专题1 第3讲 小题研透——平面向量(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第3讲　小题研透——平面向量 1.（2024·贵阳摸底）如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E是线段AD上靠近D的三等分点，则＝（　　） A.－＋ B.－＋ C.＋ D.－ 2.已知平面向量a＝（1，m－1），b＝（m，m＋3），若a·b＝｜a｜｜b｜，则实数m＝（　　） A.3或－1 B.3 C.1或－3 D.－3 3.（2024·湖北十一名校第二次联考）已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a·（a＋b）＝（　　） A.a2 B.b2 C.（a＋b）2 D.（a－b）2 4.设向量＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 5.（2024·淄博一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于x轴对称，向量a＝（0，1），若满足＋a·＝0的点A的轨迹为E，则（　　） A.E是一条垂直于x轴的直线 B.E是一个半径为1的圆 C.E是两条平行直线 D.E是椭圆 6.已知非零向量，满足＝，且·＝，则△ABC为（　　） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 7.圆的内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·＝（　　） A.12 B.－12 C.20 D.－20 8.（2024·福建适应性练习卷）已知O是△ABC所在平面内一点，且｜｜＝2，·＝－1，·＝1，则∠ABC的最大值为（　　） A.　 　　B.　 　　C.　 　　D. 9.（多选）（2024·武汉调研）已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（－3，4），则（　　） A.若a∥b，则tan θ＝－ B.若a⊥b，则sin θ＝ C.｜a－b｜的最大值为6 D.若a·（a－b）＝0，则｜a－b｜＝2 10.（多选）（2024·丹东阶段测试）设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，则（　　） A.a·b＋b·c＋c·a＝－ B.＜a，b＞＝120° C.｜a－c｜＝ D.cos＜a－c，b－c＞＝ 11.（多选）对任意两个非零向量a，b，定义新运算：aⓧb＝，已知非零向量m，n满足｜m｜＞3｜n｜且向量m，n的夹角θ∈（，），若4（mⓧn）和4（nⓧm）都是整数，则mⓧn的值可能是（　　） A.2 B. C.3 D.4 12.（2024·嘉兴调研）已知平面向量a，b，c，a＝（－1，），b＝（，－1），c是非零向量，且c与a，b的夹角相等，则c的坐标可以为　　　　.（只需写出一个符合要求的答案） 13.已知向量，满足｜｜2＋｜｜2＝4，｜｜2＝2，设＝2＋，则｜｜的取值范围为　　　　. 14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝，半径为1的☉A分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF上的一个动点，则·的取值范围是　　　　. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　小题研透——平面向量 1.A　因为D为线段BC的中点，则＝＋，因为点E是线段AD上靠近D的三等分点，则＝＝（＋）＝＋，因此，＝－＝＋－＝－＋.故选A. 2.B　由a·b＝｜a｜｜b｜可知a与b同向共线.令1×（m＋3）＝（m－1）×m，解得m＝3或m＝－1.当m＝3时，a＝（1，2），b＝（3，6），符合题意；当m＝－1时，a＝（1，－2），b＝（－1，2），不符合题意.故选B. 3.C　由题知｜a｜2＝｜b｜2＝｜a－b｜2，所以｜b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2－2a·b，即a·b＝｜a｜2，所以a·（a＋b）＝a2＋a·b＝｜a｜2，而（a＋b）2＝a2＋b2＋a·b＝a2＝｜a｜2，故选C. 4.C　由题意得，＝－＝（a－1，1），＝－＝（－b－1，2），∵A，B，C三点共线，∴＝λ且λ∈R，则可得2a＋b＝1，∴＋＝（＋）（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当b＝2a＝时，等号成立，∴＋的最小值为8. 5.B　设A（x，y），则＝（x，y），＝（x，－y），则＝－＝（0，－2y），所以＋a·＝x2＋y2－2y＝0，即x2＋（y－1）2＝1，所以点A的轨迹E是一个半径为1的圆.故选B. 6.D　由·＝，得cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝.由＝，得（＋）·＝0，∴角A的角平分线垂直于BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.故选D. 7.B　如图，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，所以·＝（＋）·＝·＋·＝｜｜·｜｜·cos∠BDA－｜｜｜｜·cos∠BDC＝｜｜2－｜｜2＝4－16＝－12.故选B. 8.B　法一（数形结合法）　由题意知，·－·＝（－）·＝·＝＝2，则｜｜＝，如图1，固定AB，则AC可绕着点A旋转，C的轨迹是以A为圆心，半径为的圆（除去直线AB与圆A的交点），显然当直线BC与圆A相切时，∠ABC取得最大值，此时AC⊥BC，根据勾股定理得｜BC｜＝＝，所以△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝，故选B. 法二（利用余弦定理求解）　由题意知，·－·＝（－）·＝·＝＝2，则｜｜＝，如图2，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则c＝2，b＝，由余弦定理得，cos∠ABC＝＝＝＝＋≥2＝2＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，又∠ABC∈（0，π），函数y＝cos x在（0，π）上单调递减，cos＝，所以0＜∠ABC≤，故选B. 9.ACD　若a∥b，则4cos θ＝－3sin θ，tan θ＝－，A正确；若a⊥b，则－3cos θ＋4sin θ＝0，tan θ＝，所以sin θ＝±，B错误；因为｜a｜＝＝1，｜b｜＝＝5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，所以C正确；若a·（a－b）＝0，则a2＝a·b，则｜a－b｜＝＝＝＝＝2，D正确.故选A、C、D. 10.ACD　将a＋b＋c＝0两边平方得（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋a·c＋b·c）＝0，由a2＝b2＝1，c2＝3，得a·b＋b·c＋c·a＝－，故A正确；将a＋b＝－c两边平方得（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b＝c2，则a·b＝，所以＜a，b＞＝60°，故B错误；因为a＋c＝－b，所以｜a＋c｜＝｜b｜＝1，1＝｜a＋c｜2＝4＋2c·a，所以c·a＝－，所以｜a－c｜2＝4－2c·a＝7，即｜a－c｜＝，故C正确；由C的分析得b＋c＝－a，与C同理可得b·c＝－，｜b－c｜＝，所以（a－c）·（b－c）＝a·b－b·c－a·c＋c2＝，所以cos＜a－c，b－c＞＝，故D正确.故选A、C、D. 11.BC　由题意得nⓧm＝＝（k∈Z），因为｜m｜＞3｜n｜＞0，所以0＜＜，因为θ∈（，），所以＜sin θ＜1，所以0＜sin θ＜，即0＜＜，解得0＜k＜，因为k∈Z，所以k＝1，所以nⓧm＝＝，则＝，故mⓧn＝＝4sin2θ，因为θ∈（，），所以＜sin θ＜1，因为0＜＜，所以0＜＜，所以＜sin θ＜1，所以＜sin2θ＜1，则＜4sin2θ＜4，即mⓧn∈（，4）.结合选项知选B、C. 12.（1，1）（答案不唯一，满足横、纵坐标相等且不为0即可）　解析：设c＝（x，y），由c与a，b的夹角相等，得＝，∴＝，则x＝y，即c的坐标满足x＝y≠0即可. 13.［，］　解析：由｜｜2＋｜｜2＝4，｜｜2＝2可得·＝1，则｜＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋2·＝6，即｜＋｜＝，｜－｜＝｜｜＝，因为＝2＋＝（＋）＋（－），所以｜｜＋｜－｜－｜｜≤｜｜≤｜＋｜＋｜－｜，即≤｜｜≤.所以｜｜的取值范围为［，］. 14.[－11，－9]　解析：法一（坐标法）　如图，以A为原点，垂直于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系xAy，则B（2，－2），C（2，2），设P（cos θ，sin θ），其中θ∈［－，］.所以·＝（2－cos θ，－2－sin θ）·（2－cos θ，2－sin θ）＝（2－cos θ）2＋sin2θ－12＝－7－4cos θ.因为cos θ∈［，1］，所以·∈[－11，－9]. 法二（几何法）　如图，取BC的中点M，连接PM，则两个动向量，均可用一个动向量和一个定向量表示.·＝（－）·（＋）＝－.因为MC为定值，所以·的变化可由的变化确定.连接AM，易得AM＝2，MC＝2，当P为劣弧EF与AM的交点时，PM取得最小值，为AM－1＝1；连接EM，PM的最大值为EM＝＝.所以－的取值范围是[－11，－9]，即·∈[－11，－9]. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $