方法1 构造法&方法2 对称法-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

方法1　构造法 　　所谓构造法，就是根据问题的结构及隐含条件构造出一种与原问题紧密相关的数学对象，从而使原问题转化并且最终得到解决的数学解题方法.构造法按构造对象的不同可分为：构造函数、构造方程（组）、构造图形等. 【例1】　（构造函数）设实数m＞0，若对任意的x≥e，不等式x2ln x－m≥0恒成立，则m的最大值为　　　　. 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练1　（1）已知a＝1010，b＝911，c＝119，则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＜a＜b B.b＜a＜c C.a＜b＜c D.c＜b＜a （2）已知实数a，b满足方程组则a＋b＝　　　　. 【例2】　（构造方程）已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝5，ab＋bc＋ca＝3，则c的最大值为　　　　. 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练2　在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，O是△ABC的外心，＝x＋y，则x，y的值分别为　　　　. 【例3】　（构造图形）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋≥，当且仅当＝＋时取等号. 训练3　函数y＝的最大值和最小值分别为　　　　. 方法2　对称法 　　对称法的运用包括发现对称与构造对称，在高中阶段应用极为广泛.对称方式包括关于点、线、面对称，对称形式包括镜面对称、中心对称，涉及函数、立体几何、解析几何等重点内容.对称法的应用过程中需要注意的是，要对是否具有对称性作出正确的判断，有些图形的对称判断比较直观，对于一些较为复杂的问题，还要加以计算与推理. 【例1】　（函数图象的轴对称、中心对称）已知y＝f（x＋1）是定义在R上的奇函数，且f（x＋4）＝f（2－x），当x∈[－1，1）时，f（x）＝2x，则f（2 025）＋f（2 030）＝（　　） A.1 B.4 C.8 D.10 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练1　已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a＝　　　　. 【例2】　（几何图形的对称性）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（　　） A.8π B.4π C.2π D.π 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练2　（1）函数f（x）＝＋的最小值为　　　　； （2）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F是棱C1D1上的动点，若P为线段BD1上的动点，则PE＋PF的最小值为　　　　； （3）如图，已知椭圆方程为＋＝1，F1，F2分别为其左、右焦点，P为椭圆上的动点，过点F1作椭圆在点P处的切线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为　　　　. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 考前专项提能特训部分 一、突破思维瓶颈高妙15法 方法1　构造法 【例1】　e　解析：由不等式x2ln x－m≥0恒成立，可得x2ln x≥m，即xln x≥，ln xeln x≥①，设f（x）＝xex（x＞0），则f'（x）＝（x＋1）ex＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∵＞0，ln x＞0，由①式知≤ln x对任意的x≥e恒成立，∴只需m≤（xln x）min，设g（x）＝xln x（x≥e），则g'（x）＝ln x＋1＞0，∴g（x）在[e，＋∞）上为增函数，∴g（x）min＝g（e）＝e，∴m≤e.故m的最大值为e. 训练1　（1）A　（2）2　解析：（1）令f（x）＝（20－x）ln x（x≥9），则f'（x）＝－ln x＋（20－x）·＝－ln x＋－1，显然当x≥9时，f'（x）单调递减且f'（9）＝－ln 9＋－1＜0，故f（x）在[9，＋∞）上单调递减，f（9）＞f（10）＞f（11），即11ln 9＞10ln 10＞9ln 11，即ln 911＞ln 1010＞ln 119，可得911＞1010＞119，即c＜a＜b.故选A. （2）设f（x）＝x3＋2 025x，f（x）为奇函数且在R上单调递增，f（a－1）＝f（1－b），因此a－1＝1－b，a＋b＝2. 【例2】　　解析：a＋b＝5－c，ab＝c2－5c＋3，构造一元二次方程t2－（5－c）t＋c2－5c＋3＝0，则其两根为a，b，则Δ≥0，即（5－c）2－4（c2－5c＋3）≥0，解得－1≤c≤，故c的最大值为. 训练2　，　解析：由向量数量积的几何意义可得，·＝＝32，·＝＝，又·＝｜｜｜｜cos A＝｜｜｜｜·＝20，构造方程组即解得 【例3】　证明：从题目中所给三个根式的结构特点，可以联想到所学的余弦定理，从而可以构造出一个简单的图形，满足OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB＝∠BOC＝60°，则可得∠AOC＝120°，AB＝，BC＝，AC＝. 根据几何性质可知AB＋BC≥AC，所以＋≥，当且仅当A，B，C三点共线时等号成立，此时absin 60°＋bcsin 60°＝acsin 120°，即ab＋bc＝ac，故当且仅当＝＋时等号成立. 训练3　，－　解析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P（cos x，sin x）与定点Q（3，0）连线的斜率，为此构造一个单位圆，探究单位圆上动点P（cos x，sin x）与定点Q（3，0）连线的斜率问题.如图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大、最小值，设切点分别为R，M.易知tan∠RQO＝tan∠MQO＝，所以kQR＝－tan∠RQO＝－，kQM＝tan∠MQO＝，所以－≤kPQ≤.即y＝的最大值为，最小值为－. 方法2　对称法 【例1】　A　因为f（x＋1）是定义在R上的奇函数，所以y＝f（x）图象的对称中心为（1，0），且f（1）＝0.因为f（x＋4）＝f（2－x），所以y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝3，故f（x）的周期T＝8.f（2 025）＝f（1）＝0，f（2 030）＝f（6）＝f（0）＝1，从而f（2 025）＋f（2 030）＝1. 训练1　　解析：由f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）可得f（2－x）＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，因此唯一的零点只能为x＝1.由f（1）＝12－2＋a（e1－1＋e－1＋1）＝0，解得a＝. 【例2】　D　三棱锥P-ABC为正三棱锥，如图，取PC的中点G，BC的中点H，连接AG，GH，则由∠CEF＝90°和正三棱锥的对称性易知AG⊥GH.因为PB∥EF∥GH，所以BP⊥AG，BP⊥CE，因为AG与CE相交且都在平面APC内，所以BP⊥平面APC，所以BP⊥PA，BP⊥PC.由正三棱锥的对称性可知PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝，可将该三棱锥还原成一个以PA，PB，PC为棱的正方体，正方体的体对角线即为球O的直径，即2R＝，R＝.所以球O的体积为V＝πR3＝π，故选D. 训练2　（1）　（2）　（3）x2＋y2＝4 解析：（1）f（x）＝＋，设A（x，0），B（0，2），C（1，1），则可知f（x）＝｜AB｜＋｜AC｜，如图，作点C（1，1）关于x轴的对称点C'（1，－1），则｜AB｜＋｜AC｜＝｜AB｜＋｜AC'｜≥｜BC'｜＝，当A，B，C'三点共线时取等号，因此f（x）min＝. （2）如图，取AB的中点E'，则由正方体的对称性可知PE＝PE'，所以PF＋PE＝PF＋PE'≥FE'≥，当F，P分别为D1C1，D1B的中点时取等号. （3）作点F1关于切线HP的对称点F'1，如图，则有｜PF1｜＝｜PF'1｜，又由椭圆的光学性质可知，焦半径PF1，PF2与切线所成的角相等，所以F'1，P，F2三点共线，因此有｜F'1F2｜＝｜PF2｜＋｜PF'1｜＝｜PF2｜＋｜PF1｜＝4，所以点F'1的轨迹是以F2为圆心，4为半径的圆；又因为H恒为F'1F1的中点，所以｜OH｜＝｜F'1F2｜＝2，点H的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，所以轨迹方程为x2＋y2＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $