精品解析：广东省东莞市东莞中学松山湖学校、深圳大学附属中学2025-2026学年高一上学期第二次段考数学

秘密★启用前 2025－2026学年度第一学期第二次段考 高一年级 数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共4页． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 5．考生必须保证答题卡的整洁． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（每小题只有一个选项符合题意．本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的值域是，则其定义域不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设均为正数，且，，．则（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为3 C. 当x＞1时，的最小值是3 D. 的最大值为5 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则一定是第一或第二象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 D. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角 11. 已知f（x）是定义在R上的函数；对于任意实数a，b满足，当x＞1时，f（x）＞0，则（ ） A. f（1）＝0 B. f（|x|）＝f（x） C. f（x）在上单调递增 D. 方程f（x）＝0有3个实数根 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 计算_____. 13. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 14. 已知函数满足，则的解集为_____. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求； （2）求的值. 16. 已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，f（x）＝． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并用定义证明函数f（x）在上的单调性； （3）解关于m的不等式． 17. 已知函数 （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围. （2）若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 19. 若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“速增函数”． （1）试判断函数与是否为“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，判断命题“对任意，都有”是否正确，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2025－2026学年度第一学期第二次段考 高一年级 数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共4页． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 5．考生必须保证答题卡的整洁． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（每小题只有一个选项符合题意．本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，即可根据选项逐一求解. 【详解】， 故，，，不是的子集，C正确，ABD错误. 故选：C 2. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解. 【详解】由命题，， 可得的否定为：，. 故选C. 3. 已知函数的值域是，则其定义域不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质一一验证选项中的定义域能不能使函数的值域为. 【详解】的对称轴为：，开口向上. 对于A：由定义域在对称轴的左侧，可知在上单调递减，可得到值域为，故A正确； 对于B：由定义域在对称轴的右侧，可知在上单调递增，可得到值域为，故B正确； 对于C：可得到对称轴在定义域内，且左端点离对称轴远一些， 所以函数在对称轴处取最小值，在处取最大值，所以值域为，故C正确； 对于D：由定义域在对称轴的右侧，可知在上单调递增，可得到值域为，故D错误. 故选：D 4. 已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数的图象是连续不间断的， 且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点. 故选：B. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数的零点，判断选项. 【详解】函数的定义域为，，所以是偶函数，故排除C，，得，所以函数有2个零点，排除BD. 故选：A 6. 已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和函数在的单调性得，函数在上的单调性，及的值.通过分类讨论，由函数在不同区间上的单调性及零点得到不等式解集. 【详解】∵函数为奇函数，且在上单调递增， ∴函数在上单调递增，且， ∵， 当时，则，， 则，即 ∴，即，. 当时，，满足不等式， 当时，则，， 当时，，不满足不等式，舍去. 当时，，满足不等式. 当，即时，则，即 ∴，即. ∴. 故选：D. 7. 设均为正数，且，，．则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象， 与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出． 考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用． 【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为3 C. 当x＞1时，的最小值是3 D. 的最大值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过换元法、分区间讨论、基本不等式、二次函数最值分析，逐一验证各选项的正确性. 【详解】选项A，设（），则，代入得：. 该二次函数开口向上，顶点在处，代入得：，故A正确. 选项B，分区间讨论：当时，原式； 当时，原式，范围为； 当时，原式. 其最大值为3，故B正确. 选项C，当时，，令（），则原式. 由基本不等式，，但等号成立需（即，），与矛盾， 故最小值取不到3，C错误. 选项D，，二次函数开口向下，顶点在处， 最大值为，故，D正确. 故答案为：ABD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则一定是第一或第二象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 D. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据象限角的概念、弧长公式、扇形面积公式、三角函数的定义，即可分别求解． 【详解】对于A选项，若，则角的终边在第一象限、第二象限或轴正半轴，A错； 对于B选项，因为圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，由三角函数的定义可得，C对； 对于D选项，若是第一象限角，即， 所以， 若为偶数，设，则， 此时为第一象限角， 若为奇数，设，则， 此时为第三象限角， 综上所述，若是第一象限角，则是第一或第三象限角，D对. 故选：BCD. 11. 已知f（x）是定义在R上的函数；对于任意实数a，b满足，当x＞1时，f（x）＞0，则（ ） A. f（1）＝0 B. f（|x|）＝f（x） C. f（x）在上单调递增 D. 方程f（x）＝0有3个实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于：令，，可得； 对于：令，可得；令，可得为奇函数；根据，分类讨论即可； 对于：利用单调性定义证明即可； 对于：结合函数的奇偶性和单调性即可判断实数根的个数； 【详解】对于：将，代入可得， 即，可得，正确； 对于：将，代入可得， 即，因为，所以； 将，代入可得，即，所以为奇函数； 当时，，所以，当时，，所以；故选项错误； 对于：设，，得， 当时，，所以，，即， 所以在上单调递增，选项正确； 对于：令，为任意不等于的实数，代入可得，整理得， 因为，所以；当时，；当时，，， 因为，所以，故；当时，，所以， 所以；当时，，，所以； 所以的根为，共3个，所以选项正确； 故选：. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 计算_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 13. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 14. 已知函数满足，则的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及解析式确定函数图象的对称中心，可得，进而有，再应用公式法求绝对值不等式的解集. 【详解】由，则的图象关于点对称， 又，则的图象关于点对称， 所以，则，定义域为， 由，则，整理得， 所以或，故解集为. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据任意角三角函数的定义即可求解tanθ； (2)分式分子分母同时除以cos2θ化弦为切即可. 【小问1详解】 ∵角的终边经过点，由三角函数的定义知，； 【小问2详解】 ∵，∴. 16. 已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，f（x）＝． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并用定义证明函数f（x）在上的单调性； （3）解关于m的不等式． 【答案】（1）函数的解析式为： ； （2）函数在上单调递增; （3）不等式的解集为：. 【解析】 【分析】根据函数是定义在上的奇函数的定义与性质，解答函数单调性的定义证明，再利用函数的奇偶性与单调性解抽象函数不等式. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，奇函数的性质，分、、三种情况求解， 当时，已知函数， 当时，因为函数是上的奇函数，所以， 当时，令，则， 由奇函数性质，得： ， 综上，的解析式为： . 【小问2详解】 任取，且， 有： 因为，指数函数单调递增，所以， 又因为，，故分母， 因此，即， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则原不等式化为： ，即：， 因为函数在上是增函数，且是奇函数， 所以函数在上是增函数， 所以，整理得：， 即，解得： 或 ， 所以，不等式的解集为：. 17. 已知函数 （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围. （2）若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出参数的取值范围； （2）参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意； ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意； ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得. 综上由①②③可得的取值范围为. 【小问2详解】 不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】（1）模型①③不符合，选模型②，解析式为 （2）（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【解析】 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【小问1详解】 由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 （i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 19. 若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“速增函数”． （1）试判断函数与是否为“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，判断命题“对任意，都有”是否正确，并说明理由． 【答案】（1）都不是“速增函数” （2） （3） 命题正确，理由如下： 由“速增函数”的定义，对任意 ，有 ，所以在上单调递增， 对，有， 则，， 且，所以，即. 因此，命题成立. 【解析】 【分析】（1）根据“速增函数”的定义进行判断即可. （2）根据“速增函数”的定义列出不等式，然后进行因式分解，根据指数函数的单调性求出解集即可. （3）由“速增函数”的定义先判断函数的单调性，然后根据定义域范围和单调性求出，进而可判断命题的正确性. 【小问1详解】 对于任意整数，有， ，此时， 不满足“速增函数”的定义，所以不是速增函数. 对于任意正数，有， ， ，因为， 所以，即， 不满足“速增函数”的定义，所以不是速增函数. 【小问2详解】 因为函数为“速增函数”， 则对于任意正数满足， 即，因为，所以， 即对一切正数都成立，所以. 且. 化简得. 化简得，又， 所以，又， 所以，解得. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $