方法13 累差累商&方法14 “1”的代换-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

方法13　累差累商 【例1】　解：an＋1＝3an＋2×3n＋1两边同除以3n＋1，得＝＋＋， 则－＝＋，故当n≥2时， ＝（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＋…＋（＋）＋＝＋（＋＋＋…＋）＋1＝＋＋1＝＋－， 则an＝×3n＋×3n－（n≥2）. 当n＝1时，也满足上式. 综上，an＝×3n＋×3n－. 训练1　C　由nan＋1－（n＋1）an＝，得－＝＝－.当n≥2时，－＝－，…，－＝－，由累差迭加法可得－a1＝－.因为a1＝，所以＝1－＝，所以an＝（n≥2）.当n＝1时，也满足上式.综上知an＝，故选C. 【例2】　A　当n≥2时，an＝，则2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1，（n＋1）·（an＋1－an）＝（n－1）（an－an－1），所以＝.设bn＝an＋1－an，即＝，则··…·＝··…·，得＝，所以bn＝b1.因为b1＝a2－a1＝1，所以bn＝（n≥2）.当n＝1时，也满足上式，所以bn＝.an＋1－an＝bn＝＝2（－）.（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＝2（－＋－＋…＋1－）＝2（1－），即an－a1＝2（1－），则an＝3－（n≥2）.当n＝1时，也满足上式，所以an＝3－. 训练2　B　因为an＋1＝，所以（2n－1）an＋1＝4Sn－1　①，（2n－3）an＝4Sn－1－1（n≥2）　②，①－②得（2n－1）an＋1－（2n－3）an＝4an，整理得＝（n≥2），则an＝···…···a1＝···…···1＝2n－1（n≥2）.当n＝1时，也满足上式.所以an＝2n－1，故选B. 方法14　“1”的代换 【例1】　C　＝ ＝sin θ·（sin θ＋cos θ）＝＝＝＝. 训练1　A　因为＝＝2，所以tan α＝，则cos2α＋sin αcos α＝＝＝.故选A. 【例2】　0　解析：设sin α＝a，cos α＝b，sin β＝c，cos β＝d.因为ac＋bd＝0，所以ac＋bd＝sin αsin β＋cos α·cos β＝cos（α－β）＝0.ab＋cd＝sin αcos α＋sin βcos β＝（sin 2α＋sin 2β）＝sin（α＋β）cos（α－β），因为cos（α－β）＝0，所以ab＋cd＝0. 训练2　　解析：联系已知条件，将“1”灵活转换，得（x＋y）2＝＝1＋∈［0，］，其中s＝3（）－1∈R.另外，分子、分母同除的过程中要考虑s＝0和x＝0的情况. 【例3】　证明：若xyz＝0，则不等式显然成立，且等号成立的条件为x＝y＝z＝0. 若xyz≠0，则可将原不等式变形为＋＋≥0， 构造“1”进行代换，得＋1＋＋1＋＋1≥3， 即＋＋＋＋＋≥3， 化简得＋＋≥3. 因为x＋y＋z＝0，故xy，yz，xz三个数中有且仅有一个正数，不妨设yz＞0， 则＋≥＝＞. 又＋－3＝≥0， 故原不等式成立，且等号成立的条件为x＝1，y＝z＝－. 训练3　解：原不等式可变形为＋＋≥M， 因为x，y，z＞0， 可得（＋＋）（x＋yz＋y＋xz＋z＋xy）≥（x＋y＋z）2， 化简得＋＋≥＝， 当且仅当＝＝时等号成立，即x＝y＝z＝. 由（x＋y＋z）2≥3（yz＋xz＋xy）， 有x＋y＋z≥， 当且仅当x＝y＝z＝时成立. 下面证明函数f（u）＝（u≥3）单调递增. 事实上，令u＞v≥， f（u）＞f（v）⇔＞⇔u2v＋u2－uv2－v2＞0⇔（u－v）（uv＋u＋v）＞0⇔u－v＞0， 于是f（u）≥f（）＝. 故＋＋≥≥， 因此，Mmax＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 方法13　累差累商 　　所谓累差迭加法，是指由形如a1＝a，an－an －1＝f（n）（n≥2）的递推关系求数列通项公式的一种方法；所谓累商迭乘法，是指由形如a1＝a，＝g（n）（n≥2）的递推关系求数列通项公式的一种方法. 　　利用累差迭加法、累商迭乘法来求解数学问题时，若呈现的递推关系是不等式关系，也可以利用构造法解决.已知形如a1＝a，an＋1－an＜f（n）的递推关系，则an＜a＋f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）；已知形如a1＝a，＜g（n）的递推关系，则an＜ag（1）·g（2）…g（n－1）. 【例1】　（构造等差型）已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2×3n＋1，a1＝3，求数列{an}的通项公式. 训练1　设数列{an}满足nan＋1－（n＋1）an＝（n∈N*），a1＝，则an＝（　　） A. B. C. D. 【例2】　（构造等比型）设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对于其中任意三个连续的项an－1，an，an＋1，都有an＝（n≥2），则{an}的通项公式an＝（　　） A.3－ B.3＋ C.3n＋2 D.3n－2 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝，a1＝1，n∈N*，则{an}的通项公式为an＝（　　） A.n B.2n－1 C.3n－2 D.－2n＋3 方法14　“1”的代换 　　自然数1是人们最早用于计数的单位，数的发展从1开始.对于一些复杂的数学问题，直接解决有困难时，可尝试根据题目特点，对隐藏的“1”进行合理的数学变形，巧妙利用“1”变化多端的表达形式，或构造有关“1”的各类表达形式，突破题目的难点，从而解决问题. 【例1】　（“1”的代换）若tan θ＝－2，则＝（　　） A.－ B.－ C. D. 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练1　已知＝2，则cos2α＋sin αcos α＝（　　） A. B. C. D.－ 【例2】　（“1”的转换）若a2＋b2＝c2＋d2＝1，且ac＋bd＝0，则ab＋cd＝　　　　. 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练2　已知2x2－xy＋y2＝1（x，y∈R），则x＋y的最大值为　　　　. 【例3】　（“1”的构造）已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，证明：＋＋≥0，并指出等号成立的条件. 训练3　已知对任意正实数x，y，z，xy＋yz＋xz＝1，确定M的最大值，使得＋＋≥M. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $