专题5 第2讲 小题研透——圆锥曲线的方程与性质(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第2讲 小题研透 圆锥曲线的方程与性质 A级基础回归 1.(2024蚌埠第三次质量检测）已知曲线C:父+产=1(m≠0)，则“m∈0,4)”是“曲线 4 m C的焦点在x轴上”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知椭圆E: 43 =1的两焦点分别为F,F2,A是椭圆E上一点，当△FAF的面积取得最大 值时，∠FAF2=() A若 π b.2 π C.3 π D.3 3.已知直线：x-2y-6=0经过双曲线C: xy2 a2-b2 =1(a>0,b>0)的焦点，且与双曲线C的一 条渐近线平行，则C的实轴长为( A.46 B.43 C.26 D.23 4.(多选)如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆， 则下列说法正确的是() A.椭圆的长轴长为4 B椭圆的离心率为2 4 1/5 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZXXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 C.椭圆的方程可以为+士=1 4千21 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2一√2 5.(2024北京高考13题)若直线=k(x一3)与双曲线等=1只有一个公共点，则k的一个取 值为」 6.(2024湖北十一校联考)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，过抛物线C上一点M作其准线的垂 线，垂足为N,若∠NFM=子则点M的横华标为 B级综合练透 7.(2024安庆二模)设F是椭圆C: 1的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆 两点，则△PQF的周长的最小值为() A.12 B.14 C.16 D.18 8.(2024·济洛平许第三次质量检测)过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为k的直线与抛物线交于 A,B两点，点M的坐标为（一1,1），若MA·M=0,则k=() A.1 B.2 C.3 D.4 2/5 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 9.(2024苏州3月适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，设直线1：x+y十1=0与双曲线C: a y =1(a>0,b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范 围是() A.(0,2) B.(1,2) C.(0,V3) D.(1,3) 10.抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,直线I过点F且与抛物线交于点M,N（点N在x轴上方)， 点E为x轴上F右侧的一点，如图所示，若|NF|=|EF|=3|MFI,SAw=l23,则p=( A.1 B.2 C.3 D.9 11.(多选)(2024新高考Ⅱ卷10题)抛物线C:y2=4x的准线为1，P为C上动点.过P作⊙A:x2 +(y一4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作1的垂线，垂足为B.则() A.1与⊙A相切 B.当P,A,B三点共线时，IPQ|=V15 C.当|PB|=2时，PA⊥AB D.满足|PA|=IPB|的点P有且仅有2个 12.（多选)(2024合肥第一次质量检测)已知椭圆C:十号=1的左、右顶点分别为4，B,左 焦点为F,M为C上异于A,B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴 于点T,则() A.存在点M,使∠AMB=120° 3/5 独家授权侵权必究 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 B.Ti·TB=2TM·TW C.成成的最小值为- D.△FMN周长的最大值为8 13.(2024单阳一模)抛物线C:P=2pr(p>0)绕其顶点逆时针旋转日(0<<)之后，得到 抛物线C2,其准线方程为3x十y+4=0,则抛物线C的焦点坐标为 14.已知椭圆C: 1 广十1(a>b>0),其左、石焦点分别为F,P,其离心率为e=点P为 该椭圆上一点，且满足∠FPR:=子已知△FPF:的内切圆的面积为3x,则该椭圆的长轴长为 15.(2024太原高三模拟考试)已知双曲线2一号=1的左、右焦点分别是F1,F,点P在双曲线C 3 上，且满足FP.F2P=9,则点P到双曲线C两条渐近线的距离之和为 C级能力突破 16(2024渐江致海漫游模拟)已知F是椭圆C:羊+兰-1的左焦点，点M在C上，V在圆片 43 +(y一3)2=2x上，则|MF|一|MN|的最大值为 17.两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线相同.如图所示，一列圆Cm:x2十(y一an)2=r (an>0,n>0,n=1,2,…)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若n=1,则a= ,In= 4/5 独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+款辅专家 C 5/5 独家授权侵权必究· 第2讲　小题研透——圆锥曲线的方程与性质 1.A　若m∈（0，4），则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立；若曲线C的焦点在x轴上，也有可能是m＜0，此时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立，故选A. 2.C　由题意得b＝，c＝＝1，所以｜F1F2｜＝2c＝2，所以＝×2×｜yA｜＝｜yA｜，则当｜yA｜最大时，△F1AF2面积最大，此时点A为椭圆的上顶点或下顶点，则tan∠F1AO＝＝，因为∠F1AO∈（0，），所以∠F1AO＝，所以∠F1AF2＝.故选C. 3.A　由题意知直线l过点（6，0），则c＝6.∵直线l与双曲线C的一条渐近线平行，∴＝，∴b＝，∴c2＝a2＋b2＝＝36，得a＝2，∴C的实轴长为4. 4.ACD　圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，A正确；短轴长2b＝2，b＝，则c＝ ＝，离心率e＝＝，B错误；建立适当的坐标系，椭圆的方程可以为＋＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－，D正确.故选A、C、D. 5.（答案不唯一）　解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k（x－3）过定点（3，0）.因为点（3，0）在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±. 6.6　解析：如图，由抛物线的定义知，｜MN｜＝｜MF｜，所以∠MNF＝∠MFN＝∠NFO＝，△MFN为正三角形.因为2p＝8，所以p＝4，所以｜NF｜＝＝2p＝8，所以｜MF｜＝｜NF｜＝8，又｜MF｜＝xM＋＝xM＋2，所以xM＝6. 7.C　由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为F1，则四边形PFQF1为平行四边形，由椭圆定义可知｜PF｜＋｜PF1｜＋｜QF｜＋｜QF1｜＝4a＝20，又｜PF｜＝｜QF1｜，｜PF1｜＝｜QF｜，所以｜PF｜＋｜QF｜＝10，又PQ过原点，所以｜PQ｜min＝2b＝6，所以△PQF的周长的最小值为10＋6＝16.故选C. 8.B　由题知抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），则直线方程为y＝k（x－1），联立消去x得ky2－4y－4k＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝－4，则x1＋x2＝＋2＝，x1x2＝＝1，又因为·＝0，所以（x1＋1，y1－1）·（x2＋1，y2－1）＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－（y1＋y2）＋1＝0，所以1＋＋1－4－＋1＝0，解得k＝2，故选B. 9.B　因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，又l：x＋y＋1＝0与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，由图知，－＞－1，即＜1，所以离心率e＝＝＝＜＝，又e＞1，所以1＜e＜，故选B. 10.C　设N（x1，y1），M（x2，y2），F（，0），由＝3，得又⇒则－9＝2p（x1－9x2），即（y1＋3y2）·（y1－3y2）＝2p（x1－9x2），所以x1－9x2＝0.由⇒则N（p，p），M（p，－p），所以kMN＝，即∠NFE＝60°，又｜NF｜＝｜FE｜＝2p，所以S△NFE＝×2p×2p×＝p2，又S△MNE＝S△NFE，所以×p2＝12⇒p＝3. 11.ABD　对于A，易知l：x＝－1，故l与☉A相切，A正确；对于B，A（0，4），☉A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P（4，4），所以｜PA｜＝4，｜PQ｜＝＝＝，故B正确；对于C，当｜PB｜＝2时，P（1，2），B（－1，2）或P（1，－2），B（－1，－2），易知PA与AB不垂直，故C错误；对于D，法一（直接法）　设P（，t），由PB⊥l可得B（－1，t），又A（0，4），｜PA｜＝｜PB｜，根据两点间的距离公式，＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136＞0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选A、B、D. 法二（利用抛物线定义转化）　根据抛物线的定义，｜PB｜＝｜PF｜，这里F（1，0），于是｜PA｜＝｜PB｜时P点的存在性问题转化成｜PA｜＝｜PF｜时P点的存在性问题，A（0，4），F（1，0），AF中点（，2），AF中垂线的斜率为－＝，于是AF的中垂线方程为：y＝x＋，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136＞0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得｜PA｜＝｜PF｜，D选项正确. 12.BCD　对于A，设椭圆的上顶点为E，则在Rt△BOE中，tan∠OEB＝＝＝＜，则∠AEB＜120°，故A错误；对于B，设M（m，n），则T（m，0），N（m，－n），且＋＝1，即4－m2＝2n2，又A（－2，0），B（2，0），则·＝（－2－m，0）·（2－m，0）＝－（2＋m）（2－m）＝－（4－m2）＝－2n2，又2·＝－2n2，故·＝2·，则B正确；对于C，F（－，0），·＝（m＋，n）·（m＋，－n）＝（m＋）2－n2＝（m＋）2－＝＋2m，－2＜m＜2，则当m＝－时，·取最小值－，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为F'，△FMN的周长为：｜MF｜＋｜NF｜＋｜MN｜＝4－｜MF'｜＋4－｜NF'｜＋｜MN｜＝8－（｜MF'｜＋｜MF'｜－｜MN｜）≤8，当且仅当M，N，F'三点共线时，等号成立，故D正确，故选B、C、D. 13.（2，0）　解析：由抛物线C1：y2＝2px（p＞0）绕其顶点逆时针旋转θ（0＜θ＜）之后，得到抛物线C2，易知C1的焦点到其准线的距离d1与C2的焦点到其准线的距离d2相等.由抛物线C2的顶点到其准线的距离与到其焦点的距离相等，又抛物线C2的顶点到其准线的距离为＝2，则d1＝d2＝2×2＝4，即p＝4，所以抛物线C1的焦点坐标为（2，0）. 14.12　解析：由e＝，得＝，即a＝2c，①.设△F1PF2的内切圆的半径为r，因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝（舍负），在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知＝b2tan＝r（2a＋2c），即b2＝（a＋c），②.又a2＝b2＋c2，③.联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. 15.2　解析：由题意可知，F1（－2，0），F2（2，0），由双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的第一象限内，设P（x0，y0），且x0＞0，y0＞0，则＝（x0＋2，y0），＝（x0－2，y0）.由·＝9，得－4＋＝9，即＋＝13　①.又点P在双曲线上，所以－＝1　②，由①②得即P（2，3）.又双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，化为一般式为x－y＝0，x＋y＝0，则点P（2，3）到两条渐近线的距离之和为＋＝2. 16.2　解析：由圆P：x2＋（y－3）2＝2x，可得（x－1）2＋（y－3）2＝1，可得圆P的圆心坐标为P（1，3），半径r＝1，由椭圆C：＋＝1，可得a＝2，设椭圆的右焦点为F1（1，0），根据椭圆的定义可得｜MF｜＝2a－｜MF1｜，所以｜MF｜－｜MN｜＝2a－（｜MF1｜＋｜MN｜），又由｜MN｜min＝｜MP｜min－r，如图所示，当点P，M，N，F1四点共线时，即P，N'，M'，F1时，｜MF1｜＋｜MN｜取得最小值，（｜MF1｜＋｜MN｜）min＝（｜MF1｜＋｜MP｜）min－r＝｜PF1｜－r＝3－1＝2，所以（｜MF｜－｜MN｜）max＝2×2－2＝2. 17.　n　解析：由题意得y'＝2x，圆C1的圆心为（0，a1），半径r1＝1，设圆C1与曲线y＝x2相切于点（x1，）（x1≠0），则解得a1＝.圆Cn的圆心为（0，an），半径为rn，设圆Cn与曲线y＝x2相切于点（xn，）（xn≠0），则解得an＝＋，又an＋1＝an＋rn＋rn＋1，所以＋＝＋＋rn＋rn＋1，则（rn＋1－）2＝（rn＋）2，因为rn≥1，所以rn＋1＝rn＋1，所以{rn}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以rn＝n. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $