专题5 培优点1 离心率的范围问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点1　离心率的范围问题 1.（2024·商丘模拟）若动直线mx＋ny＝2m＋n（m，n∈R）始终与椭圆C：＋＝1（a＞0且a≠）有公共点，则C的离心率的取值范围是（　　） A.（0，） B.（0，） C.［，1） D.［，1） 2.若椭圆上存在点P，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1，则该椭圆的离心率e的取值范围是（　　） A.［，1） B.（ 0，］ C.［，1） D.（ 0，］ 3.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx（k＞0）与椭圆C相交于M，N两点（其中M在第一象限）.若M，F1，N，F2四点都在一个圆上，则椭圆C的离心率e的取值范围是（　　） A.[－1，1） B.（ ，－1］ C.（ ，1） D.（0，－1] 4.（2024·南昌三模）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若△F1AB的周长为10b，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A.［，］ B.［，］ C.［，2］ D.[2，＋∞） 5.设M是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的上顶点，P是C上的一个动点.当P运动到下顶点时，｜PM｜取得最大值，则C的离心率的取值范围是（　　） A.［，1） B.（ 0，］ C.［，1） D.（ 0，］ 6.已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若E上点A满足｜AF1｜＝2｜AF2｜，且向量，夹角的取值范围为［，π］，则E的离心率的取值范围是（　　） A.[，] B.[，3]　C.[3，5]　D.[7，9] 7.（2024·黄山第一次质量检测）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且与双曲线C的一条渐近线平行的直线l交C于M，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，当λ∈[2，4]时，双曲线C的离心率的最大值为（　　） A. B. C.2 D. 8.（多选）设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：－＝1（a1＞0，b1＞0）的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为原点，下列说法正确的是（　　） A.若｜F1F2｜＝2｜MO｜，则＋＝ B.若｜F1F2｜＝2｜MO｜，则＋＝2 C.若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（ ，） D.若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（ ，2） 9.已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，｜F1F2｜＝4.若线段x－y＋4＝0（－2≤x≤8）上存在点M，使得线段MF2与E的一条渐近线的交点N满足｜F2N｜＝｜F2M｜，则E的离心率的取值范围是　　　　. 10.（2024·杭州二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12 cm，开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于　　　　. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点1　离心率的范围问题 1.C　由直线m（x－2）＋n（y－1）＝0得，直线过定点（2，1），由题意得，点（2，1）在椭圆上或椭圆内部，所以＋≤1，则a2≥6，所以椭圆焦点在x轴上，所以e＝＝∈［，1），故选C. 2.C　由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2m，m，所以2m＋m＝2a，得到m＝a，又m≥a－c，所以a≥a－c，得到c≥a，所以e≥，又0＜e＜1，故≤e＜1. 3.C　设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，短半轴长为b.由椭圆的对称性和M，F1，N，F2四点共圆，知四边形MF1NF2为矩形，所以以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，所以c＞b，则c2＞a2－c2，即2c2＞a2，得＜e＜1.故选C. 4.A　由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，两式相加可得｜AF1｜＋｜BF1｜＝4a＋｜AB｜，则△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＋2｜AB｜＝10b，即｜AB｜＝5b－2a，再由｜AB｜≥，可得5ab－2a2≥2b2，解得≤≤2，故e＝＝∈［，］.故选A. 5.B　设P（x0，y0），M（0，b），因为＋＝1，a2＝b2＋c2，所以｜PM｜2＝＋（y0－b）2＝a2（ 1－）＋（y0－b）2＝－（ y0＋）2＋＋a2＋b2，－b≤y0≤b，由题意知，当y0＝－b时，｜PM｜2取得最大值，所以－≤－b，可得a2≥2c2，即e2≤，则0＜e≤. 6.B　由双曲线定义得｜｜AF1｜－｜AF2｜｜＝2a，∵｜AF1｜＝2｜AF2｜，∴｜AF2｜＝2a，｜AF1｜＝4a，在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠F1AF2＝＝＝，由题意得∠F1AF2∈［，π］，∴cos∠F1AF2∈［－1，－］，∴－1≤≤－，∴－1≤－≤－，∴7≤e2≤9，∴e∈[，3]. 7.D　如图所示，不妨取渐近线方程为y＝x，又易知F1（－c，0），则直线l的方程为y＝（x＋c），联立直线l与双曲线的方程得可得M（ －，），所以｜F1M｜ ＝ ＝＝＝＝，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，由双曲线定义可得｜F2M｜－｜F1M｜＝（λ－1）｜F1M｜＝2a，当λ∈[2，4]时，可得λ－1＝＝＝∈[1，3]，所以e2－1∈［，4］，解得≤e≤；因此双曲线C的离心率的最大值为.故选D. 8.BD　如图，连接MF1，设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，焦距为2c.由椭圆的定义，得m＋n＝2a.由双曲线的定义，得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1.当｜F1F2｜＝2｜MO｜时，∠F1MF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2，即a2＋＝2c2.由离心率的公式，得＋＝2，故A错误，B正确.当｜F1F2｜＝4｜MF2｜时，n＝c，即a－a1＝c，所以－＝，则e1＝.由0＜e1＜1，得＞1，所以＞，即1＜e2＜2，则e1e2＝.设2＋e2＝t（3＜t＜4），则＝＝2（ t＋－4）.令f（t）＝t＋－4，易知f（t）在（3，4）上单调递增，所以f（t）∈（ ，1），所以e1e2∈（ ，2），故C错误，D正确.选B、D. 9.［，］　解析：设M（x0，x0＋4）（－2≤x0≤8），易知F2（2，0）.因为｜F2N｜＝｜F2M｜，所以＝＝（x0－2，x0＋4）.设N（xN，yN），则（xN－2，yN）＝（x0－2，x0＋4），则xN＝，yN＝，－2≤x0≤8.易知xN＞0，yN＞0，点N在渐近线y＝x上，所以＝·，则＝＝1－.由－2≤x0≤8，得≤≤，所以≤≤.又－1＝，所以≤≤，所以≤e≤. 10.　解析：如图，由题意可知，｜AB｜＝8，｜PB｜＝12，｜MA｜＝｜MP｜＝6.设椭圆长轴长为2a，焦距为2c，则｜MB｜＝2a.cos∠AMB＋cos∠PMB＝＋＝0，解得｜MB｜＝2，即2a＝2，a＝.假设一小球刚好与圆锥的母线PA，PB分别切于点N，E，与椭圆切于点F，则｜MN｜＝｜MF｜，｜PN｜＝｜PE｜，｜BF｜＝｜BE｜，又由椭圆的性质可知，｜MN｜＝｜MF｜＝a－c＝－c，｜BE｜＝｜BF｜＝a＋c＝＋c，所以由｜MP｜＝6，｜PB｜＝12得｜PN｜＝6－｜MN｜＝6－＋c，｜PE｜＝12－｜BE｜＝12－－c，所以6－＋c＝12－－c，解得c＝3.所以椭圆的离心率为e＝＝＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $