=0+2xb2b9-6-c2-a即e-1,故离心*e=.故C正痛： 3 323 6-会，为g25,则e-台小吾a时=.数c正确 方法三：因为A4a a 对于D,当a=√2时，由C可知e=V13,故c=√26， 故6=26，故四边形心MM4为2S4=2×26x25-86,故D正确，故选：ACD 10.己知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于AB两点，其中A在第一象限，点M(P,O), 若|AFAM|,则() A,直线AB的斜率为2√6 B.OB |-OF C.AB>4 OF D.∠OAM+∠OBM<180° 【答案】ACD 【分析】由A例=AM及抛物线方程求得4，√6巴)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的方程， 4’2 联立抛物线求得B化，-y6巴)，即可求出O8判断B选项，由抛物线的定义求出4B=25即可判断C选项；由 ,3 3 12 OA.OB<0,MAMB<0求得∠AOB,∠AMB为钝角即可判断D选项. 卫+p3卫 【详解】对于A,易得F号，0)，由A=AM可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为 24 6p 代入物线可得=2pP,则4碍，.则直线的制车为2g=26,A正确： 4’2 3p p 42 对于B。由斜率为26可得直线B的方程为x2石+号 之·联立抛物线方程得y一后P-p2=0, P,则男=-2，代入抛物线得 6p 3 3 =2p,解得=号则唱码， 31 3 对于C,由抛物战定义：h-半号-p管2p=4OA,c正确 12 4323 4 ∠AOB为钝角， 又a酒-（号(-}9(}g0,则s为能： 42 3 又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，则∠OAM+∠OBM<180°，D正确.故选：ACD 11.己知O为坐标原点，点乃(cos,sinx),(cosB,-sin),P(cos(a+B),sin(a+B),A1,0),则() A.OR=OR B.A回=A c.OA.Op3=0亚.Op D.OA.OP=OP,.OP 【答案】AC 【分析】A、B写出OF,O卫、AP,AP,的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误：C、D根据向量的坐标，应 用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误 【详解】A:O2=(cosa,sim),O2=(cosB,-sinB),所OP=√cos2a+sin2u=1,|OP,=V(cosB)2+(-sin)2=1, 故|OP曰OP|,正确；B:AR=(cosa&-1,sina),AD=(cosB-1,-sinB),所以 0 AP=(cosa-1)2+sin'a=cos'a-2cosa+1+sin2a=2(1-cosa)=4sin2 ,=2sin2|,同理 4识-√csB-旷+mB-2sin号故正丽1不-定相等，错误： C:由题意得：OA.OE=l×cos(a+B)+0×sin(a+B)=cos(a+B),OE.OE,=cosa.cosB+sina.(-sinB)=cos(a+B), 正确： D:由题意得：OAOP=1×cosa+0×sina=cosa,OP·OP=cosB×cos(a+B)+(-sin)×sin(a+B) =cos(B+(α+)=cos(a+2β)，故一般来说OA.OP≠OE·OP故错误g故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.在平面直角坐标系中，己知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点，且EF=2,则A正.BF的最小 值为 【答案】-3 【分析】设E(0,t),F(0,t+2),表达出AE·BF=(t+1)2-3,求出最小值，设E(0,t),F(0,t-2),表达出 A正.BF=-2+tt-2)=-1)2-3,求出最小值，得到答案 【详解】设E(0,t),F(0,t+2),.AE=L,),BF=(←-2，t+2), AE.BF=-2+t(t+2)=t+1)2-3,当t=-1时，AE.BF最小值为-3： 设E(0,t),F(0,t-2),∴.AE=1,0,BF=(-2,t-2), AE.BF=-2+tt-2)=-1)23,当t=1时，A正.BF最小值为-3；故答案为：-3 1,x>0 13.己知f(x)=0, x=0,云6、c是平面内三个不同的单位向量.若f.i)+f仿.6+f.面=0，则1ā+万+c -1,x<0 的取值范围是 【答案】L5) 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得{f(a.),f(6c),f(c.a》={-1,0,1,再根据数量积关系设出a,五，c坐标， 利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得」 【详解】若f(a-b)=f6-c)=f(ca=0,则a.i=ic=ca=0, 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a,b,c两两垂直，显然不成立： f(a.)=1 故{f(a.),f(⑥.c,f(c.a或={-l,01}.不妨设{f(⑤c)=0,则a.i>0,i.c=0,ca<0, f(c.a)=-1 不妨设i=(1,0,c=(0,1),a=(cos8,sin0),0∈[0,2m), 0m88期：r-6+n+owa+m0外-00-a0。mn0 则 2’2 25m(0+7e(22) 故a+b+de(1,⑤).故答案为：a,5) 14.已知正方形ABCD的边长为1，DE=2EC,若BE=1BA+uBC,其中元，4为实数，则1+L= 一：设F是线 段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AF.DG的最小值为 【答案】 5 18 【分析】解法一：以BA,BC为基底向量，根据向量的线性运算求8正，即可得兄+4，设BF=kBE,求AF,DG, 结合数量积的运算律求AF.DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求E,即可得1+4，设 求AF,DG,结合数量积的坐标运算求AF.DG的最小值 因为C88,即C,则近BC+02A+记可得山，配 由题意可知： BC-B=1B函Bc=0,因为F为线段2E上的动点，设BF=kB丽=}BA+kBc,ke[O, 则A丽=B+BF=+k8丽-侵-1A+kBc, 又因为G为4中点，则DG=D1+aG:c+=2得-11+-1c， 可得e-[传--c得-+经-c]--+传小引-到品 又因为k∈[0,1，可知：当k=1时，AF.DG取到最小值-3 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(-1,0),B(0,0),C(0,1),D(←1,1)E 4 因为BE=BA+BC=(-入4，则 一3，所以元+L=3 u=1 因为点r有我段防点[]上，设a如a[剂且G为中点，期a- 可得AF=(a+1,-3a),DG= 2- D 且a0,所以当a=时，示取到最小值为-8答案为：专 45 3 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 B 骤) 15.(13分)设函数/()=a.6,其中向量a=0m,cos),6=(0+nx,xeR,且/2=2. (1)求实数m的值： (2)求函数f(x)的最小值. 【答案】(1)1： (2)1-√2. 【分析】()利用平面向量数量积的坐标表示求出x),再结合∫ =2即可求出m值： (2)根据辅助角公式化简x)解析式，进而根据正弦型函数的性质得到答案。 【详解】(1)：向量=(m,cosx),b=(1+sinx,l),x∈R,f(x)=a.b=1+sin9+cosx, 2 (2)由(1)得f(x)=sinr+cosx+1=√2sinx+ 兀 +1,.当sinx+ 4 r+4F-1时，（倒的最小值为1-5. 16.（15分)设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x∈R,函数f(x)=a.(a+b). (1)求函数f(x)的最大值与最小正周期： ②球使不等式)号成立的的取位集合。 【路案10e以号T aa-营ssa+日te2 【分析】(1)由题意和向量的数量积坐标运算，求出解析式并利用倍角公式以及平方关系进行化简，由正弦函数的 性质和T=2π ，求出最大值、最小正周期： (2)代入解析式进行化简成关于正弦函数的不等式，再由正弦函数的性质求出不等式的解集， 【详解】(1)解：由题意知，f(x)=i.(a+b)=aa+d.b=sim2x+cos2x+-sin x cosx+cos2x =1+分2x+co2zx+)=9 2 m2x+引 22 可》号na升闲的成大为A9:最小正7-哲 22 2 ⊙第由0空m2》 2冰五≤2+牙s2达+，e,解得-营5≤ 8,kez, 即)产号成立的x的取值集合是{打-百xsx+爱e乙 8 17.（15分)设函数f(x)=a.(b+c,其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期： (2)将函数f(x)的图像按向量ā平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的ā. 【答案】(1)f(x)的最大值为2+√2，最小正周期为π 【分析】(1)利用数量积的坐标运算，二倍角公式以及辅助角公式对f(x)进行化简，即可求解： 2)先求出)的对称中心，可钓d(红：誓习：身通过日更最个回可求解 【详解】(1)因为a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx) =(sin x,-cosx),b+=(sinx-cos x,sin x-3cos x, 所以/0-a6+0=m-2osx+3os=2+co2x-m2x=2-5m2+3）, 所以J()的最大值为21反，最小正周期为7-受-五： @)向2行）0呵得2x+行=x理智cz,所四的对称中心为列誓智习 4 4 3-4)2 +4,k∈Z, 8 因为k为整数，要使|d1最小，则只有k=1,此时d= 、82即为所求 π 18.(17分)给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点. (1)设1的斜率为1，求OA与O死夹角的大小； (2)设FB=1AF,若元∈[4，]，求1在y轴上截距的变化范围 【答案】(1)π-arccos- 3V41 41 ©音湖 【分析】(1)先根据抛物线方程求得焦点的坐标，进而可求得直线1的方程，代入抛物线方程消去y,设出A、B的 坐标，根据韦达定理，利用向量的夹角公式即可求解： (2)根据己知条件及向量的关系式得关于x2和y2的方程组，进而求得x2·得到B的坐标，根据焦点坐标可得直线 的方程，进而求得直线在y轴上的截距，利用导数法求函数g(2)在[4,9]上的最值即可求解. 【详解】(1)解：由题意可知，2p=4,解得p=2,所以C的焦点为F(1,0), 因为l的斜率为1，所以直线1的方程为y=x-1. 设4，(）则联立方程箱去，得-610所以青+之61 因为点A,B在直线y=x-1上，所以+y2=x+x2-2=4，y2=(:-1)(62-1)=5x2-(x+x2)+1=1-6+1=-4 因为OA=(3,),0B=(化2,2)，所以OAOB=x2+yy2=1+（←4)=-3， O4o=V2+Vk2+为=[5+45+x)+16=×+4x6+16=④， 所以cos<OA,OB- OA.OB 华+"一-3 O40B√2+yV,2+y, 41，所以0A1与0死夹角的余弦值为-3W④ 41 所以，OA与OB夹角的大小为π-arccos 3V41 41 (2)解：由已知F(1,0),A(3,y),B(2,y2),所以FB=(x2-1y2),AF=(1-x1,-y1), 由愿=aF,得氏-1）=0-，，所以正-1=)0，由@得=， ⅓=-y② 因为y2=4x,y22=4x2,所以，x2=2x③联立①③，解得x,=九.依题意有元>0. 所以，B(2,2√见或B(2-2√见，又F(1,0),所以，直线1的方程为(2-1)y=2√万(x-1)或(2-1)y=-2W(x-1) 当1[4,9时，1在y轴上的截距为-2√月或2√瓦 元-1元-1 设8()-，[列，则8()只2，令g2)=0,即a-可0，解得=-1， -元-1 -λ-1 2-1 当2>-1时，g(2)<0,所以g(2)在(-1，+)上是单调递减：所以，g(2)=2及在[4，]上是单调递减 1-11 当1=4时，g(2)取得最大值为g(4)= 2W44 4-13 当1=9时，g(2)取得最小值为g(9)= 说以香即普子 9-14 3-1-141 所以，直线1在y轴上的截距的变化范围为一 [ 19.(17分)已知向量a=(cosx,sin),五=(3，-3)，x0x]. (1)若ab,求x的值： (2)记f(x)=ab,求函数y=f(x)的最大值和最小值及对应的x的值. 2026届高考数学一轮复习 课时作业：平面向量 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形 中，，，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 3．若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 4．已知向量与的夹角为，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 7．设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 11．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为 13．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 14．已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）设函数，其中向量，且． (1)求实数m的值； (2)求函数的最小值． 16．（15分）设向量，函数． (1)求函数的最大值与最小正周期； (2)求使不等式成立的的取值集合． 17．（15分）设函数，其中向量． (1)求函数的最大值和最小正周期； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的． 18．（17分）给定抛物线，是的焦点，过点的直线与相交于两点． (1)设的斜率为，求与夹角的大小； (2)设，若，求在轴上截距的变化范围． 19．（17分）已知向量． （1）若，求x的值； （2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $