专题4 培优点3 立体几何中的动态问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点3　立体几何中的动态问题 1.C　由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60°角的平面截圆锥，所得图形为椭圆. 2.B　如图，连接PB，PA，因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥PB.在Rt△APB中，PA＝＝＝，解得BP＝.所以动点P的轨迹就是圆心为B，半径为r＝＜1的圆在正方形BCC1B1内（含边界）的部分，故选B. 3.C　连接A1B，若A1M⊥AB1，则A1M在平面ABB1A1上的射影在A1B上，所以M的轨迹为A1C，AM的最小值为A到A1C的距离，连接A1C，过点A作AM⊥A1C于点M，因为AA1⊥AC，且AC＝，A1C＝＝，所以AM＝＝＝，故AM的最小值为.故选C. 4.D　如图，将△BCC1沿BC1折起铺平在正方体的对角面ABC1D1所在平面内，这时ABCC1D1是一个五边形，过点D1作D1Q⊥BC，垂足为Q，且交BC1于P，显然，此时D1P＋PQ最小.在直角梯形D1QCC1中，∠C1D1Q＝45°，则D1Q＝CC1＋C1D1cos 45°＝＋2. 5.A　∵PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，由题意可得V三棱锥P-ABC＝××3×2×1＝1＝＋x＋y，∴x＋y＝，∴2（x＋y）＝1.∴＋＝（＋）×2（x＋y）＝2＋2a＋＋≥2＋2a＋2＝2＋2a＋4，当且仅当＝，即y＝x时，等号成立.由2＋2a＋4≥8恒成立，解得a≥1，∴正实数a的最小值为1.故选A. 6.ACD　如图，把三棱锥P-ABC补形成正四棱柱并建立空间直角坐标系A-xyz，对于A，由PA⊥平面ABC，得∠PBA是PB与平面ABC所成的角，tan∠PBA＝＝，因此∠PBA＝，A正确；对于C，由AD⊥CD，得D点的轨迹是以线段AC为直径的球面与△PAB相交的一段圆弧及点B，令AC，AB的中点分别为O，E，则OE⊥平面PAB，OE＝1，OD＝，于是DE＝1，显然D点所在圆弧所对圆心角大小为，长度是，C正确；对于B，由选项C知，当DE⊥AB时，D点到平面ABC距离最大，最大距离为1，因此三棱锥C-ABD的体积VC-ABD＝VD-ABC≤××2×1×2＝，B错误；对于D，设∠AED＝θ（0＜θ≤），则点D（1－cos θ，0，sin θ），而C（2，2，0），于是＝（－1－cos θ，－2，sin θ），又＝（2，0，0），令异面直线CD与AB所成的角大小为φ，则cos φ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝，令t＝1＋cos θ∈［，2），cos φ＝＝在t∈［，2）上单调递增，因此 ≤t＜，D正确.故选A、C、D. 7.10　解析：连接AC，BC，因为AB是圆柱下底面圆O的直径，所以BC⊥AC，又BC⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD.设过点A的母线与上底面的交点为点E，过点C的母线与上底面的交点为点F，连接EF，因为AE⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AE⊥BC，因为AE∩AC＝A，AE，AC⊂平面AEFC，所以BC⊥平面AEFC，所以点D在平面AEFC内，又点D在圆柱的表面，所以点D的轨迹是矩形AEFC，依题意得AE＝5，OA＝OC＝2，∠AOC＝，所以AC＝2，所以矩形AEFC的面积为5×2＝10.故点D的轨迹所围成图形的面积为10. 8.　解析：因为线段P1P2平行于平面A1ADD1，P1P2⊂平面ABD1，平面A1ADD1∩平面ABD1＝AD1，所以P1P2∥AD1，所以△P1P2B∽△AD1B，则＝＝.设P1B＝x，x∈（0，2），则P1P2＝x，P2B＝x.设P2到平面AA1B1B的距离为h，则＝，所以h＝x，所以四面体P1P2AB1的体积为V＝··（2－x）·2·x＝（2x－x2）＝－（x－1）2＋，当x＝1时，四面体P1P2AB1的体积取得最大值. 9.解：（1）因为PE⊥AE，PE⊥EF，所以PE⊥平面ACFE. 又EF∥CD，所以＝（ ）2＝. 所以S△BEF＝S△BDC＝·＝x2. 所以SACFE＝S△ABC－S△BEF＝9－x2＝（108－x2）. 所以V（x）＝SACFE·PE＝（108x－x3），0＜x＜3. 又V'（x）＝（36－x2）， 当0＜x＜6时，V'（x）＞0；当6＜x＜3时，V'（x）＜0. 故V（x）在（0，6）上递增，在（6，3）上递减，又x＝6是V（x）的唯一极大值点，所以当x＝6时，V（x）max＝12. （2）以直线EF，EB，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略），则A（0，6－6，0），C（3，6－3，0），F（，0，0），P（0，0，6）. 于是＝（3，3，0），＝（，0，－6）. 所以cos〈，〉＝＝. 10.解：（1）若AP＝6，则点P以点A为球心半径为6的球面上运动， 又P在正方体表面运动，AD＝6，AD⊥平面CDD1C1， 则P在以D为圆心，半径为＝6的圆上（正方形CDD1C1内部），如图所示， ＝6×＝3π，同理可得＝＝6×＝3π， 故点P的轨迹长度为3π×3＝9π. （2）若P到平面ABCD、ADD1A1距离相等，根据对称性知P在平面ADC1B1上， AD⊥平面AA1B1B，AD⊂平面ADC1B1，故平面ADC1B1⊥平面AA1B1B， 故P到平面ABB1A1的距离即P到AB1的距离， 设正方体的中心为Q，即＝｜PQ｜，故P的轨迹为平面ADC1B1内的一条抛物线， 正方体棱长为6，AB1中点为N，以NQ所在的直线为x轴， 以线段NQ的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系， 抛物线方程y2＝6x，当y＝±3时，x＝3＜，故抛物线与棱B1C1和AD相交，故共有2×3＝6个点满足条件. （3）易知正方体中AD⊥平面DCC1D1，MC⊥平面DCC1D1，DP，PC⊂平面DCC1D1， 所以AD⊥DP，MC⊥CP，又∠APD＝∠MPC，所以Rt△ADP∽Rt△MCP， 所以＝＝2即PD＝2PC， 如图，在平面DCC1D1中，以D为原点，DC，DD1分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则D（0，0），C（6，0），P（x，y）.由PD＝2PC知， ＝2化简整理得（x－8）2＋y2＝16，0≤x≤6， 所以点P的轨迹为圆（x－8）2＋y2＝16在正方形DCC1D1内部的部分， 即，其中CR＝2，RF＝4， 则∠FRC＝，由弧长公式知×4＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点3　立体几何中的动态问题 　　 1.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是（　　） A.直线　 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线的一支 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方体的侧面BCC1B1上，且点P到点A的距离为，点P的轨迹是一条曲线，那么这条曲线的形状是（　　） 3.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是截面A1ACC1上的一个动点（不包含边界），若A1M⊥AB1，则AM的最小值为（　　） A. B. C. D. 4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是面对角线BC1上一动点，Q是底面ABCD（含边界）内一动点，则D1P＋PQ的最小值为（　　） A. B.1 C.2 D.2＋ 5.三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，设M是底面△ABC内一点，定义f（M）＝（m，n，p），其中m，n，p分别是三棱锥M-PAB，三棱锥M-PBC，三棱锥M-PCA的体积.若f（M）＝（，x，y），且＋≥8恒成立，则正实数a的最小值为（　　） A.1 B.13－4 C.9－4 D.2 6.（多选）（2024·怀化二模）在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，PA＝2，点D是△PAB内的动点（含边界），AD⊥CD，则下列结论正确的是（　　） A.PB与平面ABC所成角的大小为 B.三棱锥C-ABD的体积最大值是2 C.D点的轨迹长度是 D.异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是［，） 7.如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知∠AOC＝，OA＝2，圆柱的高为5.若点D在圆柱表面上运动，且满足BC⊥AD，则点D的轨迹所围成图形的面积为　　　　. 8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值为　　　　. 9.如图，等腰△ABC的底边AB＝6，高CD＝3.E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE＝x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积. （1）当x为何值时，V（x）取得最大值？ （2）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值. 10.（2024·上海期末）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，点P在该正方体的表面上运动. （1）若AP＝6，求点P的轨迹长度； （2）已知P到三个平面ABCD、ADD1A1、ABB1A1中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P的个数； （3）若点M是线段BC的中点，P在正方形DCC1D1（包括边界）上运动，且满足∠APD＝∠MPC，求点P的轨迹长度. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $