专题5 培优点3 圆锥曲线中二级结论的应用(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点3　圆锥曲线中二级结论的应用 1.已知椭圆C：＋＝1的两焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为（　　） A.6 B.2 C.4 D.6 2.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（　　） A.x2＝8y B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x 3.已知A，B是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－，则椭圆C的离心率为（　　） A. B. C. D. 4.如图，A，B分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（　　） A. B. C. D. 5.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－，0），F2（，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若＝2，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 6.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过原点O的直线交C于A，B两点（点B在右支上），双曲线右支上一点P（异于点B）满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为（　　） A.　　 　B.2 C.　　　　D.3 7.（多选）已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若｜AB｜＝8，则以下结论正确的是（　　） A.＋＝1 B.｜AF｜＝6 C.｜BD｜＝2｜BF｜ D.F为AD中点 8.（多选）（2024·泸州阶段练习）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（　　） A.弦AB的最小值为 B.若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝ D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞） 9.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知＝，则双曲线的渐近线方程为　　　　. 10.已知P是椭圆＋＝1（a1＞b1＞0）和双曲线－＝1（a2＞0，b2＞0）的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠F1PF2＝，则e1·e2的最小值为　　　　. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点3　圆锥曲线中二级结论的应用 1.B　设∠F1PF2＝θ，根据焦点三角形面积公式可知，＝b2tan＝6·tan＝2. 2.C　设抛物线为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C. 3.D　椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－，∴－＝－，∴＝，∴椭圆的离心率e＝＝＝. 4.C　根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ＝e2－1，又所以kAQ·kBP＝4kAQ·kBQ＝4（e2－1）＝－1⇒e＝.故选C. 5.B　如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，又＋＝，∴＋＝，即＝，又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴＝，即3b2＝4a2，又c＝，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为－＝1. 6.A　如图，∵·＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，∴kPB＝－，依题意知kPB·kPA＝，∴－·（－k）＝，∴＝1，即e＝. 7.BCD　设直线AB的倾斜角为θ，则θ＝，利用抛物线的焦点弦的性质，由｜AB｜＝＝8，则p＝3，｜AF｜＝＝6，｜BF｜＝＝2，＋＝＝，过点B作准线的垂线，垂足为B'，在Rt△DBB'中，cos θ＝，所以｜BD｜＝4，｜DF｜＝｜BF｜＋｜BD｜＝6，因此F为AD中点.故选B、C、D. 8.ABC　弦AB的最小值为通径，故A正确；由双曲线的定义得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a，｜BF1｜＝｜BF2｜＋2a，｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜AF2｜＋2a＋｜BF2｜＋2a＝｜AB｜＋4a，则△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝2｜AB｜＋4a＝2m＋4a，故B正确；根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM＝，故C正确；若直线AB的斜率为，所以＜，所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以e＝∈（1，2），故D错误.故选A、B、C. 9.y＝±2x　解析：依题意，＝，｜PF2｜－｜PF1｜＝2a，则｜PF2｜＝4a，｜PF1｜＝2a.令双曲线的半焦距为c，又点F2（c，0）到渐近线的距离为b，则有cos∠PF2F1＝.在△PF1F2中，由余弦定理得｜F1F2｜2＋｜PF2｜2－2｜F1F2｜·｜PF2｜cos∠PF2F1＝｜PF1｜2，即（2c）2＋（4a）2－2·2c·4a·＝（2a）2，整理得c2＋3a2－4ab＝0，即4a2－4ab＋b2＝0，解得b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x. 10.　解析：因为点P为椭圆和双曲线的公共点，F1，F2是两曲线的公共焦点，则由焦点三角形的面积公式得＝tan＝，化简得＝3，即－c2＝3（c2－），等式两边同除c2，得－1＝3－，所以4＝＋≥，解得e1·e2≥，所以e1·e2的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $