精品解析：安徽省亳州市涡阳县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学（沪科版）试题

安徽省亳州市涡阳县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学（沪科版）试题 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的拆分与代数式求值，解题的关键是将所求代数式拆分为已知形式的组合． 将拆分为，代入已知条件计算． 【详解】解：∵，且， ∴． 故选：B． 2. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是利用“反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于比例系数”求解． 先根据已知点求出反比例函数的值，再验证选项中点的横、纵坐标乘积是否等于． 【详解】解：反比例函数的解析式为，图象上的点满足， 已知点在该图象上，则． 依次验证各选项： A、，不在图象上； B、，不在图象上； C、，不在图象上； D、，在图象上． 故选：D． 3. 关于二次函数的图像与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（ ） A. 没有交点 B. 有一个交点 C. 有两个交点 D. 有三个交点 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和轴交点问题， 通过计算二次函数对应方程的判别式，判断图像与x轴的交点个数． 【详解】解：∵二次函数 ∴判别式． ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数图像与x轴有两个交点． 故选：C． 4. 如图，，直线与分别相交于点和点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，点在的边上，要判定，下列添加的条件中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图可知是公共角， 当添加时，是对角，不是夹角，由两边及对角不能判定，该选项符合题意； 当添加时，是夹角，由两边及夹角能判定，该选项不合题意； 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项不合题意； 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项不合题意； 故选：． 6. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 7. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断A； 利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断B； 由2对角分别相等，可以证明，由此判断C； 由已知条件判定不成立，由此判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又是的中点， ∴， ∴， ∴， 又是上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A成立； 又 ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴， 故B成立； ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故C成立； ，但， ∴不成立， 故D不成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质证明，利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 8. 如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（ ） A. 16m B. 18m C. 20m D. 24m 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜0． ∵对称轴经过x的负半轴，∴a，b同号． ∵图象经过y轴的正半轴，则c＞0． ∵函数的a＜0，∴图象经过二、四象限． ∵y=bx+c的b＜0，c＞0，∴图象经过一、二、四象限． 故选B． 考点：一次函数、反比例函数和二次函数的图象与系数的关系． 10. 如图，在矩形中，．若点分别是线段上的两个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等，作点关于的对称点，与相交于点，过点作于点，交于点，则，，，，即得，由垂线段最短，可知此时取最小值，最小值即为的长，再利用矩形的性质证明，进而根据相似三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，与相交于点，过点作于点，交于点， 则，，，， ∴， 由垂线段最短，可知此时取最小值，最小值即为的长， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线关于轴对称的抛物线表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的轴对称变换，解题的关键是掌握抛物线关于轴对称时，点的坐标变化规律（纵坐标变为相反数）． 根据抛物线关于轴对称的性质，将原抛物线解析式中的替换为，再整理式子即可得到对称后的抛物线表达式． 【详解】解：已知原抛物线表达式为， 抛物线关于轴对称时，其上任意一点的纵坐标变为原来的相反数， 即对称后的抛物线满足， 两边同时乘以，得． 故答案为：． 12. 已知反比例函数的图象如图所示，轴，点为轴上一点．若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的图象和性质，连接，可得，即得到，进而根据反比例函数的图象和性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先过D作的平行线，交边于G，得出，再根据D为中点可得出，；同理求得，从而得出，即可得出的值． 【详解】解：过D作的平行线，交边于G，如图所示： ∵D为中点，， ∴，即：， 又E为的中点，的延长线交于F，， ∴，即：， ∴， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线是常数，且． （1）若点在该函数的图象上，则的值为_______； （2）当时，若，则函数值的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是利用函数图象的开口方向、顶点坐标分析函数的最值，以及代入点坐标求解参数． （1）将点代入抛物线解析式，解方程求； （2）代入得函数解析式，分析开口方向、顶点，结合取值范围求函数值范围． 【详解】解：（1）已知点在抛物线的图象上， 将代入解析式，得： 化简得：，即， 解得：， 故答案为：； （2）当时，抛物线解析式为， 由，可知函数图象开口向下， 顶点横坐标为， 因1在的范围内，故顶点为最大值点， 将代入得最大， 计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，． 比较得最小， 因此函数值的取值范围是． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知反比例函数（为常数）． （1）若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； （2）当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，中的符号对图象位置和增减性的影响． （1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时，列不等式求解； （2）根据时随增大而减小，可知，列不等式求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数， 解不等式得， 即； 【小问2详解】 解：当时，随值的增大而减小， 则比例系数， 解不等式得， 即． 16. 如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用三边对应成比例证明两个三角形相似． 【详解】略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，抛物线是常数）经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）当时，的取值范围为___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数图像和性质， （1）将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可得出答案； （2）先求出抛物线的对称轴，再结合自变量的取值范围求出函数值，进而得出答案． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； 【小问2详解】 ∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， 将代入函数关系式，得． 当时，离对称轴越远函数值越大， 令，， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的． （2）在第四象限内画出以点O为位似中心的位似图形，与的相似比为1：2． （3）求以，，，为顶点构成的四边形的面积． 【答案】（1） 画图如图，即为所求作； （2） 画图如图，即为所求作； （3）4.5 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比是定值的位似作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，利用计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴关于轴的对称点坐标分别为，，． 【小问2详解】 解：∵，，，与的相似比为 ∴在第四象限以点为位似中心的位似图形的，，． 【小问3详解】 解：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，，动点从A开始沿边运动，速度为；动点从点B开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，设两点运动时间为． （1）当时，求证：； （2）当为何值时，与相似？ 【答案】（1）证明：∵依题意得：，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出BP和BQ的长，然后根据两边对应成立比例且夹角相等的两个三角形相似可证结论成立； （2）分两种情况求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意得：，， ∴， ∵， ∴当或时与相似， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点，连接，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求的面积． （3）直接写出不等式的解集 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确利用待定系数法求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先把点B坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再把点A坐标代入反比例函数解析式求出点A的坐标，最后把点A和点B的坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标得到，再根据进行求解即可； （3）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 六、（本题满分12分） 21. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果．该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （2）若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）先求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为． 把点代入， 得 解得 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 根据題意，得． 解得． ． ． ∴抛物线的开口向下． 对称轴为直线， 在时，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 答：当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_________； （2）若，求的长； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用正方形的性质解答即可； （）利用正方形的性质证明，进而根据相似三角形的性质即可求解； （）设，，可得，，再证明，进而根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴可设，， ∴ ∴，， ∵四边形和四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． （1）求的值； （2）连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； （3）如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解； （）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解； （）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设直线交轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得或， ∵点是直线上方的抛物线上一动点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省亳州市涡阳县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学（沪科版）试题 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数的图像与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（ ） A. 没有交点 B. 有一个交点 C. 有两个交点 D. 有三个交点 4. 如图，，直线与分别相交于点和点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在的边上，要判定，下列添加的条件中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（ ） A. 16m B. 18m C. 20m D. 24m 9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，．若点分别是线段上的两个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线关于轴对称的抛物线表达式为_____． 12. 已知反比例函数的图象如图所示，轴，点为轴上一点．若的面积为，则的值为______． 13. 如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，那么______． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线是常数，且． （1）若点在该函数的图象上，则的值为_______； （2）当时，若，则函数值的取值范围是_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知反比例函数（为常数）． （1）若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； （2）当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 16. 如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，抛物线是常数）经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）当时，的取值范围为___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的． （2）在第四象限内画出以点O为位似中心的位似图形，与的相似比为1：2． （3）求以，，，为顶点构成的四边形的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，，动点从A开始沿边运动，速度为；动点从点B开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，设两点运动时间为． （1）当时，求证：； （2）当为何值时，与相似？ 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点，连接，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求的面积． （3）直接写出不等式的解集 六、（本题满分12分） 21. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果．该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （2）若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_________； （2）若，求的长； （3）若，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． （1）求的值； （2）连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； （3）如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $