专题5 培优点2 圆锥曲线中的设点、设线技巧(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点2　圆锥曲线中的设点、设线技巧 1.已知抛物线C的方程为y＝x2，F为其焦点，点N坐标为（0，－4），过点F作直线交抛物线C于A，B两点，D是x轴上一点，且满足｜DA｜＝｜DB｜＝｜DN｜.则直线AB的斜率为（　　） A.± B.± C.± D.± 2.（2024·怀化质检）已知P，Q（yPyQ＜0）分别为直线y＝x和y＝－x上的点，且△OPQ（O为坐标原点）的面积为2，则线段PQ的中点M的轨迹方程为（　　） A.x2－y2＝2 B.x2＋y2＝2 C.y2－x2＝2 D.x2＋y2＝4 3.（多选）（2024·南宁第一次适应性测试）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C交于P，Q两点，l2与C交于M，N两点，线段PQ的中点为G，线段MN的中点为H，则（　　） A.当｜PF｜＝2｜QF｜时，｜MN｜＝36 B.｜PQ｜＋｜MN｜的最小值为18 C.直线GH过定点（4，0） D.△FGH的面积的最小值为4 4.（2024·南充诊断）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上异于左、右顶点的一点，M为△PF1F2的内心，若5＋3＋3＝0，则该椭圆的离心率是　　　　. 5.（2024·潍坊模拟）已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）中，点A，C分别是E的左、上顶点，｜AC｜＝，且E的焦距为2. （1）求E的方程和离心率； （2）过点（1，0）且斜率不为零的直线交椭圆于R，S两点，设直线RS，CR，CS的斜率分别为k，k1，k2，若k1＋k2＝－3，求k的值. 6.（2024·济南模拟）已知双曲线C：－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，过点P（4，0）的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点. （1）若直线l的斜率k存在，求k的取值范围； （2）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求的值； （3）设G为直线A1M与直线A2N的交点，△GMN，△GA1A2的面积分别为S1，S2，求的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 培优点2圆锥曲线中的设点、设线技巧 1.B设A(:1,h),B(,2),D(a,0),由题意，F(0,1),设直线AB的方程为y=十1，联立 直线与抛物线方程，可得2-4-4=0，=-4.又1DA|=|DB|=|DN1=VT,故A(, ),B(2,2)是圆x2+y2-2ax-16=0上的点.将y=a+1代入方程，得(1+2)x2+(2k-2a)x-15= 0..-T==-4.2=若，即k=士二故选B. 2.A知图所示，不妨设P(a,a),Q(b,-b),M(x,y),则x=。,y=。,且∠PO0=90°， OP=val,oe=Ivb1,:.SoPe==Ialvb=l ab l=2,-ab<o,..ab>0, ab=2,e-2=1w心…w1 一=ab=2,∴.线段PQ的中点M的轨迹方程为x2-y2=2.故选A. 3.AD对于A,由题意得F(1,0),设直线1的方程为x=y十1，则直线2的方程为x=一y十1，由 一yT1, {-w,得2-4m-4=0,易知4>0，设P(,h),0(2,2)，则h十2=4m,2=-4,设M (,),N(x4,y4),同理得3十y4=-m,yy4=一4，又|P℉|=2|QF|，所以h=-2y2,所以m2= ,所以|MN|=十x4十2=一元（十y4)十2十2=十4=36，故A正确.对于B,由A知|MN|=十x4十 2=-m(y+y4)+2+2=m+4,又|P0|=:十龙+2=mM+2)+2+2=4+4,所以|P0|+| MN|=十4十4m2+4≥16，当且仅当4m2=,即m=士1时，等号成立，故B错误.对于C,由A知，G (2m+1,2m）,H(元+1，-京)，所以直线G:y-2m=m三x-2m-1),令y=0,得=3，所 以直线GH过定点(3,0)，故C错误.对于D,因为直线GH过定点A(3,O),所以S△Ga=z|FA|·|yG 一yH|=|yG一yH|=|2m十m|≥4，当且仅当m=士1时，等号成立，故D正确.综上，选A、D. 4.。解析：设P(0,o),M(,y)，由题可得F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y), =(c-,-y),=(o-,%-y),因为51+3“t+3r=0,所以5（-c-,-y）+3（C 一x,一》十3《一，一》=(0,0)，则可得y=票，所以△Pm,的内切圆半径为，由椭圆定义 y 可得|PF1|+|PF2|=2a,又IFF2|=2c,所以°~。=z(|PF|+|PF2|+IFF2|)X= 1F,1×1为1，即(2a+20)X"=2X2c×16l,即3a=86,所以椭圆的离心率e==云 5.解：(1)因为|AC|=√°，所以a2+b2=5. 1/3 ·独家授权侵权必究 画学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zXxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 因为焦距为2√厂，所以半焦距c=V厂，则a2-b2=3, 解得a2=4,b2=1, 所以椭圆E的方程为气+以=1，其离心率e= (2)由(1)知C(0,1). 设R),S为)，0，所以=，= 由题意得直线RS:y=k(x一1)(k≠士1且k≠0)， 代入-十2=1，得(42+1)x2-82x+42-4=0, 则有1十龙2=nT工，龙=nT云 因为k1十2=一3， 所以十+ =以 sni -=一3， 即（2k+3)32-(k+1)(:十)=0， 所以(2k+3》”-(k+1）=0, 整理得2-2k-3=0, 又k≠±1，所以k=3,即k的值为3. 6.解：(1)设M(1,h)，N(2,y2),直线1的方程为x=my十4(m≠0)， 联立x=y+4与-一2=1，消去x可得(m2-4)y2+8my十12=0. 由+ ( to于 可得-2<m<0或0<m<2. 由k=m可得k的取值范围为（一∞，一）U(,十∞)· (2)由题意得A1(-2,0),A2(2,0). 由根与系数的关系可知以十2=一=，y2=。= 于是2my2=-3y十2)· 因此产7 2/3 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 y⊥Ny。T2 y.y。T4y. =y。y,T7=yy。Ty= :y少rw.。 三==一 (3)由（2)可知k2=-3k1, 于是直线AM与直线A2N的方程分别为y=k1(x十2)，y=一3k1(x-2), 由-“心”可得交点G的预坐标为1， 如图，于是日 之1414、‘u4￥ 二 y。1e八y,1y。1之心上4 LU =一1十≥-1十=3， 人G4 A O AP 故的最小值为3，当且仅当m=0时等号成立. 3/3 ·独家授权侵权必究